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Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 1 Algorithmen und Datenstrukturen Übungsmodul 10 Dr. W.Narzt u. Dr. A.Stritzinger Institut.

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1 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 1 Algorithmen und Datenstrukturen Übungsmodul 10 Dr. W.Narzt u. Dr. A.Stritzinger Institut für Wirtschaftsinformatik- Software Engineering JKU Linz

2 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 2 Komplexität - Allgemeines Speicherkomplexität Laufzeitkomplexität Laufzeit = f(Problemgröße) typ. Größe der Datenmenge O-Notation gibt Obergrenze für Laufzeit an. Konstanten werden weggelassen (zb. f(2,43N+1) = O(N))

3 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 3 Laufzeitkomplexitäts-Klassen BezeichnungOWertungBeispiel konstante Komp.O(1)optimal, selten Hashing, Prepend Logarithmische K.O( log n )Sehr günstigBinäres Suchen Lineare Komp.O( n )GünstigLineares Suchen Leicht überlinearO(n log n)Noch gutGutes Sortierverfahren Quadratische K.O( n 2 )UngünstigSchlechtes Sortierverfahren Kubische K.O( n 3 )UngünstigMatrizenmultiplikation Exponentielle K.O( a n )KatastrophalRundreiseproblem

4 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 4 Mathem. Aussagen wenn P(n) ein Polynom m-ten Grades ist, so gilt: P(n) = O(n m ) a n wächst stärker als jedes Polynom -> kein polynomialer Algorithmus log n wächst schwächer als n, egal welche Basis

5 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 5 Laufzeitkomplexität nO(n)O(n2)O(2^n) 1 1 sec sec100 sec ca. 1 msec sec 10 msec4*10 6 Jahre msec1 sec3,4* Jahre

6 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 6 Laufzeitkomplexität (relativ kleine Werte)

7 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 7 Laufzeitkomplexität (relativ große Werte)

8 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 8 Laufzeit für einfache FOR-Schleifen for (i=1; i

9 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 9 Laufzeitkomplexität für geschachtelte For-Schleifen for (int i = 1..n) { for (int j = 1..n) { A } Laufzeitkomplexität O(n*n), also quadratisch

10 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 10 Geschachtelte FOR-Schleife mit variabler Obergrenze for (int i = 1..n) { for (int j = 1..i) { A } Laufzeitkomplexität O(n*n/2), also quadratisch

11 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 11 Geschachtelte Schleifen 2 Achtung: nicht jede geschachtelte Schleifenkonstruktion führt zu überlinearer Komplexität! i = n while (i > 0) { j = 1 while (j <= i) { j = j + 1 } i = i / 2 } ist O(n) macht folgendes: 1. Durchlauf: x x x x x x x x x x x x x x x x (n = 16) 2. Durchlauf: x x x x x x x x (8 mal) 3. Durchlauf: x x x x (4 mal) 4. Durchlauf: x x (2 mal) 5. Durchlauf: x (1 mal)

12 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 12 Schleife mit Teilung der Laufweite while (i < n) { n = n/2 i = i + 1; } Laufzeitkomplexität O(log 2 n), also logarithmisch

13 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 13 Rekursiver Algorithmus int fact(int n) { if (n == 0) return 1 else return n * fact(n-1) } Anzahl der Aufrufe n * Aufwand jeder Aktivierung k

14 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 14 Rekursion 2 int doSomething(int a, int b) { // a < b if (a == b) return 0; else return (doSomething (a+1, b) – doSomething(a, b-1)) } Durch den zweifachen rekursiven Abstieg ergibt sich ein binärer Aufrufbaum ! Die Laufzeitkomplexität kann dabei exponentiell werden (2 N ). Dies hängt jedoch immer vom Ausmaß der Problemverkleinerung mit jedem zusätzlichen Rekursionsschritt ab. Für doSomething(0,3) ergeben sich (23+1 – 1) Aufrufe, da ein Binärbaum mit Höhe 4 entsteht. Laufzeitkomplexität O(2 N )

15 Institut für Wirtschaftsinformatik – Software Engineering, JKU Linz 15 Konkrete Laufzeitabschätzung Durch moderne Prozessortechnologien L1 und L2 Caches Pipelining, Branchprediction Multi-core Und Compiler- sowie VM-Optimierungen inLining common subexpression elimination uam. lässt sich kaum noch eine brauchbare konkrete Laufzeitabschätzung erzielen!!


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