7. Transzendente Zahlen

Algebraische Zahlen sind Lösungen von algebraischen Gleichungen p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten an und nichtnegativen Zahlen n. n heißt Grad des Polynoms. Jede rationale Zahl ist eine algebraische Zahl p(x) = u - vx Bsp.: 2 + x = 0  x = -2 2 - 3x = 0  x = 2/3 2 - x2 = 0  x1 = - , x2 = 1 + x3 = 0  x1 = -1 , x2 = - i , x3 = + i Eine nicht algebraische Zahl heißt transzendent. Der Grad einer rationalen Zahl ist n = 1 Der Grad einer Quadratwurzel ist n = 2 Der Grad einer Kubikwurzel ist n = 3 ... Der Grad einer transzendenten Zahl ist nicht endlich. 1 2 1 2

Irrationalitätsbeweis: x ist nicht Wurzel eines Polynoms vom Grade n = 1: a0 + a1x = 0 mit a0,a1   sonst wäre x = -a0/a1 Transzendenzbeweis: x ist nicht Wurzel eines Polynoms a0 + a1x + ... + anxn = 0 mit an   von beliebigem Grade n <  Obwohl die rationalen Zahlen jeden Punkt der Zahlengerade zu bedecken scheinen, gibt es weitere, die irrationalen Zahlen. Obwohl die algebraischen Zahlen jeden Punkt der Zahlengerade zu bedecken scheinen, gibt es weitere, die transzendenten Zahlen. Alle transzendenten Zahlen sind Irrationalzahlen.

Transzendente Zahlen Joseph Liouville (1809 - 1882 ) 1833 Professor in Paris bekannt vor allem durch den Liouvilleschen Satz: Dx*Dv = const. Fand 1844 die erste transzendente Zahl t = tn = t1 = 0,1 t2 = 0,11 t3 = 0,110001 t = 0,110001...0001000...0001000...0001000... 1 2 6 24 120 720 (irrational, weil nichtperiodisch)

Charles Hermite (1822 - 1901) bewies 1873 die Transzendenz der Zahl e. a0 + a1e + a2e2 +...+ anen  0 Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939) bewies 1882 die Transzendenz der Zahl p. a0 + a1p + a2p2 +...+ anpn  0 Lindemann zeigte, gestützt auf den Hermiteschen Beweis, daß b1ea1 + ... + bnean ≠ 0 für verschiedene algebraische Zahlen a1,...,an und algebraische Zahlen b1,...,bn ≠ 0. Aus eip + 1 = 0 folgt damit die Transzendenz der Zahl p. Ein Polynom kreuzt die Abszisse niemals in x = e oder p.

Das uralte Problem Kreisquadratur wurde 1882 endgültig erledigt. Die Quadratur des Kreises wurde im 5 Jhd. v. Chr. aktuell und war schon 414 so populär, daß Aristophanes (445 - 385) in "Die Vögel" von Kreisquadratoren als von Leuten spricht, die das Unmögliche versuchen. Anaxagoras (500 - 428) - laut Plutarch (46 - 120) im Gefängnis - und Hippokrates von Chios (ca. 450) zählten zu den ersten, die es betrachteten. Seit 1755 nahm die französische Akademie der Wissenschaften keine Arbeiten zur Kreisquadratur mehr an. Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777) zeigte 1761 daß p keine rationale Zahl sein kann. 1900 zählte David Hilbert (1862 - 1943) die 23 wichtigsten mathematischen Probleme auf; an siebenter Stelle den Transzendenzbeweis für 2√2 und ähnliche Zahlen. Alexander Gelfand (1906 - 1968) 1929: eip = -1 = i2  e-p = 1/ep = i2i   1934: Alexander Gelfand 1934: Theodor Schneider (1911 - 1988) 2√2 und ähnliche Zahlen  

p = 3,1415926... U A = r * 2

Ägypter: Ahmosis, 2. Jtd. v.Chr.: p/4 = (8/9)2  p = 3,16... Babylonier: 2. Jtd. v.Chr.: p = 3 + 1/8 = 3,125 Juden: 5. Jhd. v.Chr.: p = 3 Die Zierde von Salomons Tempel (1000 v.Chr) war ein "gegossenes Meer, ruhend auf 12 Rindern" 10 Ellen weit, 5 Ellen hoch, mit einer Schnur ringsum 30 Ellen lang. [Bibel, 1. Könige 7,23 und II. Chronik 4,2] Griechen: Archimedes (287 - 212): p = 22/7 = 3,1428... Chinesen: Tsu Ch’ung-Chih (430 - 501) fand den erstaunlich genauen Wert: p = 355/113 = 3,1415929... den aber Liu hwuy (im 7. Jhd.) schon wieder vergessen hatte: p = 157/50 = 3,14 Inder: Brahmagupta (7. Jhd.): p = 10 = 3,16... Mittelalter: Rückfall in die Barbarei Michael Psellus, Byzanz, 11. Jhd. p = 8 = 2,828... Franco von Lüttich, 11. Jhd. p = (9/5)2 = 3,24 Adrian Metius (1585): p = 355/113 = 3,1415929... wiederentdeckt

