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STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/06 22. Dezember 2005.

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1 STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/06 22. Dezember 2005

2 Anteilstests Einstichprobentest für den Anteilswert
Hat der Anteil einen bestimmten Wert, bzw. liegt er in einem bestimmten Bereich? Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für Anteilswerte Unterscheiden sich die Anteile zweier unabhängiger Gruppen? Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

3 Anteilstest - Einstichprobentest
Einstichprobentest für den Anteilswert: Einseitige Hypothesen: H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 Zweiseitige Hypothesen: H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0

4 Anteilstest - Einstichprobentest
Vorgehensweise: Teststatistik bestimmen Testverteilung bestimmen Entescheidung über Annahme oder Ablehnung von H0.

5 Anteilstest - Einstichprobentest
Anteilswert einer Stichprobe: P = x / n Unter H0 ist P, wenn nθ0(1-θ0) ≥ 9, approximativ N-Vt., mit Parametern E(P) = θ0 Var(P) = θ0(1-θ0)/n · [(N-n)/(N-1)] Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur wenn n/N < 0,05.

6 Anteilstest - Einstichprobentest
Prüfgröße / Teststatistik: Standardisierte Zufallsvariable Z:

7 Anteilstest - Einstichprobentest
Testverteilung: Teststatistik Z ist unter H0 N(0,1) verteilt. Daher: Testverteilung ist die Standardnormalverteilung.

8 Anteilstest - Einstichprobentest
Kritischer Bereich: α festlegen (z.B. α = 0,05) Kritischer Wert: α – Quantil der N(0,1)-Vt. Entscheidung: H0 ablehnen, wenn Teststatistik im kritischen Bereich. p-Wert: p-Wert: Niveau, bei dem der Test gerade noch die H0 ablehnen würde. Entscheidung: H0 ablehnen, wenn p-Wert < α

9 Anteilstest - Einstichprobentest
Bsp: Anteil der weiblichen Studenten Approximation durch N-Vt. zulässig, da unter H0 nθ0(1-θ0) = 18,25 ≥ 9. 1. Einseitige Tests: H0: pw ≤ 0,5 gegen H1: pw > 0,5 und α=0,05 H0: pw ≥ 0,5 gegen H1: pw < 0,5 und α=0,05 2. Zweiseitiger Test: H0: pw = 0,5 gegen H1: pw  0,5 und α=0,05

10 Anteilstest - Einstichprobentest
Bsp: Anteil der weiblichen Studenten H0: pw  0,5 gegen H1: pw > 0,5 und α=0,05 Unter H0: E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0034 und σP = 0,0585 (ohne Endlichkeitskorrektur). Teststatistik: Z = 1,05 Testverteilung: N(0,1) => Kritischer Wert 1,64 p-Wert: 0,1461

11 Anteilstest - Einstichprobentest
Bsp: Anteil der weiblichen Studenten H0: pw ≥ 0,5 gegen H1: pw < 0,5 und α=0,05 Unter H0: E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0034 und σP = 0,0585 (ohne Endlichkeitskorrektur). Teststatistik: Z = 1,05 Testverteilung: N(0,1) => Kritischer Wert -1,64 p-Wert: 0,8539

12 Anteilstest - Einstichprobentest
Bsp: Anteil der weiblichen Studenten H0: pw = 0,5 gegen H1: pw  0,5 und α=0,05 Unter H0: E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0034 und σP = 0,0585 (ohne Endlichkeitskorrektur). Teststatistik: Z = 1,05 Testverteilung: N(0,1) => Kritische Werte -1,96 und +1,96 p-Wert: 0,2922

13 Anteilstest - Zweistichprobentest
Test für die Differenz zweier Anteilswerte Stichprobe 1: Anteil P1 = x / n1 Grundgesamtheit 1: Anteil θ1 Stichprobe 2: Anteil P2 = x / n2 Grundgesamtheit 2: Anteil θ2 H0: Anteilswerte der beiden Grundgesamtheiten sind gleich. H0: θ1 = θ2 (=θ) gegen H1: θ1 ≠ θ2

14 Anteilstest - Zweistichprobentest
Teststatistik: (Unter Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur und wenn Voraussetzungen für eine N-Vt. erfüllt sind) Verteilung der Teststatistik unter H0: Z ~ N(0,1)

15 Anteilstest - Zweistichprobentest
Entscheidung: Bestimmung des kritischen Bereichs. Z > |c| lehne H0 ab Bestimmung des p-Wertes p-Wert < α lehne H0 ab Interpretation: Wird H0 abgelehnt, dann sind die Anteile in den beiden Gruppen signifikant verschieden.

