Wellen-Eigenschaften von Teilchen 40 S. 4. 1 de Broglie Materiewellen Wellen-Eigenschaften von Teilchen 40 S. 4.1 de Broglie Materiewellen S. 2 4.2 Beugung am Doppelspalt S: 5 4.3 Beugung am Kristallgitter S. 13 4.4 Streufunktion und Fourier Transformation S. 23 4.5 Fourier Transform. und Unschärfe-Relationen S. 32 15.11.2018 Dubbers: Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

4.1 de Broglie Materiewellen k k = 2π/λ λ Elektronen-Beugung an Lochblende: Licht-Beugung an Lochblende (Nadelstich in einer Aluminium-Haushaltsfolie + Digitalkamera + Mikroskopier-Leuchte): 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Beispiele de Broglie Wellen 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Lichtwellen und Materiewellen Beispiele: Lichtwellen und Materiewellen 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

4.2 Beugung am Doppelspalt A double slit interference pattern of light. A double slit interference pattern of electrons. 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Doppelspalt-Experimente mit Neutronen: und mit Atomen: 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Helium - Dimer etc. Beugung am Gitter 160 nm period, silicon nitride grating. The thick bands are a support structure for the smaller grating bars. Wdh.: Beugung am Gitter, Gitterkonstante d: konstruktive Interferenz wenn Gang-Unterschied = Vielfaches der Wellenlänge: d sinθ = nλ bei gegebenem λ: kleine Gitterkonstante d - großer Ablenkwinkel θ, bei gegebenem d: große Masse m - kleine Wellenlänge λdeB – kleines θ. 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Beugung von C60 am Gitter Beugungsmaxima erster Ordnung links und rechts vom zentralen Maximum Kurve gut reproduzierbar mit theoretischem Kirchhoff-Fresnel-Modell Ortsauflösung des Detektors ~ 5µm 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Neutron Interferometer A three blade neutron interferometer, machined from a single crystal silicon ingot. → A monoenergetic neutron beam is split by the first blade and recombined in the third blade. → If a sample is introduced in one of the paths, a phase difference in the wave function is produced, and interference between the recombined beams causes count rate shifts of opposite sign in the two detectors. → 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Scanning Tunneling Microscope STM … 3 nm 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

… STM detects standing waves of electrons Eisen auf Kupfer: 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Atom interferometer with gratings made of light Interferometer mit vertauschten Rollen: Licht als Beugungsgitter Atome als Wellen 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften E. Rasel et. al. PRL 75, 2633 (1995)

4.3 Beugung am Kristallgitter (genaueres in Physik VI) Beispiel: Dichteste Kugelpackung 1. hexagonal closed packed: hcp 2. cubic closed packed: ccp = fcc 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

hexagonal closed packed: hcp face-centered cubic: fcc 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Bragg-Bedingung Konstruktive Interferenz, wenn Bragg Bedingung erfüllt: ↓ Gangunterschied = nλ = 2d sin θ mit Ordnung des Reflexes n = 1, 2, 3, … dh. λ ≤ λmax= 2d wegen d ~ 0.1 nm: Eγ ~ 10 keV, Ee ~ 100 eV, En ~ 100 meV. Streutheorie im nächsten Abschnitt und in Physik 6 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

a) Bragg Verfahren Monochromatischer Strahl (festes λ) Monokristalline Probe ("Einkristall") Suche nach Reflex 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

b) Laue Verfahren Polychromatischer Strahl ("weiss") Monokristalline Probe Reflex stellt sich selber ein Röntgen-Laue Diffraktometer: Laue Diagramm: 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Grundriss Europäische Neutronenquelle ILL 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Laue Diffraktometer VIVALDI mit 'image plate' 1: Image plate on: 2: Drum 3: Sample holder 4: Single Crystal 5: Transmission belt 7: He-Ne laser weisser n-Strahl Neutronen-Laue Diffraktometer: Laue Diagramm: 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

c) Debye Scherrer Verfahren Monochromatischer Strahl Polykristalline Probe Rot.-symm. Reflex stellt sich selber ein monochrom. n-Strahl→ ↓ Pulver Probe ←Ringförmiger Detektor 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Debye Scherrer Aufnahme: Neutronen-Pulver Diffraktometer D20 Debye Scherrer Aufnahme: 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