Rechenleistungen Ludolph van Ceulen (Köln) hatte 1596 p auf 20 Stellen berechnet, gegen Ende seines Lebens: 35 Stellen  Ludolphs Zahl Isaac Newton (1642 - 1727) berechnete 15 Stellen 1665 zum Zeitvertreib Abraham Sharp, Anfang 18 Jhd. 71 Stellen Sherwin 72 Stellen Machin (1680 - 1752), berechnete 100 Stellen in 1706 Leonhard Euler (1707 – 1783) berechnete in wenigen Stunden 20 Stellen Lamy: 127 Stellen John Dase (1824 - 1861), Rechengenie, multiplizierte innerhalb von Stunden hundertstellige Zahlen im Kopf, berechnete 205 Stellen William Shanks (1812 - 1882) produzierte 607 Stellen, davon 527 richtige, später (1853) 707 Stellen, aber falsch jenseits der 527. Der Fehler wurde erst 1945 erkannt, als D.F. Ferguson 530 Stellen berechnete. Letzte Berechnung mit Papier und Bleistift. 1947 berechnete Ferguson 808 Stellen mit einem Tischrechner. 1949 ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer): 2037 Stellen in 70 Stunden 1957 10000 Stellen, von denen aber wegen Maschinenfehlers nur 7480 richtig waren 1958 IBM 704: 10.000 Stellen in 100 Minuten 1961 IBM 7090: 100.000 Stellen in 9 Stunden 1973 CDC 7600: 1 Mio. Stellen in weniger als 1 Tag 1985 Symbolics 3670: 17 Mio. Stellen 1986 CRAY-2: 29 Mio Stellen in weniger als 28 Stunden 1987 100 Mio. 1995 6.442.450.000 Stellen, Yasumasa Kanada, Univ. Tokyo, in 116 Stunden 1999 206.158.430.000 Stellen, Takahashi und Kanada auf Hitachi SR8000, Univ. Tokyo Die Ziffern scheinen normal verteilt, p scheint eine normale Zahl zu sein.

Modulare Identitäten (unendliche Reihen) S. Ramanujan (1914) D.V. Chudnovsky und G.V. Chudnovsky (1989)

Borwein (1989)

Bailey (1996)

Pkanterien 1897 passierte die Gesetzesvorlage Bill 246 das Parlament im US-Bundesstaat Indiana wonach p := 3 scheiterte erst im Senat auf Intervention von Prof. C. Waldo. Rajan Mahadevan, sagte am 5. 7. 1981 in 3 h 49 min 31812 Stellen der Zahl p aus dem Gedächtnis auf. Hideaki Tomoyori, erinnerte 1987 in 17 h 21 min 40000 Stellen der Zahl p. Die Näherungsformel des Japaners Arima = 3.141592653589793238462643383275 Liefert p auf 30 Stellen genau. Univ. Tokio: ca. 200 Mia Stellen berechnet.

Pkanterien 1897 passierte die Gesetzesvorlage Bill 246 das Parlament im US-Bundesstaat Indiana wonach p := 3 scheiterte erst im Senat auf Intervention von Prof. C. Waldo. Rajan Mahadevan, sagte am 5. 7. 1981 in 3 h 49 min 31812 Stellen der Zahl p aus dem Gedächtnis auf. Hideaki Tomoyori, erinnerte 1987 in 17 h 21 min 40000 Stellen der Zahl p. WORLD RECORD HOLDER : 04 Jun 1979 - 11 Jul 1979 (15,151) 02 Oct 1979 - 26 Jun 1980 (20,000) 10 Mar 1987 - 17 Feb 1995 (40,000)

Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777) Sohn eines Schneiders Autodidakt, Universalgelehrter: Mathematiker, Physiker, Astronom und Philosoph zunächst Buchhalter, Schreiber bei einem Prof. in Basel, Hauslehrer in Chur, Redakteur ab 1759 Mitglied der Bayerischen Akademie d. Wiss. ab 1765 Mitglied der Preuß. Akademie d. Wiss. 1027 Manuskripte, davon 190 publiziert Beweis der Irrationalität von e und p (Kettenbruchentwicklung von tanx) „Vorläufige Kenntnis für die, so die Quadratur des Circuls suchen“ (1770)