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G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 1 5. Sortier-Algorithmen Vorbemerkungen: Sortierproblem: Gegeben Folge von Datensätzen (items) s 1, s 2,... s n.

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1 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 1 5. Sortier-Algorithmen Vorbemerkungen: Sortierproblem: Gegeben Folge von Datensätzen (items) s 1, s 2,... s n Jedes s i besitzt Schlüssel k i (meist vom Typ integer). Gesucht: Permutation, so daß k (1) k (2)... k (n) Interne Sortierverfahren: alle Datensätze im Hauptspeicher, sonst Nutzung des Externspeichers Maße für die Laufzeit: Anzahl der Schlüsselvergleiche C (Comparisons) und Anzahl der Zuweisungen von Datensätzen M (Moves). C min, C max, C mit jeweils M min, M max, M mit minimale, maximale, mittlere Anzahl

2 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 2 Klassifizierung von Sortiertechniken Sortieren durch 1. Auswählen 2. Einfügen 3. Austauschen 4. Mischen 5. Streuen und Sammeln 6. Fachverteilen

3 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 3 Sortieren durch Auswahl Methode: Finde zuerst das kleinste Element im Feld und tausche es gegen das an erster Stelle befindliche Element aus, finde danach das zweitkleinste Element und tausche es gegen das an zweiter Stelle befindliche Element aus und fahre in dieser Weise fort bis das gesamte Feld sortiert ist. Für jedes i von 1,..., N-1 tauscht es a[i] gegen das kleinste Element in a[i],..., a[N] aus:

4 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 4 selection ( int a [ ], int N ) { inti, j, min, t ; for ( i = 1 ; i < N ; i++ ) { min = i; for ( j = i+1; j <= N ; j++ ) if ( a [ j ] < a [ min ] ) min = j; t = a [ min ] ; a [ min ] = a [ i ] ; a [ i ] = t; } Analyse: Anzahl Schlüsselvergleiche: i = N(N-1) / 2 = (N 2 ) Anzahl Bewegungen von Sätzen: 3(N-1)

5 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 5 Insertion Sort (Sortieren durch (direktes ) Einfügen): (Beispiel: Einsortieren der Karten beim Kartenspiel) Methode: Betrachte die Elemente eines nach dem anderen und füge jedes an seinen richtigen Platz zwischen den bereits betrachteten ein (wobei diese sortiert bleiben). Das gerade betrachtete Element wird eingefügt, indem die größeren Elemente einfach um eine Position nach rechts bewegt werden und das Element dann auf dem frei gewordenen Platz eingefügt wird. Für jedes i von 2 bis N werden die Elemente a [1],..., a [i] sortiert, indem a [ i ] an die entsprechende Stelle in der sortierten Liste von Elementen in a[1],..., a[i-1] gesetzt wird.

6 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 6 insertion (int a[ ], int N ) { inti, j, v ; for( i = 2 ; i <= N ; i++ ) { v = a [ i ] ; j = i; while ( a [ j-1 ] > v ) { a [ j ] = a [ j-1 ] ; j--; } a [ j ] = v ; } /* Programm läuft nur, wenn j>1*/

7 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 7 Sortieren von Dateien mit großen Datensätzen Ziel: Jedes Sortierverfahren so einzurichten, dass es nur N Austauschoperationen von vollständigen Datensätzen ausführt, indem man den Algorithmus indirekt (unter Verwendung eines Feldes von Indizes) mit der Datei arbeiten und das Umordnen dann nachträglich vornehmen lässt. Insbesondere, wenn das Feld a [ 1 ],..., a [ N ] aus umfangreichen Datensätzen besteht, zieht man es vor, mit einem Indexfeld p [ 1 ],..., p [ N ] zu arbeiten, wobei ein Zugriff auf das Originalfeld nur für Vergleiche erfolgt. In C ist es zweckmäßig, eine auf dem gleichen Prinzip beruhende Implementierung zu entwickeln, die ein Feld von Maschinenadressen (Zeigern) verwendet.

