Technische Informatik II Vorlesung 3: Kombinatorische Schaltungen (für Bachelor) Vorlesung 3: Kombinatorische Schaltungen 21.04.2008 , v16 Themen: Beschreibung kombinatorischer Logik Minimierung von Schaltfunktionen Quellen: Zum Teil aus den Unterlagen „Digitale Systeme“, Prof. Schimmler, Prof. Loogen

Schaltnetze Definition: Ein Schaltnetz ist eine technische Realisierung einer Boole‘schen Funktion. Schaltnetze können durch Zusammenschalten von Gattern und Leitungen aufgebaut werden. Schaltnetz mit einem Ausgang: x1 x2 . xn Schaltfunktion y = f(X) y . 2n Anz. Funktionen = 2

Schaltfunktion Eingangswerte Ausgangswerte

Schaltfunktionen n f(X) m x f

Beispiel des Schaltnetzes: x0 x1 & ≠ x2 & y0 ≥1 x3 1

Logische Funktionen von einer Variablen 1 1

Logische Funktionen von zwei Variablen(1) 22 Anz. Funktionen = 2 =16 f

Logische Funktionen von zwei Variablen(2) Anz. Funktionen = 2 =16 22

Verbreiteten Funktionen bis zwei Variablen grafische Darstellung der verschalteten Logik

Rechengesetze der Schaltalgebra Grafische Darstellung der verschalteten Logik

Rechengesetze der Schaltalgebra

Definition: Ein Produktterm ist eine UND-Verknüpfung von Eingabevariablen, wobei jede Eingabevariable höchstens einmal in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen kann. Beispiele für Produktterme:

Definition: Eine Boole‘sche Funktion ist in Disjunktiver Normalform (DNF), wenn sie aus einer ODER-Verknüpfung von Produkttermen besteht. (Sum Of Products: SOP) Beispiele für Funktionen in DNF:

Definition: Ein Minterm (Vollkonjunktion, minimaler Produktterm) ist ein Produktterm, bei dem alle Eingabevariablen entweder in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen. Ein Minterm entspricht einer Zeile in der Wertetabelle der Funktion. Beispiele für Minterme: ( x0 x1 x2 sind alle Eingangsvariablen) ( x0 ist die einzige Eingangsvariable) hingegen ist kein Minterm, wenn es auch noch eine Eingabevariable x1 gibt.

Beispiele für Funktionen in KDNF: Definition: Die Kanonische Disjunktive Normalform (KDNF) einer Boole‘schen Funktion ist eine ODER-Verknüpfung aller Minterme, für die die Funktion den Wert 1 annimmt. Beispiele für Funktionen in KDNF: Die folgende Funktion ist nicht in KDNF; im zweiten Produktterm taucht das x1 nicht auf, daher ist es kein Minterm.

Beispiel einer Wertetabelle einer Funktion y1: x0 x1 x2 y1 Minterm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y1 = + + +

Beispiel des Schaltbildes einer Funktion in KDNF: y1 = + + + x0 x1 x2 1 1 1 & & y1 ≥1 & &

Definition: Ein Summenterm ist eine ODER-Verknüpfung von Eingabevariablen, wobei jede Eingabevariable höchstens einmal in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen kann. Beispiele für Summenterme:

Definition: Eine Boole‘sche Funktion ist in Konjunktiver Normalform (KNF), wenn sie aus einer UND-Verknüpfung von Summentermen besteht. (Product Of Sums: POS ) Beispiele für Funktionen in KNF:

Definition: Ein Maxterm (Volldisjunktion) ist ein Summenterm, bei dem alle Eingabevariablen entweder in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen. Es gibt für jede Zeile i in einer Wertetabelle der Funktion einen Maxterm, der der Menge aller Zeilen außer seiner Zeile i entspricht. Beispiele für Maxterme: hingegen ist kein Maxterm, wenn es auch noch eine Eingabevariable x1 gibt.

Beispiele für Funktionen in KKNF: Definition: Die Kanonische Konjunktive Normalform (KKNF) einer Boole‘schen Funktion ist eine UND-Verknüpfung aller Maxterme, für deren Zeile die Funktion den Wert 0 annimmt. Beispiele für Funktionen in KKNF: Die folgende Funktion ist nicht in KKNF; im ersten Summenterm tauchen x1 und x2 nicht auf, daher ist es kein Maxterm.

