Anmerkungen zur Mathematik-Didaktik am Beispiel π, e und i μάθημα - διδάσκω A. Wynands, Uni Bonn

Gliederung 1. Absicht und Leitgedanken – Mathematik & (Entwicklungs-, Lehr- / Lern-) Psychologie & Pädagogik  Mathematik-Didaktik 2. Ein Beitrag zur Frage: Was sollte Lernenden und Lehrenden im MU und in der Lehrerausbildung Mathe. Sek I / II angeboten werden? 3. (Basis-) Kompetenzen Mathematik Sek I (!) / Sek II (?) - Aufforderung zum Nach- und Mitdenken __________________________________________________________________________________________ 1.1 Mathematik hat Geschichte … auf den Schultern von Giganten: Thales v. Milet 624 – 546 Pythagoras um 570 - nach 510 Euklid 360 – 280 Archimedes um 287 – 212 L. Euler 1707 - 1783 Carl Friedrich Gauß 1777-1855 1.2 Algebraische „Leitidee“ der Zahlentwicklung I, ١, , 1; 1 + 1 +1 + …  N  o (ỏυδεν (UDEN = leer /nichts) Ist a + x = b immer lösbar?  ja in Z Ist a*x = b immer lösbar?  ja in Q (+,*) - minimaler Körper mit unendlich vielen El. (Char. 0) Q „dicht mit Lücken“  R (+,*) – dicht, lückenlos, angeordnet … 1 + x*x = 0 soll Lösung haben – Adjunktion der Lösung  C(+,*) algebraisch abgeschlossener Körper A. Wynands, Uni Bonn

2. Ein Beitrag zur Frage: Was sollte Lernenden und Lehrenden im MU und in der Lehrerausbildung Mathe. Sek I / II angeboten werden? Schule: ideal / real Ausschnitt aus … einer Ausstellung der „Schule von Athen“ „Mathematik zum Anfassen“ A. Wynands, Uni Bonn

Striche / Kerben … Bündel IIII| IIII| II Zahl und Zeichen:     Striche / Kerben … Bündel IIII| IIII| II Babylon Maya Römer I II III IV V … X L C D M A. Wynands, Uni Bonn

0 – ουδεν (gr.) = nichts - Ptolemäus 367/66 - 283/82 Zahl „Null“ zum Zählen und Rechnen 0 1 2 3 … Zahl + 0 = Zahl Zahl * 0 = 0 1 + x = 0  „negative“ Zahlen R. Descartes, 1596-1650 „falsche“ – Zahlen L. Kronecker, 1823 - 1891 „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere [in der Mathematik] aber ist Menschenwerk“ Ziffer – Erfindung! – vgl. Georg IFRAH: Universalgeschichte der Zahlen, Campus Verlag, Frankfurt/New York, 1991; - http://de.wikipedia.org/wiki/Null#Babylonier A. Wynands, Uni Bonn

„Kreiszahl“ π - „Quadratur des Kreises“ Bodenplatte in Sardes / TR Säulen des Artemistempels in Sardes O – Skulptur München / Nähe Hbf A. Wynands, Uni Bonn

Definition für „π“ ? In Uni: Im MU: Verhältnis von Kreis-Umfang zum Kreis-Durchmesser. π := In Uni: A. Wynands, Uni Bonn

Wie groß ist π ? 1. Kön 7,23 und 2.Chr 4,2: aus Lutherbibel (1984) –Salomon-Tempel in Jerusalem ca. 1000 v.Chr. „Und er machte das Meer, gegossen, von einem Rand zum andern 10 Ellen breit, ganz rund, fünf Ellen hoch, und eine Schnur von 30 Ellen konnte es umspannen.“ A. Wynands, Uni Bonn

Heute kennt man mehr als 1 000 000 000 000 Dezimalziffern von π Im Papyrus Rhind Quadratur der Möndchen ca. 1800 v.Chr. - Hippokrates v. Chios 5 Jh. v. Chr. π ca. Heute kennt man mehr als 1 000 000 000 000 Dezimalziffern von π A. Wynands, Uni Bonn

Archimedes (287-212 v. Chr.) versucht die „Quadratur des Kreises“ mit „Ausschöpfung“ durch 6-, 12-, … 96-Eck A. Wynands, Uni Bonn

Vieta (1540 -1603): A. Wynands, Uni Bonn

Euler (1707-1783) Wallis (1616-1703) Brauncker (1620-1684) Gregory (1638-1675) und Leibniz (1646-1716) Euler (1707-1783) A. Wynands, Uni Bonn

