Hands on Mathematics for CS Injektivität, Surjektivität und Bijektivität von Funktionen Stefan Nesbigall 2030115 Sebastian Germesin 2029918

Definition: Funktion Definition: Eine Funktion zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M®N, die jedem Element x Î M ein Element y Î N zuordnet.

Definition: Injektiv Definition: Eine Funktion f : M ® N heißt injektiv, wenn: " x,y Î M: f(x) = f(y) Þ x = y keine zwei verschiedenen Pfeile aus M auf dasselbe Element in N zeigen nicht injektiv, da f(A) = f(B) Ù A ¹ B 2 Pfeile von A und B auf 1 zeigen

Definition: Surjektiv Eine Funktion f : M ® N heißt surjektiv, wenn: " y Î N: $ x Î M: f(x) = y auf alle Elemente in N mind. ein Pfeil aus M zeigt nicht surjektiv, da z.B. " x Î M: f(x) ¹ 2 kein Pfeil aus M auf 2 zeigt

Definition: Bijektiv Definition: Eine Funktion f : M ® N heißt bijektiv, wenn: f injektiv und surjektiv ist. nicht bijektiv, da weder injektiv noch surjektiv.

weitere Beispiele injektiv aber nicht surjektiv surjektiv aber nicht injektiv Injektiv und surjektiv Þ bijektiv

Real-World Beispiele (injektiv) (Zugnummer, Datum) ® (Gleis, Uhrzeit) jeder Zugnummer in Verbindung mit einem Datum fährt zu einer best. Zeit auf einem Gleis ab/ein. Produktnummer ® (Bezeichnung, Preis, Gewicht) jede Produktnummer kennzeichnet eindeutig das Produkt mit seinen jeweiligen Eigenschaften.

Real-World Beispiele (surjektiv) Kind ® Vater jedes Kind besitzt einen Vater, ein Vater kann jedoch mehrere Kinder haben Zimmer/Raum ® Gebäude jedes Zimmer befindet sich in einem Gebäude, dort können jedoch auch mehrere Zimmer sein. (Flugnummer, Datum) ® Abflugszeit jeder Flugnummer in Verbindung mit einem Datum wird eine Abflugszeit zugeordnet; zu dieser Zeit können aber mehrere Flugzeuge starten.

Real-World Beispiele (bijektiv) Student ® Matrikelnummer jeder Student hat eine Matrikelnummer und umgekehrt. Buch ® ISBN jedes Buch läßt sich über seine ISBN finden. Bankleitzahl ® Bank jede Bank besitzt genau eine BLZ und man kann jeder BLZ eine Bank zuordnen.

analytische Betrachtung Injektiv: Innerhalb der Definitionsbereiche darf die parallel-verschobene x-Achse nur einmal den Graphen schneiden. f : IR ® IR f(x) = x³ Surjektiv: Der Graph muß bei Projektion auf die y-Achse innerhalb der Definitionsbereiche eine (durchgezogene) Linie ergeben. Bijektiv: Der Graph muß injektiv und surjektiv sein.

analytische Beispiele f: IR ® IR f(x) = x²

analytische Beispiele f: IR ® IR nicht injektiv

analytische Beispiele f: IR ® IR nicht injektiv nicht surjektiv f(x) = x²

analytische Beispiele f: IR ® IR nicht injektiv nicht surjektiv f: IR ® IR+ f(x) = x²

analytische Beispiele f: IR ® IR nicht injektiv nicht surjektiv f: IR ® IR+ nicht injektiv surjektiv f(x) = x²

analytische Beispiele f: IR ® IR nicht injektiv nicht surjektiv f: IR ® IR+ nicht injektiv surjektiv f(x) = x² f: IR+ ® IR+

analytische Beispiele f: IR ® IR nicht injektiv nicht surjektiv f: IR ® IR+ nicht injektiv surjektiv f(x) = x² f: IR+ ® IR+ injektiv surjektiv Þ bijektiv

Fazit: Große Gefahr durch Verwechselung der einzelnen Begriffe (injektiv, surjektiv) mathematische und anschauliche Definitionsweise Betrachtungsweisen Mengenbetrachtung Sonderfälle (z.B. leere Mengen) analytische Betrachtung Achtung Definitionsbereiche