A siegt B siegt 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel Stand: 2:1 für A Vorlesung 11.12.2006 Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten

Klausur: Montag, 22.01.2007, 16.15-17.45 Uhr Von Seckendorff-Platz 1 (Informatikgebäude), Raum 5.09 Hilfsmittel: 1 selbst beschriebenes A4-Blatt, Taschenrechner Übungsaufgaben zur Vorbereitung:  Auslage auf dem Flügel Klausurschwerpunkte: Anwendung der behandelten Grundbegriffe auf konkrete Zufallsvorgänge Literatur zur Klausurvorbereitung:  Auslage auf dem Flügel

Beispiel: Was ist gerecht? Zwei gleichstarke Mannschaften bestreiten einen Wettkampf, der aus einzelnen Runden besteht. Im Fall eines Rundengewinns bekommt die Siegermannschaft einen Punkt, die Verlierermannschaft geht leer aus. (Gleichstand in einer Runde gibt es nicht.) Die Mannschaft, die als erste 3 Punkte zusammenhat, ist Gesamtsieger und bekommt das Preisgeld.  Die Bedingungen des Experiments „Wettkampf zwischen Mannschaft A und Mannschaft B“ sind damit festgelegt! Alles wäre in Ordnung, wenn nicht der Wettkampf wegen eines Wolkenbruchs vorzeitig beim Spielstand 2:1 für die Mannschaft A hätte abgebrochen werden müssen. Wie ist nun der Preis möglichst gerecht unter den beiden Mannschaften A und B aufzuteilen?

Möglicher bisheriger Verlauf: Runde: Mannschaft A gewinnt  1 Punkt für A Runde: Mannschaft B gewinnt  1 Punkt für B Runde; Mannschaft A gewinnt  1 Punkt für A Zum Spielstand 2:1 für Mannschaft A nach 3 Runden gibt es für den bisherigen Verlauf außer der oben genannten noch weitere 2 Verlaufsmöglichkeiten. Kombinatorisches Problem: Auswahl von einer Nummer aus einer Rundennummer-3er-Kette  Möglichkeiten.

Vorschlag: Aufteilung des Preisgeldes im Verhältnis 2:1 Mannschaft A bekommt des Preisgeldes, Mannschaft B bekommt des Preisgeldes. Einverstanden? Mannschaft A war ja eigentlich schon „viel näher“ am Gesamt- sieg als Mannschaft B …  Es wäre gerechter, die zukünftigen Chancen zu berücksichtigen!

Blick in die Zukunft: Aktueller Stand: A hat 2 Runden gewonnen, B eine Runde Weiterer möglicher Spielverlauf im Baumdiagramm dargestellt:  verbleibende Spiele bis zum Wettkampf-Ende A siegt B siegt 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel Stand: 2:1 für A Bisher erreichter Stans

Laplace-Modell für jedes der noch ausstehenden Spiele Eintrittschancen? Schritt für Schritt Chancengleichheit für die beiden möglichen Fälle Chancengleichheit für die beiden möglichen Fälle A siegt B siegt 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel Stand: 2:1 für A und insgesamt: Produktregel!

A siegt B siegt 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel Stand: 2:1 für A Mögliche Wettkampfsverläufe: nach dem Spielstand 2:1 für A sind A gewinnt im 1. ausstehenden Spiel oder B gewinnt im 1 ausstehenden Spiel und A im 2. ausstehenden Spiel B gewinnt im 1. und im 2. noch ausstehenden Spiel Das zufällige Experiment „weiterer Wettkampfverlauf“ hat also 3 mögliche Ausgänge = 3 Elementarereignisse

Berechnung der Elementar-Wahrscheinlichkeiten: P(A gewinnt das 1. ausstehende Spiel) = P(B gewinnt im 1. und A im 2. ausstehenden Spiel) = P(B gewinnt im 1. und im 2. ausstehenden Spiel) = A siegt B siegt 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel Stand: 2:1 für A

1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel A siegt B siegt 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel Stand: 2:1 für A Ereignis „ A gewinnt den Wettkampf“ = { A gewinnt das 1. ausstehende Spiel , B gewinnt das erste und A gewinnt das 2. ausstehende Spiel } P( A gewinnt den Wettkampf) =  P(B gewinnt den Wettkampf) = Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch die Summe der zugehörigen Elementarwahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

