Numerische Verarbeitung digitaler Signale Glätten drei gemessene Werte yn-1, yn, yn+1 linearer Mittelwert Aus einem Satz von N Messwerten erhält man N-2 geglättete Werte Gleitender Mittelwert - moving average – die neue Kurve wird durch Mittelung von drei Punkten aus der alten Kurve gewonnen. Hat ähnliche Wirkung wie ein Tiefpaß.

Zweimaliges Glätten

Beispiel: Messwerte Tabelle 1: „Numerische“ yn aus unsym. Ausgleichsf. 1 5 - 4,94 2 5,4 5,63 3 6,5 5,97 5,88 6,15 4 6,0 6,07 6,02 6,09 5,7 6,03 6,14 5,87 6 6,4 6,33 6,39 6,30 7 6,9 6,80 6,88 6,82 8 7,1 7,26 7,18 7,30 9 7,8 7,47 7,67 10 7,5 7,53

Ausgleichsgerade Bsp.: durch folgende 5 Messpaare xn,yn wird ein Ausgleichspolynom 1. Ordnung gelegt. N 1 2 3 4 5 xn yn Ausgleichspolynom f(x)=P(x) Polynom 1. Ordnung f(x)=a+bx

Gauß‘sches Prinzip der kleinsten Quadrate y yn+1 b a . b yn X xn xn+1 Streng genommen: senkrechter Abstand muss minimiert werden Praxis: Abzisse wird fehlerfrei angenommen minimiert wird Ordinaten-Differenz f(x)-yn In der Praxis ist diese Annahme berechtigt, da der „Jitter“ im Vergleich zum Amplitudenfehler sehr gering ist. In der x-Achse kein Fehler. Der Fehler ist nur in der Amplitude.

Herleitung Gauß‘sches Fehlerquadrat

Gauß‘sches Fehlerquadrat

Zum Beispiel Ausgleichsgerade durch 5 Punkte

Skizze: Ausgleichspolynom

Ausgleichspolynom 3.Ordnung durch 5 Punkte (xn, ) geglätteter Wert / wahrscheinlichere Wert xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 n In diesem Fall sind gerade 5 Messwerte vorhanden. Das Verfahren lässt sich aber wie der moving average für ein Signal mit vielen Messwerten anwenden. Stützstellen k = -2, -1, 0, 1, 2 (xn+k, yn+k)

Polynom 3. Ordnung

4 Gleichungen

Ausgleichspolynom aus (1) und (3) folgt: Die ersten beiden und die letzten beiden Punkte wurden nicht geglättet.

Unsymmetrische Ausgleichsformel Diese dient zur Berechnung der Randwerte.

Differenzenquotient Messweite yn Variable xn Äquidistanter Abstan xn+1-xn=h Aus Taylorreihe folgt: Differenzenquotient aus den zu (xn,yn)benachbarten Stellen

Taylor‘sche Satz

Quadraturformeln - Integrieren Der Name Quadraturformel stammt vom Delischen Problem der Quadratur des Kreises Quadraturformeln, ermöglichen die numerische Berechnung von Flächeninhalten. Visualisierung zur numerischen Integration Man versucht den Flächeninhalt eines Quadrates und den Flächeninhalt eines Kreises gleich groß zu machen. Dies ist aufgrund der Transzendenz der Zahl Pi nicht möglich. Die Visualisierung der numerischen Integrationsverfahren ist sehr gut auf den Internetseiten www.mathematik.ch

Integrieren y Gesamtfläche x x1 x2 x3 x4 x5 xN

Trapezregel Formel für Trapezfläche y2 h Gesamtfläche: y1 A2 A3 x1 x2 xN

Keplersche Fassregel y1 x1 x2 x3 h 2h Durch 3 Stützstellen wird Polynom 2.Ordnung gelegt Integrationsintervall von 2h y1 x1 x2 x3 h 2h

Herleitung Kepler‘sche Fassregel Sie haben 3 Messwerte: y1,y2,y3. Durch diese drei Messwerte legen Sie ein Polynom 2. Ordnung. Setzen Sie für x die Werte 0,h,2h ein, erhalten Sie drei Gleichungen für a,b,und c. Die Fläche unter der Kurve lässt sich über das Intergral von 0 bis 2h über y(x) bestimmen. K ist die Lösung der Integration. In diese Gleichung setzen Sie die drei Gleichungen für a,b,c ein. Sie erhalten als Ergebnis die Kepler‘sche Fassregel. Übung

Keplersche Fassregel 2 Streifen Bemerkung: Bei gerader Zahl von Messwerten: Simpson-Regel

Simpson-Regel Anstelle der linearen wählt man hier quadratische Interpolation mit Parabelstücken; weil für das Aufstellen einer Parabelgleichung drei Punkte nötig sind, muss man eine ungerade Zahl von Stützstellen wählen. Die Simpson-Regel basiert auf der Kepler‘schen Fassregel

3/8-Regel Polynom 3.Ordnung  3 Streifen y(x)=a+bx+cx²+dx³ y1 A3 drei Streifen x1 x2 x3 x4 h 2h 3h

Newton-Cotes-Formeln 4. Ordnung Polygone höherer Ordnung neigen zu Schwingungen.