LEED = low energy electron diffraction Laue pattern of a cleaned fcc platinum (111)-surface: LEED-Spectrometer: 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

4.4 Streufunktion und Fourier Transform. Harmonica tone, frequency 593 Hz Fourier transform of this waveform Flute playing D587↓ Power spectrum/dB→ 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Fourier-Transformation f(t) g(ω) t ω (Bild-Speicherung) x f (MP3 player) 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Unschärfe der Fourier-Transformierten Ein langdauerndes Signal hat ein schmales Frequenzspektrum, ein kurzes Signal hat ein breites Frequenzspektrum. extremes Beispiel: Dauer-Sinus-Signal hat Linienspektrum f(t) = sin(ω0t) ↔ g(ω) = δ(ω−ω0). Allgemeine Eigenschaft der Fourier-Transformation, wohlbekannt aus der Nachrichten-Technik: Signaldauer Δt erfordert Bandbreite Δω ≥ 1/Δt, oder: Δω·Δt ≥ 1 analog für räumliche Wellen: "Gebirge" der Breite Δx erfordert Wellenzahl-Spektrum der Breite Δk ≥ 1/Δx, oder: Δk·Δx ≥ 1 Wie gross genau Δω·Δt bzw. Δk·Δx ist, hängt von der genauen Signalform ab. Der Minimalwert 1 wird nur für Gaussförmige Wellen erreicht. F.T. Gauss f(x) ↔ Gauss g(k) schmales f(x), breites g(k): breites f(x), schmales g(k): 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Elastische Streuung einlaufende ebene Welle auslaufende Kugelwelle k q Elastische Streuung r r0 Probe Kugelwelle x O Detektor 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Streufunktion q=k0−k q/2 k θ k θ k0 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Impulsübertrag und Ortsauflösung λ k0 k = 2π/λ q 2θ k Wegen der Unschärfe der Fourier Transformation: bei kleinem Streuwinkel θ (dh. kleinem Impuls-Übertrag ħΔk = ħq) sind nur grosse Strukturen Δx ~ 1/q erkennbar, bei großem Streuwinkel θ (dh. grossem Impuls-Übertrag ħq) sind auch kleine Strukturen Δx ~ 1/q erkennbar; dh. man kann nur Strukturen von der Grösse der zum Impulsübertrag gehörenden Wellenlänge λ' = 2π/q auflösen. kleiner "Streuwinkel": großer "Streuwinkel": λ' λ' 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

1.Beispiel: Beugung am Spalt 2. Beispiel: Dichteverteilung eines Beugungsgitters 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

3. Beispiel: Gitter im x-Raum und im k-Raum Laser + gelöcherte Folie → Schirm: Objekt im Ortsraum: Laue-Diagramm im Impulsraum: Grobe quadratische räumliche Struktur ↔ Feine quadratische k-Raum Struktur Feine hexagonale räumliche Struktur ↔ Großflächige hexagonale Modulation der Intensität 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

4. Beispiel: innere Struktur von Teilchen Theoretische Streufunktion S(q) für kugelförmigen Streuer ≈ innere Ladungsverteilung ρ(r) von Proton und Neutron elektr. Streufkt. Se(q2) des Neutrons 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

4.5 Fourier Transformation und Unschärfe-Relationen Δx θ θ pz p Δpx 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Zeit-Energie Unschärfe 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Linienform einer klassischen gedämpften Schwingung Δω g(ω) ω0−Δω ω0 ω0+Δω ω 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Beispiele Energie-Zeit Unschärfe g(E) 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Vakuum-Fluktuationen 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Deutung der Wellenfunktion ψ(x,t) Intensität =1 R T Total-Reflektion ~ θ R Neutronen-Reflektometrie an dünnen Schichten, mit R+T=1. 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Dispersion eines klassischen Wellenpakets υgr = ∂ω/∂k υph=ω/k x ψ(x, t0=0) Δx0 Wellenpaket: ω Steigung = υg ← Steigung = υp ↓ k Dispersions-Relation: 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Auseinanderlaufen des Wellenpakets t0 t1 t Δx0 Δx 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften

Dispersion einer Materiewelle υgr = E/p υph=E/2p x ψ(x, t0=0) Δx0 n.-rel.: 15.11.2018 Physik III WS 2007-08 4. Wellen-Eigenschaften