Welches stochastische Modell verbirgt sich hinter diesen Überlegungen? Gerechte Verteilung des Preisgeldes?  Unsere Antwort: des Preisgeldes an Mannschaft A; des Preisgeldes an Mannschaft B. Welches stochastische Modell verbirgt sich hinter diesen Überlegungen?  mehrstufige Zufallsexperimente

n-stufiges Zufallsexperiment: Das Experiment gliedert sich in n Teilexperimente, die man sich als Kette hintereinander angeordnet vorstellen kann. Jeder Ausgang (=Elementarereignis) des n-stufigen Experiments ist eine Kette von n Teilausgängen: w = (w1, w2, … , wn) , wobei gilt: wi = Ergebnis des i-ten Teilexperiments (i=1,…,n). Achtung: Die Teilexperimente eines mehrstufigen Zufallsexperiments müssen nicht sämtlich identisch sein!

n-stufiges Zufallsexperiment Abfolge der Teilexperimente T1, …, Tn  Veranschaulichung durch einen Baum: w1 . . . . . . . . . w2 wn wn-1 T1 T2 . . . Tn mögliches Elementarereignis des n-stufiges Experiments

Versuchsbedingungen : 4-stufiges Zufallsexperiment Beispiel Ziehen ohne Zurücklegen 9 Kinder stehen auf dem Schulhof – 5 Jungen und 4 Mädchen. Als Tino dazukommt, atmen alle auf: Jetzt gibt es 2 Völkerball-Mannschaften mit je 5 Kindern. Tino stellt die Mannschaften so zusammen: auf gut Glück wählt er die vier Kinder aus, die mit ihm in der gleichen Mannschaft spielen sollen. Die „übrig gebliebenen“ fünf Kinder spielen dann in der anderen Mannschaft. Versuchsbedingungen : 4-stufiges Zufallsexperiment

4-stufiges Zufallsexperiment 4-stufiges Zufallsexperiment? 4 zufällige Versuche sind „hintereinandergeschaltet“.  Die Elementarereignisse des 4-stufigen Experiments setzen sich aus 4 hintereinandergeschalteten Einzel-Ausgängen zusammen.  Die Elementarereignisse des 4-stufigen Experiments sind also 4-er-Ketten von Ausgängen der 4 hintereinandergeschalten Versuche.  Darstellung durch ein Baumdiagramm mit 4 Ebenen

Abzweigung nach links: Abzweigung nach links: Tino wählt in diesem Schritt einen Jungen; Abzweigung nach rechts: Tino wählt in diesem Schritt ein Mädchen. Jungen Mädchen Jungen Mädchen Jungen Mädchen

Stochastisches Modell: 4-stufiges Zufallsexperiment „4x Wählen“  Ausgänge: (1. gewähltes Kind, 2. gewähltes Kind, 3. gewähltes Kind, 4. gewähltes Kind) Dabei ist jeweils nur die Information Junge oder Mädchen interessant (möglich).  Elementarereignisse: 4-er-Ketten mit den Einträgen J(unge) oder M(ädchen)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tinos Mannschaft aus 2 Jungen und 3 Mädchen besteht?  Ereignis E : Tino wählt 1 Jungen und 3 Mädchen aus  E = Menge aller möglichen Auswahlen von 1 Jungen und 3 Mädchen Nach der Auswahl sind noch 4 Jungen und 1 Mädchen „übrig“.  Im Baum ist nach der End-Konstellation zu suchen.