Beurteilung der Integrationsverfahren Welche Verfahren wird man in der Praxis einsetzen? Abwägung: Speicherplatz – Prozessorleistung Früher waren Speicherplatz und schnelle A/D-Wandler teuer ->Prozessor + SW Heute: Integrationsintervall klein -> Rechteckregel Übung: www.mathematik.ch/anwendungenmath/numint Anzahl der Intervalle vergrößern. Die MAC-Einheit (Multiplizier- und Akkumuliereinheit) in Signalprozessoren kann in einem Rechenschritt / Operationszyklus gleichzeitig multiplizieren und addieren. Hardware ist angepasst an häufige Rechenoperationen.

Numerische Integration -gewöhnliche Differentialgleichungen Lösbar mit Kepler Fassregel

Inhomogene DGL x(t) y(t) DGL

Herleitung: DGL aus Frequenzbereich y(t) C x(t) Aufstellung der Gleichungen

Herleitung über Fourierbereich

Polygonzugverfahren nach Euler y(t) C x(t)

Übung: Vergleich „Analytisch – Numerisch“ Stellen Sie die beiden Kurven in Excel dar. Eingangsfunktion x[n]=1 für 0≤t x[n]=0 für 0>t RC=1; h=0,1 Bereich 0…7

Explizites Polygonzugverfahren - Euler dt y(t1) h* y(t) y0 Steigung an der linken Grenze h t1 t0

Implizites Polygonzugverfahren Steigung an der rechten Grenze y(t1) dt y(t) y1 h* y0 h t1 t0

Trapezverfahren nach Heun y0 h t t1 t0 Integration einer DGL nach Trapezverfahren

Zwei Tiefpässe hintereinander Ue C U2 C Ue

Z-Transformation Kontinuierliche Fourier-Transformation Zeitsignale Diskrete Z-Transformation Zeitsignale DFT ist Spezialfall der Z-Transformation

z-Tranformierte Funktion  Zuordnung  komplexe Variable z Z-Transformation ordnet Zeitsignal x(n Ta)=xn Z-Transformierte Fourier-Transformierte Diskrete Fourier-Transf. Im allgemeinen gilt: Funktion  Zuordnung  komplexe Variable z

Z-Tranformierte als Abbildung Beschränkung auf einseitige Z-Transformation xn=0 für n<0 s-Ebene Z-Ebene stabil instabil +1

Eigenschaften der Z-Transformation ist ein Polynom von z Der Faktor z-n separiert die Funktionswerte voneinander. Der Faktor z-n beinhaltet eine Verzögerung um n Ta von t=0 aus. Einheitskreis in der Z-Ebene Falls für z die Kreisfunktionen gesetzt werden, ist die z-Tranformierte gleich der DFT.

Anwendung auf nichtrekursive Filter x(n Ta)=xk y(n Ta)=yk ak Blockschaltbild eines nicht-rekursiven Filters Ausgangssignal hängt nur von Werten des Eingangssignals ab. Keine Rückkopplung  immer stabil

Zusammenhang: Y(z), X(z), A(z)

Filterkoeffizienten - Übertragungsfunktion

Kausaler Filter

Akausaler Filter

Beispiel für FiR-Filter y(n*Ta) x(n*Ta) t t 1 2 3 n n x(n·Ta) y(n · Ta) ak

Beispiel: mittelnder Filter

Blockschaltbild nicht rekursiver Filter xn+N xn xn-N z-1 z-1 z-1 a-N a-N+1 a0 aN + + + + + + yN

Filterkoeffizienten für Kreisfunktionen

Analogie Filter – Komplexe Koeffizienten Abtast- intervall Zeit- bereich

TP Übertragungsfunktion

Idealer Tiefpass angenähert durch Koeffizienten ak gerade Funktion Angenähert nach dem Kriterium „Kleinstes Fehlerquadrat“ fg = Grenzfrequenz fa = Abtastfrequenz

Integralsinus Kleine Übung: Stellen Sie die Funktion si(x) im Bereich von -20<x<20 dar. Lösungsmöglichkeiten: Maple, Excel, Simulink, Mathlab, HPVEE, Taschenrechner, plot Taschenrechner

Beispiel: Berechne Tiefpass Filter- gleichung

Kleine Übung Eingangsfunktion für Filter Impuls der Breite 5 – Amplitude = 1 Berechnen Sie die Ausgangswerte für den TP mit Excel

Filtergleichung Gleichspannungsverstärkung

„Kleine Übung“ Plotten Sie die Filtergleichung für x=-3…3

Übung: Berechnen Sie die Filterkoeffizienten für einen Hochpass mit: fg=20Hz N=3 fa=100Hz Ermitteln Sie die Ausgangsfunktion y[n] bei einer Eingangsfunktion: Rechteck mit der Breite von 9 Abtastwerten der Amplitude 1.

