DAS HERON-VERFAHREN Heron erkannte, dass man die Quadratwurzel einer Zahl bestimmen kann, indem man verschiedene Mittelwerte berechnet. Solche Nährerungsverfahren nennt man in der Mathematik Iterationsverfahren. Hat man nun eine Zahl n und möchte von dieser die Quadratwurzel a ausrechen, geschieht dies nach dem folgenden Algorithmus: weiter
DAS HERON-VERFAHREN Schritt 1: Zunächst legt man eine Seite eines Quadrates x mit 1 fest. Die andere Seite y ermittelt man, indem der Radikant n durch die Seite x geteilt wird n/x = y; y x weiter
DAS HERON-VERFAHREN Schritt 2: y‘ x‘ Im nächsten Schritt berechnet man mit Hilfe des arithmetischen Mittels die Seite x‘ = (x+y)/2. Und die Seite y‘ mit Hilfe des harmonischen Mittels y‘ = (x+y)/x‘ zurück weiter
DAS HERON-VERFAHREN Schritt 3: Schritt 2 wird so oft wiederholt, bis der Unterschied x – y <= 0,000001 ist y‘‘ y‘‘‘ x‘‘‘ y‘‘‘‘ x‘‘‘‘ y‘‘‘‘‘ x‘‘‘‘‘ x‘‘ y‘‘‘‘‘ – x‘‘‘‘‘ <= 0,000001 Beispiel
DAS HERON-VERFAHREN Beispiel: Berechne die Quadratwurzel der Zahl 36 mit Hilfe des Heron- Verfahren zur Lösung!
DAS HERON-VERFAHREN Schritt 1: Radikant 1. Seite 2. Seite n x y 36 1 weiter
DAS HERON-VERFAHREN Schritt 2: Radikant 1. Seite 2. Seite n x‘=(x+y)/2 y‘=n/x‘ 36 18,5 1,9459 weiter
DAS HERON-VERFAHREN Schritt 3: Radikant 1. Seite 2. Seite n x‘‘=(x‘+y‘)/2 y‘‘=n/x‘‘ 36 10,2230 3,5215 weiter
DAS HERON-VERFAHREN Diesen Algorithmus solange wiederholen, bis der Unterschied x – y kleiner 0,000001 ist (siehe Tabelle) Die Quadratwurzel der Zahl 36 ist 6.