Zufallsgröße und Erwartungswert Eine Präsentation von Anna und Deborah

Aufbau Wichtige Definitionen und nützliche Formeln Zufallsgröße Rangsumme Erwartungswert Gewinnoptimierung Beispiele

Stochastik- Wir fangen klein an!

DEFINITION: S oder Ω: Ergebnisraum IΩI: Anzahl der Elemente im Ergebnisraum E: Ereignis (Teilmenge des Ergebnisraums) : Gegenereignis E1: Und- Ereignis E2: Oder- Ereignis

Nützliche Formeln 1- P(E)= P( ) 1- P( ) = P(E) P(E1 )= P(E1) + P(E2) – P(E1 )

BEISPIEL: E1: Gerade Zahlen S= {2,4,6} E2: Zahlen von 1-3 S= {1,2,3} Wie ist das Und-Ereignis? P(E1 )= Wie ist das Oder-Ereignis? P(E1 )= + - =

BEISPIEL (Gegen)Ereignis: Flo hat seinen gezinkten Würfel gegen einen normalen, fairen Würfel getauscht. Er würfelt ein einziges Mal und hofft natürlich auf eine eins. S= E: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Flo eine 1 im Zeugnis bekommt? P(E)= : Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er keine 1 im Zeugnis bekommt? P( )=

DEFINITION: Zufallsgröße Die Zufallsgröße X=k ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zuordnet

BEISPIEL: Flo würfelt 3 Mal, wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten für seine 6er Würfe?  X: Anzahl der 6er Würfe E : 6 : 1, 2, …, 6 P(E)= P( )= Zufallsgröße X 1 2 3 P(X=k)

Entstehung von S‘ Flo hat sich entschieden zwei Mal zu würfeln, drei Mal war eindeutig zu viel. S= {(1,1), (1,2), …, (6,6)} IΩI= 36 Aus Spaß an Mathe betrachtet Flo jetzt die Augensummen und bemerkt, dass der Ergebnisraum S zusammengefasst wird und ein neuer Ergebnisraum S‘ entsteht S‘= {2,3, …, 12} IΩI= 11 Jedem Ergebnis aus S wurde eine Zahl (Augensumme) zugeordnet Zufallsgröße

BEISPIEL Augensummen: Ereignis: Würfeln der Augensumme 5 bei 2fachem Wurf S= {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} IΩI=4 X= 5 P(X=5) = =

Rangsumme als Beispiel einer Zufallsgröße Bei einem Leichtathletik-Wettkampf treten zwei Mannschaften mit je 3 Sportlern gegeneinander an. Jedes der drei Mitglieder der beiden Mannschaften kann im Wettkampf einen der Ränge 1 bis 6, je Sportler ein Rang, belegen. Für die Gesamtwertung des Wettbewerbs werden jeweils die Rangnummern addiert.

Welche Rangnummern können sich für eine Mannschaft bei einem einzelnen Wettkampf ergeben? Welches ist die kleinste, welches die größte Rangsumme? LÖSUNG: Kleinstmögliche Rangsumme: 1+2+3=6 Größtmögliche Rangsumme: 4+5+6=14 Restliche Rangnummern (alle Zwischenwerte): 7,8, .., 14

Wie viele Rangkombinationen gibt es für eine Mannschaft? LÖSUNG: Insgesamt gibt es 20 Rangnummern, 3 aus 6 ausgesucht: = 20

Wie viele Elemente enthält der ursprüngliche Ergebnisraum bei den 6 Rängen und 3 Sportlern? LÖSUNG: IΩI= = 216

DEFINITION: Erwartungswert: Eine Zufallsgröße X nehme die Werte a1, a2,…, an an. Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße X bezeichnet man E(X) = = ( E(X)= n*p ) Der Erwartungswert wird auch mit µ bezeichnet.

BEISPIEL:   Wie oft wird im Durchschnitt die 6 geworfen?

LÖSUNG: E(X)= n*p E(X)= 0*0,579 + 1*0,347 + 2* 0,069 + 3*0,0046 ↓ ↓ ↓ ↓ 0,579 0,347 0,069 0,0046 E(X)= n*p E(X)= 0*0,579 + 1*0,347 + 2* 0,069 + 3*0,0046 E(X)=0,4988 Zufallsgröße X 1 2 3 P(X=k)

Der Erwartungswert muss nicht als Wert der Zufallsgröße auftreten Der Erwartungswert E(X)= 0,4988 beschreibt, bei häufiger Versuchsdurchführung, den näherungsweise zu erwartenden Mittelwert der Verteilung. Also wie oft die 6 bei drei Würfen fällt.

Anwendung des Erwartungswertes zur Gewinnoptimierung: Ein Blumenverkäufer bietet in seinem Laden leicht verwelkende Rosen an. Diese Rosen kauft er immer in 5er- Sträußen. Nach einem Tag kann er die Rosen nicht mehr verkaufen. Die Erfahrung hat gezeigt, dass von 40 gekauften Sträußen in 15% der Fälle 30, in 10% der Fälle 25, in 20% der Fälle 35 Sträuße verkauft wurden. In 55% der Fälle wurden alle Blumen verkauft. Pro Strauß verdient der Verkäufer 3 €. An einem nicht verkauftem Strauß hat er 4€ Verlust. Bei welcher Bestellmenge darf er den größten Gewinn erwarten?