Von welcher „Zahl-Art“ ist π ? Lambert (1761): π ist irrational Lindemann (1882): π ist transzendent --------------------------------------------- Wallis, …, Euler, …,Lindemann,… haben ihren Platz in (Mathe.-) Vorlesung, (Didaktik-) Seminaren und Examensarbeiten A. Wynands, Uni Bonn

π im Mathematikunterricht – z.B. Maßstab/SEKUNDO A. Wynands, Uni Bonn

Geschichte(n) im MU - Aus (m)einem Schulbuch: Wer kannte mehr als 3 Ziffern von π? Was findest du dazu im www? A. Wynands, Uni Bonn

Mehr „Archimedisches“ besonders im Gymnasium … Approximation, Konvergenz (-Geschwindigkeit) - Erlebnis Frage: „Wie viel Termumformung braucht der Mensch?“ Antwort: Im MU (9. Kl.) Gy so viel … A. Wynands, Uni Bonn

Vom n-Eck- zum Kreisumfang 1 Vom n-Eck- zum Kreisumfang 1. Versuch mit… führt zu einer Subtraktions-Katastrophe n Ecken 6 1,00E+00 3,0000000 12 5,18E-01 3,1058285 24 2,61E-01 3,1326286 48 1,31E-01 3,1393502 96 6,54E-02 3,1410320 50.331.648 1,25E-07 3,1374751 100.663.296 6,32E-08 3,1819805 201.326.592 2,98E-08 3,0000000 402.653.184 1,49E-08 805.306.368 0,00E+00 0,0000000 A. Wynands, Uni Bonn

2. Versuch mit n Ecken 6 12 24 48 96 s(n) Pi(n) 1,00E+00 3,0000000000 .-. K-Faktor 5,18E-01 3,1058285412 3,53E-02 2,61E-01 3,1326286133 8,63E-03 0,24461 1,31E-01 3,1393502030 2,15E-03 0,24866 6,54E-02 3,1410319509 5,36E-04 0,24967 50.331.648 100.663.296 201.326.592 402.653.184 805.306.368 1,25E-07 3,1415926536 1,98E-15 0,25000 6,24E-08 2,83E-16 0,14286 3,12E-08 1,00000 1,56E-08 0,00E+00 0,00000 7,80E-09 #DIV/0! A. Wynands, Uni Bonn

Von „2-hoch n“ über Wachstumsprozesse mit Euler zu e = … 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709328709127443747047230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696770785449969967946864454905987931636889230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117301238197068416140397019837679320683282376464804295311802328782509819455815301756717361332069811250996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805825749279610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990235304369941849146314093431738143640546253152096183690888707016768396424378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035 A. Wynands, Uni Bonn

Leonard Euler: zeigte den Weg von bx zu log (x), der Felix Klein 1849-1925 (* Düsseldorf, Bonn, Berlin, Göttingen) Hyperbel-Integration  Logarithmus Exponentialfunktion. Leonard Euler: zeigte den Weg von bx zu log (x), der in den 1970er Jahren von Arnold Kirsch u.a. für den MU gangbar wurde. Ausgangspunkte sind Wachstumsprozesse in der Sek. I… … in Märchen, Schachbrettgeschichten, Kapital, Populationen … Wachstum/Zerfall pro „Zeittakt“ um p% mit immer gleichem Faktor q := 1 + p/100 Arbeiten mit Hand und Verstand: 2hoch - Stäbe aufstellen …in gleichmäßigen Abständen, Stäbe für Zwischenplätze  n-te Wurzeln, Einpassen anderer Stäbe  log-Werte, Verändern der Abstände  alle EXP-Funktionen f(x) = bx sind zueinander affin (gedehnt / gestaucht). A. Wynands, Uni Bonn

e – die besondere Basis für „proportionales“ Wachstum … A. Wynands, Uni Bonn

Was folgt aus der Definition von e? Die 1., 2., …Ableitung von ex ist wieder ex. Die Approximation von ex durch ein Polynom muss die Bedingungen erfüllen: 1 = e0 = a0, 1 = (ex )´x=0= a1 … 1 = k! · ak  A. Wynands, Uni Bonn

Definition des Logarithmus ln (x) als Umkehrfunktion der (streng monotonen ) Funktion ex. Algorithmus zur Berechnung von ex und ln (x) mit der Beziehung ex = ( ex/2)2. 1. x-Wert wird n-mal halbiert, bis x/2n =: xn „sehr klein“, 2. damit wird die Näherung berechnet: 1 + xn + ½ (xn)2 =: y0 , 3. y0 wird n-mal quadriert; man erhält den Näherungswert für ex. Der „Umkehrweg“ führt von einem gegebenem Wert y := ex in 3. über n-maliges Wurzelziehen zu y0 , in 2. wird die pos. Wurzel x0 von 1 + xn + ½ (xn)2 = y0 berechnet, in 1. gilt damit 2nx0 ≈ ln (y). A. Wynands, Uni Bonn

