Der kleine Satz des Fermat

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Präsentation transkript:

Der kleine Satz des Fermat

Inhalt Problemstellung Der kleine Satz des Fermat Einfluss von Leonard Euler weiterführenden Informationen

Problemstellung Kann man für eine Zahl möglichst schnell und mit wenig Aufwand feststellen, ob es sich um eine Primzahl handelt? Ist 11 eine Primzahl?

Mögliche Ansätze zum Lösen der Problemstellung sind: Lösungsvorschläge Mögliche Ansätze zum Lösen der Problemstellung sind: Primzahltests Primfaktorenzerlegung

Der kleine Satz des Fermat Teilt man diese Kongruenz durch „a“, so erhält man die bekanntere Version:

Es gilt: 1. 2. a ist kein Vielfaches von p

Ist 11 prim? Wir nehmen für a eine beliebige natürliche Zahl. Beispielaufgabe: Ist 11 prim? Wir nehmen für a eine beliebige natürliche Zahl.

Heisst das 11 ist prim? Dieser Schluss kann aus dem Ergebnis der vorhandenen Kongruenz nicht gezogen werden. Man kann allerdings behaupten, dass 11 pseudoprim ist. (nähere Infos in den „weiterführenden Informationen“) Da wir wissen, das 11 eine Primzahl ist, kann man den Umkehrschluss ziehen: Da 11 prim ist, erfüllt es die Kongruenz.

Einfluss von Leonard Euler Sei p eine ungerade Primzahl und a eine beliebige ganze Zahl Wenn gilt: ggT(p;a)=1 , dann ist ein Vielfaches von p.

Verallgemeinerung des kleinen fermatschen Satz zum Satz von Euler mit ggT(a;n)=1 => Satz von Euler liefert Anzahl teilerfremder Zahlen zu n zwischen 1 und n-1 Ist n eine Primzahl, gilt: und der kleine Fermat ist ein Spezialfall des Satzes von Euler.

Weiterführende Informationen Was sind Pseudoprimzahlen? Beweis des „kleinen Fermat“ Quellcode (für Aribas)

Was sind Pseudoprimzahlen? Es gibt einige verschiedene Arten von Pseudoprimzahlen, welche allerdings alle darauf hinauslaufen, dass die Pseudoprimzahl zu einer (oder meheren) Basis (Basen) a den kleinen Satz des Fermat erfüllt, ohne jedoch eine Primzahl zu sein.

Beispiel: 15 zur Basis 4 Die Kongruenz wird erfüllt, obwohl die Zahl 15 in die Primfaktoren 3 und 5 zerlegt werden kann.

Beweis Induktionsanfang (a=1): Induktionsschluss:

(implementiert für Aribas) Quellcode (implementiert für Aribas)

Quellen www.wikipedia.de (10.06.07) http://www.mathematik.uni-dortmund.de (10.06.2007) Die Musik der Primzahlen – Paulo Ribenboim (Springer Verlag, 2. Auflage)