Jungen Mädchen Jungen Mädchen Jungen Mädchen

Pfad „ Junge , Mädchen , Mädchen , Mädchen “ Junge: in 4 der 9 möglichen Fälle  dann Mädchen: aus 4 der dann noch 8 (=4+4) wählbaren Kinder  dann Mädchen: aus 3 der dann noch 7 (=4+3) wählbaren Kinder  dann Mädchen: aus 2 der dann noch 6 (=4+2) wählbaren Kinder  Eine der Möglichkeiten (= ein Elementarereignis aus E): „Pool“ der jeweils noch übrigen Kinder

Pfad „ Junge , Mädchen , Mädchen , Mädchen “ Junge: in 5 der 9 möglichen Fälle   Wahrscheinlichkeit: dann Mädchen: davon in 4 der noch 8 (=4+4) möglichen Fälle  dann Mädchen: davon in 3 der noch 7 (=4+3) möglichen Fälle  dann Mädchen: davon in 2 der noch 6 (=4+2) möglichen Fälle 

Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E) : = 0,15673 Wir benutzen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E) die Pfadregel und das Additivitätsaxiom . Pfadregel: Multiplikation aller Einzelschritt-Wahrscheinlichkeiten des Pfades, um die Wahrscheinlichkeit für dieses Pfad- Ereignisses zu berechnen.

Besonderheit dieses 4-stufigen Experiments: Die 4 Teilexperimente sind 4 unterschiedliche Zufallsversuche! 1. Teilexperiment: Auswahl des ersten Kindes aus einer Gruppe von 5 Jungen und 4 Mädchen 2. Teilexperiment: Auswahl des zweiten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 8 Kinder 3. Teilexperiment: Auswahl des dritten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 7 Kinder 4. Teilexperiment: Auswahl des dritten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 6 Kinder  Die Teilexperimente sind voneinander abhängig: Die Bedingungen jedes Teilexperiments hängen davon ab, wie das Vorgängerexperiment ausgegangen ist!

Wir benötigen einen Begriff, der die Abhängigkeit in der Sprache der Stochastik modelliert.  bedingte Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

Schwarze Kugel gezogen Stochastisches Modell: Für jede von ihm wählbare Kugel-Aufteilung auf die 2 Gefäße muss der Astrologe den folgenden zufälligen Versuch untersuchen: Auswahl einer Gefäßes durch den König und Ziehen einer Kugel aus diesem Gefäß, Feststellen der Kugelfarbe Wir interessieren uns für 2 Merkmale gleichzeitig: Gefäß und Kugelfarbe Elementarereignisse: (Gefäß A , schwarze Kugel ) (Gefäß A , weiße Kugel) (Gefäß B , schwarze Kugel ) (Gefäß B , weiße Kugel) Schwarze Kugel gezogen Weiße Kugel gezogen Gefäß A (A,s) (A,w) Gefäß B (B,s) (B,w) Darstellung der Ergebnisse des Versuchs in einer 4-Felder-Tafel

Mögliche Kugelverteilungen durch den Astrologen: s w s w s s w w s s w w w s s w Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation 4 Achtung: Austauschen der Gefäßbezeich-nungen führt auf 4 analoge Situationen! Wir untersuchen zunächst Situation 1: Wir betrachten deshalb nur die 4 oben darge-stellten Situationen. A B s w Ausgewähltes Gefäß Gezogene Kugel

Austauschen der Gefäßbezeichnungen führt auf 4 analoge Situationen! w Gefäß A links, Gefäß B rechts Gefäß B links, Gefäß A rechts Zufällige Festlegung der Gefäßaufstellung Aufstellungsentscheidung (Festlegung der Gefäß-bezeichnung) Ausgewähltes Gefäß Gezogene Kugel 8 Elementarereignisse (=8 Pfade), jeweils mit der Eintrittswahrscheinlichkeit

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für das reduzierte Modell: P( Gefäß A gewählt ) = P( (A,s) , (A,w)) = P( Gefäß B gewählt ) = P( (B,s) , (B,w)) = P( Schwarze Kugel gezogen, falls vorher Gefäß A gewählt ) = P( w, falls A gewählt) = , P( s, falls B) = , P( w, falls B) = A B s w Ausgewähltes Gefäß Gezogene Kugel P(B) P(A)=

Definition bedingte Wahrscheinlichkeit: Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum W und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P Sei F ein Ereignis mit P(F) 0. Für jedes Ereignis E heißt dann die bedingte Wahrscheinlichkeit von E unter der Bedingung F (=Wahrscheinlichkeit von E, unter Bedingung, dass F eingetreten ist).

