Wirtschaftsmathematik

Umfrage vor der Produkteinführung: Mein Angebot : Supply (hängt ab, wie viel ich verdiene, umso höher die Investition, umso mehr kann ich produzieren) Nachfrage: Demand (hängt ab, wie viel die Pizza kostet, umso höher der Preis, umso weniger wollen sie kaufen)

Pizza bellissima Preis y € Supply x 6,40 2000 7,80 4000 9,20 6000 10,60 8000 Preis y € Demand x 11,20 2000 9,40 4000 7,60 6000 5,80 8000

Mittels Regression: Wo sich die beiden Geraden treffen ist der Marktpreis!!!

Die Nachfragefunktion (Demand) ist am interessantesten: Höchstpreis p(x) Sättigungsmenge

Die Erlösfunktion: E(x) = p(x). x z.B.: p(x)= 8 -1,2x E(x)= 8x – 1,2x²

Wann ist die Erlösfunktion maximal? Wenn die abgeleitete Erlösfunktion (=Grenzerlösfunktion) ihre Nullstelle hat.

Ein Beispiel: Demandumfrage: Bei welchem Preis habe ich den größten Erlös? Anzahl der Käufer Preis in € 483 388 543 247 209 850 98 951

Absolute Änderung: f(x+h) – f(x) Zum Beispiel bei Demand-Funktion: Wie ändert sich die Nachfrage, wenn ich den Preis um einen bestimmten Betrag verändere? Absolute Änderung: f(x+h) – f(x) f(x+h) – f(x) Dy Relative Änderung: r = ----------------- = -------- f(x) y f(x+h) = r f(x) + f(x) f(x+h) = f(x) (r+1) (Erinnere Dich: q = 1+p) z.b.:

Wie stark ändern Preisänderungen, die Nachfrage?

Käufer Verkaufspreis in € 10 95 20 80 30 55 40 Nachfragefunktion lautet: y = 100 – 0,05 x² Welche Änderung bei der Anzahl der Käufer, wenn der Verkaufspreis bei 80 € und 5 € erhöht wird? x y 20 80 17,3 85 y=80, Dy=5, x=20, Dx= -2,7 Dy 5 Dx -2,7 ------ = -------- ------ = ------ y 80 x 20

Elastizität der Funktion f(x) . . Elastizität der Funktion f(x) = der Quotient der relativen Änderung der x- durch die relative Änderung der y-Werte Elastizität: . , , heißt Bogenelastizitätt

Zeichne die Funktion: y = p(x) = 20 – 0,05x² Wie sehen die Werte für . . Zeichne die Funktion: y = p(x) = 20 – 0,05x² Wie sehen die Werte für aus, wenn Dx = 2? (Setze für x geeignete Werte ein, ersichtlich aus dem Graphen, zeichne die Graphen der x = und y = ) x = 0 - 20 ,

. . Elastizität: . = lim heißt Punktelastizität

Elastizität der Nachfrage . . Elastizität der Nachfrage (Punkteleastizität) Elastizität: .

Berechne die Elastizitätsfunktion der Nachfragefunktion: p(x) = 10 - 0,1x² Untersuche den Zusammenhang: Nachfragefunktion – Erlösfunktion – Grenzerlösfunktion und Elastizität.

Wert von εy,x Bezeichnung Auswirkung ε = 0 y ist vollkommen unelastisch. y reagiert nicht auf eine Änderung von x. 0 < | ε | < 1 y ist unelastisch. y ändert sich relativ weniger stark als x. | ε | = 1 y ist proportional elastisch. Die relative Änderung von y ist gleich der von x. | ε | > 1 y ist elastisch. y ändert sich relativ stärker als x. | ε | geht gegen unendlich y ist vollkommen elastisch. Die relative Änderung von y ist unendlich hoch, selbst bei der kleinsten Änderung von x.

Zusammenhang zwischen Grenzerlösfunktion und Elastizität

Gleichung von Amoroso und Robinson Am Umsatzmaximum ist die Elastizität der Nachfrage -1