. Beispiel einer Wertetabelle einer Funktion: x0 x1 x2 y1 Maxterm 1 1 Einzelvariablen werden invertiert im Maxterme! x0 x1 x2 y1 Maxterm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y1 = x0 x1 x2 + x0 x1 x2 + x0 x1 x2 + x0 x1 x2 . y1 =

. Beispiel des Schaltbildes einer Funktion in KKNF: y1 = 1 ≥1 x0 x1 x2 & y1

Beispiel einer Funktion im Auto: Zündung: Z=1 : Zündung an Hitze: H=1 : Temperatur>95o Pegel: P=1 : ausreichend Wasser Ausgangsfunktion Warnleuchte W Z H P W Minterm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Warnleuchten-Funktion in KDNF: Z H P 1 1 1 & & W ≥1 &

Minimierung durch Hilfe der Schaltalgebra

Warnleuchten-Funktion in DMF: Z H P 1 & W ≥1 &

Hintergrund der logischen Minimierung „ Unit Distance Code“ Schlüsseloperation: A B + A B A (B + B) A Beispiel: Darstellung der Funktion f (x1, x2) =  m(1, 2, 3) 01 00 11 10 x 2 1 -1 x 1 f 2 Die Stelle des Bitwechsels wird gekürzt 1 2 3 1- Brawn Figure 4.33. Ref. Brown

Hintergrund „ Unit Distance Code“ Darstellung der 3-Variablen Funktion f (x1, x2, x3) =  m(0, 2, 4, 5, 6) (2) (6) - - 0 (5) 1 0 - (0) (4) f (x1, x2, x3) = x3 + x1 x2 Ref.: Brawn Figure 4.33.

Hintergrund „ Unit Distance Code“ Darstellung der 4-Variablen Funktion f (x1, x2, x3 , x4) f (x1, x2, x3 , x4) = x2 x4 + x1 x3 + x2 x3 x4 Brawn Figure 4.33.

Karnaugh-Vieth KV-Diagramm: Rechteckiges Schema bei n Eingabevariablen 2n innere Felder. Ränder so beschriften, dass jede Variable genau die Hälfte des Diagramms abdeckt. Jede Variable deckt genau den halben Bereich jeder anderen Variablen ab. Jeder Minterm ist eindeutig durch ein inneres Feld repräsentiert.

Karnaugh-Veith KV-Diagramm: Beispiele: b Unit-Distance Kodierung für benachbarte Felder! Gray Code Zähler: 00 → 01 →11 →10 (Nur ein Bit wechselt!) b a a b Für Funktionen mit 2 Variablen c Für Funktionen mit 3 Variablen a d Minimierungsregel c Für Funktionen mit 4 Variablen

B A A 1 1 B 1 1 1 1 C Beispiele: CA BA 1 BC A ABC 2 Variablen CD AB DB 1 1 1 1 1 1 A CB A CB 1 1 1 D 1 1 1 D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C C 4 Variablen 4 Variablen-Alternativ

Beispiel für ein KV-Diagramm mit 3 Variablen Beispiel: Warnleuchte: Z H P W ZPH+ZPH = ZH ZP ZPH+ZPH= 1 P 1 Z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 H 1 1 1 1 1 1 1

Zusammenfassung: Die Einsen im KV-Diagramm werden zu Blöcken maximaler Größe zusammengefasst. Dabei müssen die Blöcke immer im Raster der Zweierpotenzen beginnen und enden. Eine Zusammenfassung von zwei Blöcken zu einem Block doppelter Größe entspricht einer Anwendung der Vereinfachungsregel: Wenn ein Block (x0x1) und ein zweiter Block (x0x1) beide nur aus Einsen bestehen, liegen diese beiden Blöcke im KV-Diagramm nebeneinander und können zu einem doppelt so großen Block x0 zusammengefasst werden. Die gegenüberliegenden Ränder eines KV-Diagramms sind zu identifizieren. Man kann sich das Diagramm als Torus vorstellen. Wenn mehr als 4 Eingabevariablen vorliegen, muss ein 2-dimensionales KV-Diagramm so dargestellt werden, dass einzelne Variablen Bereiche überdecken, die nicht zusammenhängend in der Ebene sind. Dabei sind aber die zueinander zeigenden Ränder dieser Bereiche als identisch anzusehen.

Einträge in KV-Diagrammen können Nullen und Einsen sein Einträge in KV-Diagrammen können Nullen und Einsen sein. In diesem Fall kann man durch Zusammenfassen aller Einsen zu maximalen Blöcken eine DMF ablesen. (Leider ist sie nicht eindeutig). In solchen Fällen schreibt man meist nur die Einsen in das Diagramm und lässt die Nullen weg. Zusammenfassen der Nullen und benutzen der Komplemente der Variablen führt zur KMF. Wenn einzelne Elemente in der Wertetabelle don‘t cares sind, können diese in den Blöcken der Einsen bei der DMF (oder Nullen bei der KMF) mit auftauchen. Sie schaden nichts. Aber es müssen durchaus nicht alle don‘t cares (dargestellt durch den Buchstaben X oder d) mit in Blöcke aufgenommen werden.

