Einstieg in die Integralrechnung

Frage: Wie groß ist der Flächeninhalt der markierten Fläche ?

Wodurch ist die Größe der Fläche festgelegt ? Graph der Funktion x-Achse Intervalllänge A = ?

Präzisierung der Aufgabe : Gesucht ist eine Funktionsvorschrift A(x), die den Inhalt der Fläche liefert, die vom Graphen einer Funktion mit der x–Achse im Intervall [0;x] eingeschlossen wird. A (x) = ? x

Betrachten wir zunächst einfache Beispiele: Durch elementare Rechnung erhält man: A(x) = 3·x A(x) = 3·x x

Beispiel 2: Die Fläche des entstehenden Dreiecks berechnet sich zu: x

Beispiel 3: Die Fläche des Trapezes berechnet sich zu: x

Zusammenstellung A(x) = 3·x Lässt sich ein Zusammenhang zwischen Flächenfunktion und Ausgangsfunktion finden ?

Zusammenstellung A(x) = 3·x Feststellung: Leitet man die Flächenfunktion ab, so erhält man die Ausgangsfunktion

Zusammenstellung A(x) = 3·x lauten ? Falls dies richtig sein sollte, wie könnte dann die Funktionsvorschrift der Flächenfunktion zu f mit lauten ?

Zusammenstellung A(x) = 3·x lauten ? Falls dies richtig sein sollte, wie könnte dann die Funktionsvorschrift der Flächenfunktion zu f mit lauten ?

Zusammenstellung Nur eine Vermutung !! A(x) = 3·x Doch Grund genug, sich den Differenzenquotienten der Flächenfunktion einmal anzuschauen Nur eine Vermutung !!

Betrachten wir also den Term: Bzw. zunächst mal nur den Zähler : Wir verdeutlichen am Einstiegsbeispiel, was durch diese Differenz ausgedrückt wird

A(x0) ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen einer Funktion mit der x–Achse im Intervall [0;x0] eingeschlossen wird. A (x0) x0

A(x0+h) ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen einer Funktion mit der x–Achse im Intervall [0;x0+h] eingeschlossen wird. A (x0+h) x0+h

Obíge Differenz drückt also den Flächeninhalt der grün markierten Fläche aus. x0 x0+h

Obíge Differenz drückt also den Flächeninhalt der grün markierten Fläche aus. x0 x0+h

Sicherlich ist der Flächeninhalt größer als der Flächeninhalt der folgenden Rechteckfläche: Wir versuchen, die Größe der Fläche nach oben und nach unten abzuschätzen: x0 x0+h

Diese hat den Flächeninhalt: f(x0) h x0 x0+h

Diese hat den Flächeninhalt: f(x0) h

Diese hat den Flächeninhalt: Es gilt also: Diese hat den Flächeninhalt: f(x0) h

Schätzen wir nun die grüne Fläche durch folgendes Rechteck nach oben hin ab: f(x0+h) h

Das Rechteck hat den Flächeninhalt: Es folgt: Das Rechteck hat den Flächeninhalt: f(x0+h) h

Damit ist der obige Term sinnvoll nach oben und unten abgeschätzt

: h Dividiert man die gesamte Ungleichung durch h, erhält man in der Mitte den Differenzenquotienten der Flächenfunktion !

Bildet man den Limes aller Terme für h gegen Null, erhält man:

: h Bzw.:

Diese Ungleichung ist nur erfüllbar, wenn gilt: Liefert der Term A(x) also den Inhalt der betrachteten Fläche, so gilt: A‘(x) = f(x)

Man beachte die in dieser Herleitung enthaltenen Vereinfachungen: Die Fläche liegt gänzlich oberhalb der x – Achse In den Beweis geht ein, dass f im betrachteten Intervall monoton wachsend ist f ist im betrachteten Intervall stetig