Einführung in die Differentialrechnung www.matheportal.wordpress.com

Wie berechnet man die Steigung eines Graphen? Was kann man über die Steigung von Funktionen sagen? Sie ist überall unterschiedlich. Von welchen Funktionen kann man die Steigung berechnen? von linearen Funktionen Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, die durch die Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2) geht? m = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1

Beispiel: f(x) = −0,5x³ + 2,5x² + 6x − 18 Wie kann man die Steigung der Kurve im Punkt A(3/9) mit Hilfe von Geraden bestimmen? Man nimmt einen zweiten Punkt auf dem Graphen und bestimmt die Steigung der Geraden, die durch die beiden Punkte geht. Beispiel 1: P(1/− 10) und A(3/9) m = 9−(−10) 3−1 = 19 2 = 9,5 Wie kann man noch genauer werden? Man rückt den Punkt P näher an A heran. Beispiel 2: P(2/0) und A(3/9) m = 9−0 3−2 = 9 Beispiel 3: P(2,5/4,8125) und A(3/9) m = 9−4,8125 3−2,5 = 4,1875 0,5 = 8,375 Beispiel 4: P(2,75/7,01) und A(3/9) m = 9−7,01 3−2,75 = 1,99 0,25 =7,96 Beispiel 5: P(2,95/8,62) und A(3/9) m = 9−8,62 3−2,95 = 0,38 0,05 =7,6

Das gleiche macht man von der anderen Seite: Beispiel 1: A(3/9) und B(4/14) m = 14−9 4−3 = 5 Beispiel 2: A(3/9) und C(3,5/12,1875) m = 12,1875−9 3,5−3 = 6,375 Beispiel 3: A(3/9) und D(3,25/10,7442) m = 10,7442−9 3,25−3 = 6,9768 Beispiel 4: A(3/9)und P(3,05/9,37) m = 9,37−9 3,05−3 = 7,4

Zusammenfassung der Ergebnisse Abstand h zum Punkt A Steigung 2 9,5 1 9 0,5 8,375 0,25 7,96 0,05 7,6 Man erkennt: Die Werte nähern sich von oben und unten immer weiter an. Vermutung: Die Steigung ist 7,5! 7,5 0,05 7,4 0,25 6,9768 0,5 6,375 1 5

Theorie Beispiel 1: A(3/9) und B(4/14) und m = 14−9 4−3 = 5 Man nähert sich immer genauer einem Punkt, ohne ihn genau zu erreichen. Mathematisch spricht man von dem limes. Wie beschreibt man den Näherungsprozess von links? Gegeben ist die Funktion f(x) und der Punkt P(x0/f(x0)). Dann berechnet man die Steigung näherungsweise von rechts mit Hilfe des Abstandes h (h>0) folgendermaßen: lim ℎ→0 𝑓 𝑥 0+ℎ −𝑓( 𝑥 0 ) 𝑥 0+ℎ − 𝑥 0 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 0+ℎ −𝑓( 𝑥 0 ) ℎ Dann berechnet man den Näherungsprozess von links mit Hilfe des Abstandes h (h>0) folgendermaßen: lim ℎ→0 𝑓 𝑥 0 −𝑓( 𝑥 0 −ℎ) 𝑥 0 −( 𝑥 0 −ℎ) = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 0 −𝑓( 𝑥 0 −ℎ) ℎ = lim ℎ→0− 𝑓 𝑥 0 −𝑓( 𝑥 0 −(−ℎ)) −ℎ = lim ℎ→0− 𝑓 𝑥 0 −𝑓( 𝑥 0 +ℎ)) −ℎ = lim ℎ→0− −𝑓 𝑥 0 +𝑓( 𝑥 0 +ℎ)) ℎ = lim ℎ→0− 𝑓 𝑥 0+ℎ −𝑓( 𝑥 0 ) ℎ A= P(x0/f(x0)) und B( 𝑥 0+ℎ / f 𝑥 0+ℎ ) m = 𝑓 𝑥 0+ℎ −𝑓( 𝑥 0 ) 𝑥 0+ℎ − 𝑥 0 ersetze h durch -h Beispiel 2: P(2/0) und A(3/9) m = 9−0 3−2 = 9 P( 𝑥 0 −ℎ/ 𝑓(𝑥 0 −ℎ)) A( 𝑥 0 /f( 𝑥 0 )) m = 𝑓 𝑥 0 −𝑓( 𝑥 0 −ℎ) 𝑥 0 −( 𝑥 0 −ℎ)

Ergebnis Eine Funktion f hat im Punkt P die Steigung m = f‘(x0), wenn gilt: lim ℎ→0+ 𝑓 𝑥 0+ℎ −𝑓( 𝑥 0 ) ℎ = lim ℎ→0− 𝑓 𝑥 0+ℎ −𝑓( 𝑥 0 ) ℎ Die Steigung wird definiert als: f‘(x0)= lim ℎ→0 𝑓 𝑥 0+ℎ −𝑓( 𝑥 0 ) ℎ Graphisch gesehen bedeutet dies: Man nähert sich der Steigung immer mehr durch die Steigung der Geraden (Sekanten) an. Die Steigung des Graphen ist gleich der Steigung der Tangenten im Punkt P.