Beispiel: 2-Bit Multiplizierer: p0 n0 1 1 1 1 m0 1 1 m1 1 1 n1 1 p1 1 1 1 n0 1 1 1 1 1 1 1 m0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m1 n1 1 1 1 1 1 p2 1 1 n0 1 1 1 1 1 1 m0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m1

n1 p0 n0 1 1 1 1 m0 m1 n1 p1 n0 1 1 1 1 m0 1 1 m1 n1 p2 n0 1 m0 1 1 p3 m1

2-Bit-Multiplizierer m1 m0 n1 n0 1 1 1 1 p0 & & & p1 ≥1 & & & p2 ≥1 & & p3

Don’t Care Behandlung Don’t Care

4-Bit Codewandler: Dezimal -> Aiken x3 x2 x1 x0 y3 y2 y1 y0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X X X X 1 1 1 X X X X Don’t Care 1 1 X X X X 1 1 1 X X X X 1 1 1 X X X X 1 1 1 1 X X X X

KV Minimierung für Disjunktive Minimalform DMF: Zusammenfassung Aufstellen der Wertetabelle Eintragen der Terme „mit 1“ in KV-Diagramm Zusammenfassen von benachbarten Einsen zu Blöcken maximaler Größe Ablesen der DMF

KV Minimierung für konjunktive Minimalform KMF: Zusammenfassung: Aufstellen der Wertetabelle Eintragen der Werte „mit 0“ in KV-Diagramm Zusammenfassen von benachbarten Nullen zu Blöcken maximaler Größe Ablesen der KMF, indem die Summenterme gebildet werden, die diese Blöcke von Nullen nicht abdecken. Zu diesem Zweck oder‘t man die invertierten Eingabevariablen, die diese Blöcke von Nullen überdecken.

KV-Diagramme mit mehr als 4 Variablen (sehr Arbeitsaufwendig) x2 x3 x3 x4 x0 x5 x0 x2 x1 x5 x1 x1 x4 x4 5 - Variablen 6 - Variablen

Das Verfahren von Quine und McCluskey (Rechnergestützte Verfahren) Mit KV-Diagrammen kommen wir nicht weiter, wenn die Anzahl der Eingabevariablen größer als 6 wird. In diesem Fall empfiehlt sich das Verfahren von Quine und McCluskey. Es beginnt mit der KDMF und besteht aus zwei Schritten: Erstens: Das Verfahren von McCluskey erzeugt durch systematische Anwendung der Vereinfachungsregeln alle Primterme einer Funktion. Zweitens: Das Verfahren von Quine wählt aus dieser Menge aller Primterme eine minimale Teilmenge aus, deren Oder-Verknüpfung die gesamte Funktion repräsentiert.

Das Verfahren von Quine und McCluskey McCluskey: Systematische Anwendung der Regel Konstruktion aller Primterme Quine Treffen einer minimalen Auswahl von Primtermen, deren Disjunktion die Funktion realisiert. Edward J. McCluskey Stanford University Computer Science

Einleitendes Beispiel 1 2 3 4 5 6 3,6 1,2 1,3 1,4 2,5 3,5 4,6 A B C D E F G A,E B,D B,G C,F

Das Verfahren von McCluskey Begonnen wird mit der Funktion in DNF Für jedes Paar von Produkttermen wird geprüft, ob die Regel anwendbar ist. Wenn ja, wird in der nächsten Zeile der Produktterm x aufgenommen. Alle Terme, die nicht zu einem solchen Produktterm beigetragen haben, werden unverändert in die nächste Zeile übernommen. Wenn keine neuen Produktterme in der neuen Zeile entstehen, ist man fertig. Sonst wird bei 1. weitergemacht. Am Ende stehen in der letzten Zeile alle Primterme.

Zweites Beispiel I II III IV I,II II,III III,IV 3 Primterme sind generiert bc ist ein redundanter Term, wie man am KV-Diagramm leicht sehen kann. Daher benötigen wir das Verfahren von Quine.

Das Verfahren von Quine Eine Primterm-Minterm-Tabelle wird aufgestellt: Die Minterme in der Zeile und die Primterme in der Spalte. Alle Spalten, in denen eine 1 aus einer dominanten Zeile (Zeile mit nur einer 1) steht, werden markiert. Alle Zeilen, in denen 1en aus markierten Spalten stehen, werden gestrichen. Wenn keine ungestrichene Zeile mehr vorhanden ist, wird das Verfahren beendet. Die markierten Spalten bilden die Minterme der DMF. Wenn keine dominante Zeile mehr vorhanden ist, aber noch ungestrichene Zeilen existieren, wird eine beliebige Spalte markiert und bei 1. fortgefahren.

Quine Verfahren, minimaler Abdeckung 1. Primterme horizontal, Minterme vertikal einsetzen 2. 1 setzen für alle Minterme die einen Primterm enthalten Primterme Minterme 1 1 1 1 1 1 bc ist nicht nötig da die Primterme ab, ac alle Minterme abdecken! Also f =( ab + ac ) ist die Minimale Implementierung

Beispiel zum Verfahren von Quine McCluskey 10 beteiligte Minterme in Gruppen sortiert nach Anz. von Einsen (Gewicht) (oder Nullen) inklusive den „don‘t cares“ (-) Gewicht=0 Gewicht=1 Gewicht=2 Gewicht=3 Gewicht=4

Primterme generieren Primterme Jede Gruppe mit der folgenden Gruppe testen! Primterme Alle nicht markierte Terme werden als Primterme für die weitere Bearbeitung ausgewählt!

Primimplikanten-Tabelle und minimale Funktionsauswahl Nur Minterme mit 1 (nur 6) Primterme Eine andere Lösung ist auch möglich!