8 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 8 Beispiel: Umordnen eines sortierten Feldes Vor dem Sortieren k a [k] p [k] AORTINGEPSMAXLE Nach dem Sortieren k a [k] p [k] k a [k] p [k] Nach dem Permutieren AEEGILMNSARPOTXAORTINGEPSMAXLE

9 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 9 Insertion sort unter Hinzufügung eines Indexfeldes insertion ( int a [ ], int p [ ], int N ) { int i, j, v ; for ( i = 0 ; i <= N ; i ++ ) p [ i ] = i ; for ( i = 2 ; i <= N ; i ++ ) { v = p [ i ]; j = i ; while ( a [ p [j - 1]] > a [ v ]) { p [ j ] = p [j - 1] ; j-- ; } }

10 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 10 Funktion zum Umordnen einer Datei insitu ( int a [ ], int [ p ], int N ) { int i, j, k, t ; for ( i = 1 ; i <= N ; i ++ ) if ( p [ i ] != i ) { t = a [ i ] ; k = i; do {j = k ; a [ j ] = a [p [j ] ] ; k = p [ j ] ; p [ j ] = j ; } while ( k != i ); a [ j ] = t; }

11 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 11 Insertion sort unter Verwendung eines Feldes von Zeigern insertion ( int a [ ], int *p [ ], int N) { int i, j, *v; for (i = 0 ; i <= N ; i++ ) p [ i ] = & a [ i ] ; for (i = 2 ; i <= N ; i++ ) { v = p [ i ]; j = i ; while ( *p[ j -1 ] > *v ) { p [ j ] = p [ j - 1 ] ; j -- ;} p [ j ] = v ; }

12 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 12 Cmin(N) = N-1Cmax(N) = i=2..N i = (N 2 ) Mmin(N) = 2(N-1)Mmax(N) = i=2..N i+1 = (N 2 ) Für die Abschätzung der Werte C mit und M mit kann man davon ausgehen, daß im Mittel die Hälfte der maximalen Vergleiche/Bewegungen ausgeführt werden müssen. Auch hier erhält man also (N 2 ). Analyse

13 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 13 Bubblesort Methode: Jeweils 2 benachbarte Schlüssel werden verglichen. Ist a[i].key > a[i+1].key, so werden items vertauscht. Größtes Element steigt in jedem Durchgang ans Ende (wie Blase, engl. bubble, nach oben). Terminierung wenn keine Vertauschung mehr erfolgt ist, oder spätestens nach N-1 Durchläufen.

14 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 14 bubblesort bubble (int a[], int N) { inti, j, t; for ( i = N ; i >= 1 ; i--) for (j = 2; j <= i; j++ ) if ( a [j-1] > a [j] ) ( t = a [j-1] ; a [j-1] = a [j] ; a [j] = t; ) }

15 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 15 Analyse: Cmin(N) = N-1 Cmax(N) = (N-1) + (N-2) = N*(N-1) / 2 = (N 2 ) Mmin(N) = 0 Mmax(N) = 3 * Cmax(N) = (N 2 ) Dieselbe Abschätzung erhält man für die mittlere Laufzeit. Bubblesort asymmetrisch: gut, wenn viele Elemente in der richtigen Reihenfolge sind, schlecht sonst.

16 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 16 Leistungsparameter der Sortierverfahren (Durchschnitt) AlgorithmusVergleicheBewegungen Selection SortN 2 /2N Insertion SortN 2 /4N 2 /8 Bubble SortN 2 /2N 2 /2