LÖSUNG: Zufallsgröße X: Anzahl der verkauften Sträuße 25 30 35 40 P(X=k) 0,1 0,15 0,2 0,55 ↓ ↓ ↓ ↓ 0,25 4,5 7 22 E(X)= 0,25+4,5+7+22= 33,75 Der Blumenverkäufer kann damit rechnen durchschnittlich ungefähr 34 Sträuße zu verkaufen. Gewinn: G= 34* 3€- 6*4€= 78,00€

Kann der Gewinn optimiert werden? Nehmen wir an, er bestellt nur 35 Sträuße, so ist die Verteilung der Zufallsgröße X und deren Erwartungswert E(X): Zufallsgröße X 25 30 35 P(X=k) 0,1 0,15 0,75 ↓ ↓ ↓ 0,25 4,5 26,25 E(X)= 0,25+4,5+26,25= 31 Der Blumenverkäufer kann damit rechnen durchschnittlich ungefähr 31 Sträuße zu verkaufen. Gewinn: G= 31*3€- 4*4€ = 77,00 €

ERGEBNIS: Den maximalen Gewinn erzielt der Blumenhändler, wenn er 40 Sträuße bestellt Anmerkung: Es wurde davon ausgegangen, dass sich das Kaufverhalten der Kunden nicht ändert, obwohl das Angebot reduziert wurde.

Regeln zum Rechnen mit Erwartungswerten: X,Y seien Zufallsgrößen, a Є IR Dann gilt: (1) E(a*X) = a*E(X) (2) E(X+Y) = E(X) + E(Y)

BEISPIEL: Summe und Vielfache von Zufallsgrößen 1. Würfel: S:{1,2,3,4,5,6} 2.Würfel: S:{3,6,9,12,15,18} also das Dreifache vom 1.Würfel 3.Würfel: S:{0,0,0,1,1,2} Zu dem Zufallsversuch mit den Würfeln gehören die Zufallsgrößen Xi mit Xi: Augenzahl des i-ten Würfels (i=1,2,3)

a) Bestimme E(X1), E(X2), E(X3) LÖSUNG: Der 1. Würfel hat für jede Augenzahl die Wahrscheinlichkeit: P= E(X1): =3,5 E(X2): E(x1)*3 =10,5 E(X3): 0* + 1* +2*´ =

b) Vergleiche die Verteilungen von X1 und X2 sowie E(X1) mit E(X2)   LÖSUNG: Die Verteilungen von X1 und X2 unterscheiden sich in den Werten, die X1 bzw. X2 annehmen können. Jedem Wert k1, den X1 annehmen kann, entspricht ein Wert k2=3k1, den X2 annehmen kann. X2= 3X1 Für die Erwartungswerte gilt: E(X2)= 3*E(X1) es können Vielfache von Zufallsgrößen definiert werden

c) Bestimme die Verteilung der Augensummen des 1. und 3. Würfels (d. h c) Bestimme die Verteilung der Augensummen des 1. und 3. Würfels (d.h. Verteilung von Y= X1+X3) und vergleiche E(X1)+E(X3).

LÖSUNG: Tabelle der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgrößen Augenzahl des 3. Würfels 1 2 des 1. 3 Würfels 4 5 6

Die Zufallsgröße Y kann Werte von 1 bis 8 annehmen Die Zufallsgröße Y kann Werte von 1 bis 8 annehmen. Diese Wahrscheinlichkeiten entnehmen wir der vorherigen Tabelle k P(Y=k) k* P(Y=k) 1 2 3 4 5 6 7 8 E(Y)= = 4 Der Erwartungswert E(Y) ist gleich der Summe der Erwartungswerte E(X1) und E (X3), denn 4 = 3,5 +

ÜBUNGSAUFGABE FÜR EUCH: Flo kauft bei einem „Würfel-Dealer“ falsche Würfel für je 5 Euro. Er muss sie aber am selben Tag wieder verkaufen, sonst zerstören sie sich von selbst. Er verkauft sie für jeweils 15 Euro. Aufgrund Flos Erfahrungen in dem Gebiet hat er folgende Verkaufserfolge ermittelt: Bei wie viel verkauften Würfeln hat Flo den meisten Gewinn? Flo muss entscheiden, kauft er 1,2 oder 3 Würfel? (Hilfe: Bestimmung von E(X1), E(X2), E(X3) mit Hilfe einer Tabelle) Zufallsgröße X 1 2 3 Wahrscheinlichkeit 0,1 0,4 0,3 0,2

LÖSUNG: Ein gekaufter Würfel Zufallsgröße X 1 2 3 P (X=k) 0,1 0,4 0,3 0,2 Gewinn -5 10 E(X1)= 0,1*(-5) + 0,4*10 + 0,3*10 + 0,2*10= 8,5 Euro

LÖSUNG: Zwei gekaufte Würfel Zufallsgröße X 1 2 3 P (X=k) 0,1 0,4 0,3 0,2 Gewinn -10 5 20 E(X2)= 0,1* (-10) + 0,4*5 + 0,3*20 + 0,2*20 = 11 Euro

LÖSUNG: Drei gekaufte Würfel Zufallsgröße X 1 2 3 P (X=k) 0,1 0,4 0,3 0,2 Gewinn -15 15 30 E(X3)= 0,1*(-15) + 0,3*15 + 0,2*30 = 9 Euro Zwei Würfel ergeben den besten Durchschnitt

Quellen: Alte Schulmaterialien Herr Schotts Unterlagen