Das wissenschaftsorientierte Unterrichtskonzept 3 Phasen beim Entdecken und Nutzen der Mathematik: Die heuristische, experimentelle Phase Die exaktifizierende Phase Die Anwendungsphase Schwerpunkt des wissenschaftsorienierten Konzepts ist die exaktifizierende Phase

Wissenschaftsorient. Konzept konkrete Phase 1 Genetisches Konzept Wissenschaftsorient. Konzept abstrahieren abstrakte Phase Anwendungsor. Konzept konkretisieren konkrete Phase 2 konkrete Phase 3 konkrete Phase 4 konkrete Phase n B. Buchberger © H. Heugl

Ziele des wissenschaftsorientierten Konnzepts: - Ausbildung des exakten, kritischen Denkens. - Förderung der Fähigkeit des logischen Schließens. - Dialogfähigkeit, Argumentationsfähigkeit, Urteilsvermögen. - Einblick in die Arbeitsweise der Mathematik und der mathematichen Forschung. Vorgangsweisen: vom heuristischen Vorgehen zum exakten Beweisen vom induktiven Schließen zum deduktiven Schließen

Die heuristische Phase Wenn die kristallisierte, deduktive Form das letzte Ziel ist, so sind Intuition und Konstruktion die treibenden Kräfte. Heuristik  ars inveniendi  Findungskunst ist die Lehre von den Wegen zur Gewinnung wissenschaftlicher Erkenntnis Typische Denkweise: plausibles Schließen dem logischen Schließen vorangehendes Suchen und Finden statt Wahrheit zuerst Glaubwürdigkeit

Heuristische Strategien Induktives Schließen: Verallgemeinerndes Schließen vom Einzelfall auf den allgemeinen Fall. Anschauliches Schließen Umstrukturieren Analogisieren Spezialisieren Generalisieren

Heuristische Regeln: Verändere die Bedingungen! Betrachte Extremfälle! Führe die Aufgabe auf etwas Bekanntes zurück! Suche Zusammenhänge auf! Gehe auf die Definition zurück!

Die exaktifizierende Phase Der Weg zum Beweisen Berufung auf Autoritäten Induktives Schließen (siehe heuristische Phaase) Reduktives Schließen (siehe Naturwissenschaften) Deduktives Schließen (siehe Beweisen im engeren Sinn) Ein Beweis im wissenschaftlichen Sinn ist eine Ableitung einer Aussage aus Axiomen und schon bewiesenen Sätzen, die gemäß den Regeln der Logik erfolgt.

in der exaktifizierenden Phase Ziele und Aktivitäten in der exaktifizierenden Phase 1. Finden einer Argumenationsbasis 2. Hinzufügen weiterer Sätze und Definitionen 3. Präzisieren undefinierter oder unscharfer Begriffe 4. Erkennen falscher Aussagen, Finden von Fehlern 5. Begründen unmittelbar klarer Aussagen unter Heranziehung von Ausagen der Argumentationsbasis 6. Erkennen der Unzulänglichkeit und Unzuverlässigkeit von Schlussweisen 7. Vertrautwerden mit den wichtigsten Schlussweisen

1. Finden einer Argumenationsbasis 1.1 Flächenformel für das schiefwinkelige DreieckStahlensatz 1.2 Zweiter Stahlensatz 1.3 Halbiert man die Seiten eines beliebigen Vierecks, so entsteht ein Parallelogram 1.4 Verschiedene Argumentationsbasen: Winkelsumme im Dreieck: „Klassisch“ Parallelenaxiom Die Winkelsumme ist konstant

2. Hinzufügen weiterer Sätze und Definitionen 2.1 Axiome und Sätze für Ungleichungen

3. Präzisieren undefinierter oder unscharfer Begriffe 3.1 Betrag einer Zahl 3.2 Grenzwertbegriff

4. Erkennen falscher Aussagen, Finden von Fehlern 4.1 Inv. Axiom für die Multiplikation in Q: ¥ a aus Q existiert ein inverses Element a*, so dass a . a* = a* . a = 1 4.2 Zeige dass √2, √3, √4, ….. nicht rational sind

6. Erkennen der Unzulänglichkeit und Unzuverlässigkeit von Schlussweisen 6.1 √ 2 = 2; -1 = +1,

7. Vertrautwerden mit den wichtigsten Schlussweisen 7.1 Der direkte Beweis Allgemein: Mathematische Sätze der Form „wenn A dann B“ oder „A=>B“ 7.2 Der indirekte Beweis Anstatt der die Gültigkeit der Aussage A zu zeigen, weist man nach, dass die Negation von A falsch ist 7.3 Der Beweis der vollständigen Induktion Man zeige, dass die Aussage A(n) für alle n aus N wahr ist Schritt: Induktionsanfang: A(1) sei wahr Schritt: Schluss von n auf n+1 7.4 Beweis durch Kontraposition Jeder Satz der Form „A=>B“ lässt sich in die logisch gleichwertige Form ¬B=> ¬A bringen 7.5 Beweisketten