Mathematik in der Natur am Beispiel Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt Aktuelle Themen der Fachdidaktik Christoph Eidenberger
Voraussetzungen, Lehrplan abgeschlossenes Kapitel „Folgen“ rekursiv angegebene Folgen Konvergenz Im Lehrplan in der 10. Schulstufe vorgesehen
Grober Umriss 1. Einheit: Behandlung der Fibonacci-Folge anhand der Vermehrung von Bienen (Arbeitsblatt, Partnerarbeit) a) menschlicher Stammbaum:
b) Ahnentafel einer Drohne (Vorwissen aus Biologie)
anderer Zugang: Kaninchenpopulation c) Ende der Stunde: Vergleich der Ergebnisse und Zusammenfassung anderer Zugang: Kaninchenpopulation (Leonardo da Pisa)
2. Einheit: Behandlung des Goldenen Schnitts anhand von Beispielen aus der Kunst (Arbeitsblatt, Einzelarbeit) a) „Der vitruvianische Mensch“, L. da Vinci, 1492
b) Parthenon in Athen
c) Pentagon (Sitz des US-amerikanischen Verteidigungsministeriums) regelmäßiges Fünfeck
d) Geige
Herleitung des Goldenen Schnitts e) Vergleich der Ergebnisse Offensichtlich stehen viele Verhältnisse von Strecken zueinander in einem bestimmten Verhältnis (≈ 1,6 / 1 oder 1/ 0,6) Dieses Verhältnis war bereits den alten Griechen bekannt und war damals schon der Inbegriff für Ästhetik und Schönheit. Herleitung des Goldenen Schnitts 1 Kehrwert: x
3. Einheit: Verwandtschaft von Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt (eher fragend-entwickelnd) a) Austeilen folgender Abbildung: Schüler sollen den Winkel zwischen zwei nacheinander gewachsenen Blättern messen
prozentueller Anteil am Vollwinkel (Bruch) in Dezimalschreibweise ca. 138° würde man den Winkel andersherum messen ca. 222° In der Natur kommt nicht exakt dieser Winkel vor, sondern: Pflanze prozentueller Anteil am Vollwinkel (Bruch) in Dezimalschreibweise Linden: 180° 1/2 0,5 Buchen: 240° 2/3 0,67 Apfelbäume: 216° 3/5 0,6 Birnbäume: 225° 5/8 0,625 Weiden: 221,5° 8/13 0,6153
Phänomen „Phyllotaxis“ Was fällt auf? Zähler und Nenner sind aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen! Phänomen „Phyllotaxis“ Würde man die Tabelle weiterführen: 13/21 0,6190 21/34 0,6176 34/55 0,6182 55/89 0,6180 Brüche nähern sich immer mehr dem Goldenen Schnitt an!
weitere Möglichkeiten der Veranschaulichung: Ananas:
Sonnenblume Spiralen im Blütenkorb Anordnung der Kerne