Ziehen einer schwarzen Kugel, falls vorher Gefäß A gewählt wurde: Schwarze Kugel gezogen Weiße Kugel gezogen Gefäß A Gefäß B Ereignis „Gefäß A wird gewählt“ Einschränkung von W auf das Ereignis „A“ Untersuchung des Ereignisses „s“ nur noch hinsichtlich der Einschränkung „A“ Ereignis „Schwarze Kugel wird gezogen“ Untersuchung von Ereignis „s“ unter der Bedingung, dass Ereignis „A“ eingetreten ist

Multiplikationsregel: 1 Multiplikationsregel: 1. Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum W und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P Sei F ein Ereignis mit P(F) 0. Dann gilt für jedes Ereignis E: 2. Entsprechend gilt: Sind Ereignisse E und F mit P(E) 0, so gilt:

Multiplizieren mit P(F): Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit Multiplikationsregel Multiplizieren mit P(F): Multiplizieren mit P(E):

Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeiten Unser Astrologen-Beispiel, Situation 1: A B s w Ausgewähltes Gefäß Gezogene Kugel P(A)= P(B) Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeit, die unseren Astrologen interessiert: Wahrscheinlichkeit, die unseren Astrologen interessiert: P( gezogene Kugel ist weiß) = P(w) Situation 1: s w s w Gefäß A B  P(w)= = Pfadregel und Additionsaxiom P(A)= P(B) Ausgewähltes Gefäß A B Gezogene Kugel s w s w

Situation 2: s s w w Gefäß A B  P(w)= = A B s(l) s(r) w(l) w(r) Pfadregel und Additionsaxiom A B s(l) s(r) w(l) w(r)

Situation 3: s w w s Gefäß A B  P(w)= = A B 1 s w(l) w(r) s Pfadregel und Additionsaxiom A B 1 s w(l) w(r) s

Situation 4: w s s w Gefäß A B  P(w)= = A B Pfadregel und Additionsaxiom A B Unser Astrologe sollte sich für die Kugelverteilung gemäß Situation 4 entscheiden: Dann ist seine Chance, seiner Wege gehen zu dürfen, größtmöglich. Sie beträgt rund 66%. 1 s(l) s(r) w w

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum W und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P. Außerdem gelte und Ø für alle Ereignispaare Bi und Bj.. Dann gilt für jedes Ereignis A: Beweis: Pfadregel auf das zugehörige Baumdiagramm anwenden!

Pfadregel und Additivität B1 B2 Bn . . . A A A

Veranschaulichung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit durch ein Venn-Diagramm: für den Spezialfall n=5 W B2 B4 A B1 B5 B3

Begründung: Additionsaxiom Begründung: Multiplikationsregel für bedingte Wahrscheinlichkeiten

Beispiel: In den zwei Körben befinden sich jeweils sowohl Schokoladenmäuse als auch Schokoladenkugeln: Im Korb mit der roten Schleife sind 40 Schokomäuse und 20 Kugeln, im Korb mit der blauen Schleife 30 Schokomäuse und 30 Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei rein zufälligem Griff eine Schokoladenmaus herauszufischen?

Zufälliger Versuch: Schritt 1: zufälliges Auswählen eines der beiden Körbe, Schritt 2: zufälliges Auswählen einer Süßigkeit aus dem ausgewählten Korb. Also: 2-stufiger Zufallsversuch; Elementarereignisse: geordnete Paare (gewählter Korb, Art der Süßigkeit)  W = { (rot, Maus) , (rot, Kugel) , (blau, Maus) , (blau, Kugel) } Achtung: wir haben es nicht mit einem Laplace-Modell zu tun, da in beiden Körben die Anzahl der Mäuse der Anzahl der Kugeln ist.

Korb mit blauer Schleife Korb mit roter Schleife Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit: P(Schokomaus)= Begründung: Pfadregel und Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Schokomaus“ Korb mit blauer Schleife Korb mit roter Schleife Schokomaus gezogen Kugel gezogen Schokomaus gezogen Kugel gezogen

Wichtige Begriffe der heutigen Vorlesung: Mehrstufiges Zufallsexperiment Beschriftetes Baumdiagramm als Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten  Pfadregel Bedingte Wahrscheinlichkeit  4-Felder-Tafel, Multiplikationsregel Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit  im 2-stufigen Baumdiagramm: Pfadregel + Additionsaxiom