Tiefpass  Hochpass

Koeffizienten für Hochpass +/-1 +/-2 +/-3 ak,AP 1 ak,TP 0,4 a0,TP 0,3 a1,TP 0,09 a2,TP -0,06 a3,TP ak,HP 0,6 1-a0,TP -0,3 - a1,TP -0,09 -a2,TP 0,06 -a3,TP

Tiefpass  Bandpass TPO BP TPU

Bandsperre

Rekursive Filter Beschränkung für neues aktuelles Ausgangssignal Augenblicklicher Eingangswert xn und zurückliegende Eingangswerte xn-k Rückführung nur von vergangenen Ausgangswerten yn-k Endliche Anzahl von Koeffizienten

Rekursive Filter Ordnung des Filters größere Zahl von M oder N

Blockbild rekursiver Filter xn xn-N z-1 z-1 z-1 aN a0 a1 aN-1 + + + yn + + + + b1 bM bM-1 yn-1 yn-M z-1 z-1 z-1

Beispiel

Abtasttheorem Bei allen numerischen Filterberechnungen FIR muss das Abtasttheorem eingehalten werden

Herleitung Berechnung Koeffizienten FIR Optimierung nach „Kleinstes Fehlerquadrat“

Filter allgemein |A| wg Filter lassen sich nach verschiedenen Kriterien entwerfen. Die Kriterien sind: Welligkeit im Durchlassbereich (Frequenzbereich) Welligkeit im Sperrbereich (Frequenzbereich) Steilheit beim Übergang vom Durchlass- zum Sperrbereich (Frequenzbereich) Eignung zur Impulsübertragungsfunktion (Zeitbereich) Vorsicht: Filterordnung im analogen Bereich nicht mit Filterordnung (Taps) im digitalen Bereich gleichsetzen |A| wg

FIR-Filter - DSP Digital Signal Processor RISC-Prozessor Jeder Befehl wird in einem Taktzyklus ausgeführt Filtergleichung: Addition und Multiplikation Koeffizienten multipliziert mit Messwerten MAC Multiplizier- und Accumuliereinheit modifizierte Harvard-Architektur im Programmspeicher sind auch Daten – Koeffizienten

Suche nach dem idealen DSP…. Der ideale DSP kann in einem Taktzyklus: Koeffizienten von Speicher 1 und Messwerte von Speicher 2 einlesen, multiplizieren und Addieren BSP: ADSP 21xx BSP: TMS 320xx BSP: Motorola 56xxx, 96xxx

Korrelationsmesstechnik Messgröße x Messgröße y Zusammenhang? =Korrelation X Ernteertrag – Niederschlagsmenge y

Mittelwert

Varianz

Kovarianz

Korrelationskoeffizient

Analyse Plug-in aktivieren Kleine Übung Berechnungen in EXCEL Analyse Plug-in aktivieren Kleine Übung Sie haben zwei Messreihen: xn, yn xn: 1, 2, 3, 4, 5, 6 yna: 6,5,4,3,2,1 Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten Berechnen Sie den Korrelationskoeffizeinten für ynb: 1,2,3,4,5,6 ync: 1,2,3,3,2,1 Stellen Sie die Messreihen als Kurven dar.

Ergebnisse Korrelationkoeffzient: +1 vollständige Abhängigkeit 0 statistisch unabhängig -1 vollständige Abhängigkeit aber gegenläufig

Korrelationsfunktionen

Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion 1,2,4,6,3 2,3,2,1,3 Faltung – Kreuzkorrelationsfunktion

Autokorrelationsfunktion Dien Funktion wird mit sich selbst übereinandergeschoben und multipliziert und aufsummiert symmetrisch Maximum ist bei Verschiebung ττ=0 Beispiel: Geschwindigkeitsmessung mit zwei Sensoren Autokorrelationsfunktion

Kreuzkorrelationsfunktion eigentlich nur periodische Funktionen nicht periodische Funktionen T->unendlich Funktion 1 wird gegen Funktion 2 um τ verschoben und jeweils miteinander multipliziert und aufsummiert

Kreuzkorrelation – Faltung -HPVEE Kreuzkorrelation xcorrelate Device – Function – Signalprocessing – Convolve

KKF und AKF

Stetige Korrelationsfunktionen Mittelwert Varianz

Kovarianz

Kreuzkorrelationsfunktion

Andere Schreibweise

diskrete Korrelation – diskrete Faltung Beachten Sie bei der konkreten Aufgabe die Randbedingungen und die Reduktion auf signifikante Punkte.