17 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 17 Quicksort erfahrungsgemäß eine der schnellsten Methoden Divide and Conquer-Verfahren: Zerlege die Folge F= a[1],...,a[n] in zwei Folgen F 1 und F 2, so daß gilt: Für jeden Schlüsselwert k i1 der Folge F 1 und jeden Schlüsselwert k i2 der Folge F 2 gilt die Beziehung k i1 < k i2, d. h. jedes Element der ersten Teilfolge ist kleiner als jedes Element der zweiten Teilfolge. Führe diese Zerlegung wiederum für beide Folgen F 1 und F 2 durch, usw. Das Verfahren bricht für eine Teilfolge ab, wenn diese einelementig ist. Nach dem Abbruch des Verfahrens ist dann die gesamte Folge sortiert. Wir beschreiben den Vorgang des Zerlegens und Zusammensetzens etwas genauer:

18 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 18 Zerlegung: (i)Wähle ein Element x aus der Folge a[1],...,a[n], etwa x:=A[1]; (ii)Durchsuche die Folge von links, bis ein Element a[i] mit x < a[i] gefunden wurde. (iii)Durchsuche die Folge von rechts, bis ein Element a[j] mit a[j] < x gefunden wurde. (iv)Vertausche beide Elemente (v)Wiederhole (ii), (iii) und (iv) so lange, bis i >= j gilt. Anschließend wird das Element x = a[1] mit a[j] vertauscht und es gilt für die neue Folge a[1],...,a[j-1], x, a[j+1],...,a[n]: a[i 1 ] < x < a[i 2 ], für alle i 1 {1,...,j-1}, i 2 {j+1,...,n} Daraufhin wird der gesamte Prozeß für die Teilfolgen a[1],...,a[j-1] und a[j+1],..., a[n] durchgeführt, und es ist kein Zusammensetzen der Ergebnisse mehr erforderlich.

19 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 19 Beispiel zu Quicksort: Wir betrachten die Folge j i und sortieren sie bezüglich der Ordnung <=. Zuerst haben wir das Vergleichselement x = a[1] = 44 gewählt. Mit der Variablen i sind wir von links so weit gelaufen, bis wir auf ein Element gestoßen sind, das größer ist als 44. Das gleiche geschah von rechts mit der Variablen j, bis ein Element gefunden wurde, das kleiner ist als x, a[i] und a[j] werden nun vertauscht und wir erhalten: ij

20 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 20 Mit i sind wir anschließend auf das Element a[5] = 94 und mit j auf a[6] = 6 gestoßen. Wiederum werden beide vertauscht: ij Nachdem wir mit Hilfe von i und j die Folge weiter durchsucht haben, gilt jetzt i >= j, und damit ist das Abbruchkriterium der Zerlegung erreicht. Jetzt werden a[1] und a[j] vertauscht, und wir erhalten: Jetzt gilt: Alle Elemente der linken Teilfolge sind kleiner oder gleich x, und jedes Element der rechten Teilfolge ist größer oder x. Das Verfahren wird nun auf beide Teilfolgen angewendet: und

21 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 21 C-Programm zu Quicksort quicksort ( int a [ ], int l, int r ) /* ausgewähltes Element steht rechts */ { int v, i, j, t ; if ( r > l) { v = a [ r ] ; i = l - 1; j = r ; for ( ; ; ) { while ( a [ i++] < v) ; while ( a [ --j] > v ); if ( i >= j ) break; t = a[i] ; a[i] = a[j] ; a[j] = t; } t = a [ i ] ; a [ i ] = a [ r ]; a [ r ] = t; quicksort ( a, l, i -1 ) ; quicksort ( a, i+1, r ) ; }

22 G.Heyer Algorithmen und Datenstrukturen 22 Analyse: worst case: sowohl Vergleiche wie Bewegungen quadratisch. Schlechtester Fall tritt ein, wenn Array bereits sortiert. (N + 1) + (N) + ( N - 1) Vergleiche best case: Folgen werden in gleichlange Teilfolgen aufgeteilt, Aufrufbaum hat Tiefe log N, auf jeder Ebene maximal N Vergleiche, damit Laufzeit (N log N). Mittlere Laufzeit fast so gut wie beste Laufzeit!! Annahmen: Schlüssel 1,..., N, alle Permutationen gleich wahrscheinlich Average case Komplexität: O(N log N)


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