Widerspruch, weil rechts von „=„ eine ganze Zahl steht! Die Transzendenz von e – nach Charles Hermite (1822-1901/ Beweis 1873) - ist (Pflicht-?)Stoff im Studium. Die Irrationalität (Euler 1737) ist ein schönes Thema einer Facharbeit im Gy. Mit Folgt Widerspruch, weil rechts von „=„ eine ganze Zahl steht! A. Wynands, Uni Bonn

Überraschend schön: Der „komplexe Kitt“ i := √(-1) verbindet π und e mit den „neutralen“ Zahlen 0 und 1. A. Wynands, Uni Bonn

Die „eingebildete“ imaginäre Einheit i ist ein Konstrukt, eine Erfindung menschlichen Denkens. Problem: x2 + 1 = 0 Lösung: i  i2 + 1 = 0  i2 = -1 i3 = -i, i4 = 1 … Erst C.F. Gauß (1777 - 1855) verhalf i zum Durchbruch. Ohne i gäbe es heute weder „reine“ noch „angewandte“ Mathematik! A. Wynands, Uni Bonn

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Gauß: z = x + iy ≈ 1 + i π/n also eiπ + 1 = 0 z = x + i y auf dem Einheitskreis (r = 1) Für „große“ n ist α := π / n „sehr klein“ und es gilt: Einerseits wegen n-fach-Drehung um α := π / n zn = -1 und Andererseits wegen für „unendlich“ große n bzw. : zn = eiπ also eiπ + 1 = 0 Eli Maor zitiert in seinem Buch Die Zahl e Benjamin Peirce (Mathematiker, Harvard, 19 Jh): „Die Formel ist gewiss absolut paradox; wir können sie nicht verstehen und wir wissen nicht, was sie bedeutet. Aber wir haben sie bewiesen und wissen daher, dass sie wahr ist“. A. Wynands, Uni Bonn

Die schön(st)e Formel i := √(-1) verbindet π und e mit 1 und 0. ei*π + 1 = 0 π A. Wynands, Uni Bonn

3. (Basis-) Kompetenzen Mathematik Sek I (. ) / Sek II ( 3. (Basis-) Kompetenzen Mathematik Sek I (!) / Sek II (?) - Aufforderung zum Nach- und Mitdenken zum Sek. I – Abschluss  Didaktische Literatur Mathematik - Cornelsen A. Wynands, Uni Bonn

3. Basiskompetenzen Mathematik Wer sagt was über (Basis-)Kompetenzen Mathematik am Ende der Sek. II / Abi? MNU – GDM - … ? Und was sollten Basiskompetenzen von Lehramts-Studierenden sein? ? A. Wynands, Uni Bonn

Literatur Beckmann, P. (1989): A History of π, St. Martin´s, New York, Blankenagel, Jürgen (1988): Überlegungen zur Brauchbarkeit dreier Rekursionsformeln für die Pi-Berechnung nach Archimedes. Didakt. Math. v. 16(2) p.128-135. Euler, L. (1748): Introductio in Analysin Infinitorum, Bousquet, Lausanne Kneser, Martin (2004): Ein etwas anderer Zugang zur Exponentialfunktion; Math. Semesterberichte 51, 225-229, (mit Einarbeitungen von historischen Bemerkungen durch R. Remmert). Maor, Eli (1996):Die Zahl e – Geschichte und Geschichten, Birkhäuser, Basel. Posamentier/Lehmann (2004): A Biography of the World´s Most Mysterious Number; Prometheus Books, New York Schröder/Wurl/Wynands (2007): Schulbücher Maßstab/Faktor 9. Klasse für Haupt- und Realschulen, Schroedel-Verlag Wynands, A. (2007): π und e – Anmerkungen eines Didaktikers zu zwei Zahlen; DMV- und GDM-Jahrestagung, Berlin Wynands, A. (2007): π und e ­Zwei besondere Zahlen für Schüler und Lehrer; Festschrift für Michael Neubrand zum 60. Geburtstag. Franzbecker, Hildesheim Wynands, A. (2009): Mindeststandards / Basiskompetenzen und „Risikogruppe“ GDM-Mitteilungen 87-2009 Drüke-Noe e.a. (2011): Basiskompetenzen Mathematik für Alltag und Berufseinstieg am Ende der allgemeinen Schulpflicht - Handreichungen für den Unterricht mit CD-ROM.CornelsenVerlag A. Wynands, Uni Bonn