bgFEM04 Federn FEM: exakte Lösung - Näherungslösung Scheibe Einführung Aufgabe FEM: exakte Lösung - Näherungslösung Scheibe Modell mit bilinearer Ansatzfunktion Dehnungen und Scherwinkel, Spannungen Virtuelle Arbeit und Steifigkeitsmatrix Elementlasten

Federn In Finite Elemente Methoden werden Federn zur Abbildung von punktförmigen elastischen Lagerungen sowie von elastischen Einspannungen verwendet. Fx(e) = kx•ui Fy(e) = ky•vi Mz(e) = kzz•zi kx, ky, kzz sind die Federkonstanten

Elastische Lagerung eines Punktes mittels dreier Einzelfedern, eine für die x-, eine für die y-Richtung und eine für die Drehung um die z-Achse. Grundgleichung

Bemerkungen In der Steifigkeitsmatrix ist nur die Diagonale besetzt, weil die Federelemente nicht gekoppelt sind. Die Elementsteifigkeitsmatrix wird gleichartig transformiert wie beim Fachwerkstab.

Aufgabe Ermitteln Sie die Systemsteifigkeits-matrix von folgendem System:

Forderung an exakte Lösung An der Grenzlinie benachbarter Elemente müssen die Verschiebungsgrössen beider Elemente übereinstimmen. An der Grenzlinie müssen die Kraftgrössen beider Elemente die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen. An gelagerten Rändern sind die Auflagerbedingungen zu erfüllen. An freien Rändern ist das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen zu erfüllen.

Eigenschaften der FEM mit Verschiebungsansätzen Verschiebungsgrössen stimmen an den Grenzen benachbarter Elemente überein. Die Gleichgewichtsbedingungen für Kraftgrössen werden an den Grenzlinien nicht erfüllt. Die Auflagerbedingungen werden an gelagerten Rändern erfüllt. An freien Rändern wird das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen nicht erfüllt.

FEM-Näherungslösungen Die FEM-Lösung nähert die exakte Lösung an. Ihre Genauigkeit wird durch eine Vergrösserung der Elementzahl bzw. eine Verringerung der Elementgrösse erhöht. Elemente mit höheren Ansatzfunktionen sind genauer als Elemente mit niedrigeren. Bei Finiten Elementen, die ausschlieslich auf Verschiebungsansätzen beruhen, sind die angenäherten Knotenverschiebungen im Mittel zu klein, d.h. das System verhält sich aufgrund des Näherungsansatzes zu "steif".

FEM-Näherungslösungen Die FEM-Näherung ist bei gleichmässiger Elementgrösse im Bereich geringerer Spannungsgradienten besser als im Bereich höherer Spannungsgradienten. Die Elementspannungen sind in Elementmitte deutlich genauer als am Elementrand. Der Spannungssprung zwischen zwei Elementen ist ein Mass für die Genauigkeit an der betreffenden Stelle.

Scheiben Ziel ist es, die Verschiebungen in jedem Punkt des Elements darzustellen.

Scheiben Die Verschiebungen u(x,y) und v(x,y) werden zwischen den Knotenpunkten linear interpoliert. Bilineare Ansatzfunktion der Verschiebungen: u = N•ue N ist die Matrix der Formfunktionen

Scheiben Die Formfunktionen werden wie folgt angesetzt:

Scheibe Für die Verschiebungsfunktionen u(x,y) und v(x,y) der Rechteckscheibe erhält man dann:

Scheibe: Dehnungen und Scherwinkel

Scheibe: Dehnungen und Scherwinkel Konkret erhält man:  = B • ue

Scheibe: Spannungen  = D• = D•B•ue

Scheibe: virtuelle Arbeit Ansatz:

Scheibe: Steifigkeitsmatrix K(e)•ue = Fe mit: K(e) = t•BT•D•B•dxdy Herleitung durch Gleichsetzen der inneren und äusseren virtuellen Arbeiten

Scheibe: Elementlasten Annahmen: konstante Flächenlast, Linienlasten an den Rändern Aufgabe: Elementlasten in äquivalente Knotenkräfte umrechnen. Die zu einer Elementlast äquivalenten Knotenkräfte sind diejenigen Kräfte, die mit den virtuellen Knotenverschiebungen dieselbe Arbeit leisten wie die Elementlasten mit den ihnen entsprechenden Verschiebungen.

Scheibe: Flächenlasten und äquivalente Knotenkräfte

Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte Der Verlauf der Verschiebung wurde als linear angenommen. Es wird hier auch eine linear veränderliche Randlast vorausgesetzt. Für andere Belastungen muss die Berechnung neu gemacht werden.

Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte Beispiel: Belastung des oberen Elementrandes durch linear veränderliche Lasten in x- und y-Richtung. Die virtuellen Verschiebungen zwischen den Knotenpunkten 3 und 4 können beim ersten Ansatz abgelesen werden.

Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte Virtuelle Verschiebung am oberen Rand: Linear veränderliche Randlast py,3-4:

Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte Die Randlast py,3-4 bewirkt am infinitesimalen Abschnitt der Länge dx die Kraft py,3-4•dx. Mit der virtuellen Verschiebung v3-4 erhält man für die virtuelle äussere Arbeit:

Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte Äussere virtuelle Arbeit der äquivalenten Knotenkräfte: Nun werden beide Arbeiten gleich gesetzt. Es ergibt sich schliesslich:

Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte Die äquivalenten Knotenkräfte für px,3-4 erfolgt analog. Es resultiert:

Scheibe: Beispiel 4.5 Arbeiten Sie das Beispiel 4.5 auf Seite 200 durch. Fragen?

Scheibe: Eigenschaften von FE Immer zu erfüllen: Starrkörperverschiebungen dürfen keine Knotenkräfte hervorrufen. Konstante Verzerrungen (und damit auch konstante Spannungen) müssen exakt darstellbar sein. Bedingt zu erfüllen: Stetigkeit des Verschiebungsansatzes geometrische Isotropie Drehungsinvarianz

Scheibe: Ablaufplan Wahl der Ansatzfunktion für die Verschiebungen Ermittlung der Verzerrungen:  = B•ue Stoffgesetz:  = D• Knotenkräfte und Verschiebungen: Ke•ue = Fe mit Ke =   t•BT•D•B dydx Ermittlung der den Elementlasten äquivalenten Knotenlasten FL