16 Test für arithmetisches Mittel
Einstichprobentest für das arithm. Mittel: Hat das arithm. Mittel einen bestimmten Wert, bzw. liegt es in einem bestimmten Bereich? Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für das arithm. Mittel Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Gruppen? Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

17 Test für arithmetisches Mittel
Einstichprobentest für das arithm. Mittel: Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt. Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt.

18 Test für arithmetisches Mittel
Einstichprobentest für das arithm. Mittel: Zweiseitige Hypothese: H0: µ = µ0 gegen H1: µ ≠ µ0 Festlegen des Signifikanzniveaus

19 Test für arithmetisches Mittel
Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt. Unter H0 ist das arithm. Mittel der Stichprobe N-Vt. mit E=µ und Var=σ²/n Teststatistik: Testverteilung: N(0,1)

20 Test für arithmetisches Mittel
Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. Berechung des p-Wertes Entscheidung Interpretation

21 Test für arithmetisches Mittel
Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt. Schätzwert für unbekanntes σ²: Stichprobenvarianz s². Teststatistik: Testverteilung: tn-1 t-Test

22 Test für arithmetisches Mittel
Bestimmung des kritischen Bereichs: kritische Werte: α/2-Quantile der t-Vt., symmetrische Vt. daher tcu = -tco Berechung des p-Wertes: Entscheidung: |t| > tc, lehne H0 ab p-Wert < α, lehne H0 ab Interpretation

23 Test für arithmetisches Mittel
Bsp. mittlere Körpergröße (n = 73) H0: µ = 170 gegen H1: µ  170, α = 0,05 Arithm. Mittel der Stpr: 173,4 Standardabweichung der Stichprobe: 9,5 Teststatistik T = (173,4-170) / 9,5/73 = 3,1 Kritische Werte: -1,96 und +1,96 p-Wert: 0,0021 Mittlere Körpergröße ist signifikant  170

24 Test für arithmetisches Mittel
Zweistichprobentest für die Differenz zweier arithmetischer Mittel Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Grundgesamtheiten? Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier verbundener Stichproben?

25 Test für arithmetisches Mittel
Differenz zweier arithmetischer Mittel die aus 2 Grundgesamtheiten stammen. Voraussetzung: Stichproben unabhängig Stichproben stammen aus einer N-vt. Grundgesamtheiten bzw. Approximation durch N-Vt. ist zulässig Endlichkeitskorrektur ist vernachlässigbar

26 Test für arithmetisches Mittel
Unterscheide, ob die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten homogen sind oder nicht. Varianzen verschieden, σ1²  σ2² : Teststatistik: Testverteilung: Z asymptotisch N(0,1)-vt.

27 Test für arithmetisches Mittel
Varianzhomogenität, σ1² = σ2² = σ²: Teststatistik: wobei Testverteilung: T ~ tv mit v=n1+n2-2 Freiheitsgarden

28 Test für arithmetisches Mittel
Verbundene Stichproben (abhängige oder gepaarte Stpr.) Tritt auf, wenn z.B. die Merkmalsausprägungen der ersten Stpr. und die der zweiten jeweils an demselben Merkmalsträger erhoben werden. Bsp: vorher – nachher Untersuchungen. Test für die Differenz arithmetischer Mittel bei verbundenen Stichproben.

29 Test für arithmetisches Mittel
Differenzen der Wertepaare: Di = X2i – X1i sind N-vt. mit E(Di) = µ2i - µ1i = δ und Var(Di) =σD² Teststatistik: Testverteilung: T~tv mit v=n-1

30 Test für Varianz Einstichprobentest für die Varianz:
Hat die Varianz einen bestimmten Wert, bzw. liegt er in einem bestimmten Bereich? Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für die Varianz Unterscheiden sich die Varianzen zweier Gruppen? Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

31 Test für Varianz Einstichprobentest für die Varianz:
Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt H0: σ² = σ0² gegen H1: σ²  σ0² Teststatistik: Testverteilung: χ²v mit v=n-1 Entscheidung: χ² > χ²co oder χ² < χ²cu, lehnen H0 ab p-Wert < α, lehne H0 ab

32 Test für Varianz Zweistichprobentest für den Quotienen zweier Varianzen: Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt H0: σ1² = σ2² gegen H1: σ1²  σ2² Teststatistik: Testverteilung: Fv1,v2 mit v1=n1-1 und v2=n2-1 Entscheidung: F > Fco oder F < Fcu, lehnen H0 ab p-Wert < α, lehne H0 ab

33 Nichtparametrische Tests
Nichtparametrische Tests (v.a. wenn Annahme der Normalverteilung nicht erfüllt ist). Rangtests für Lageparameter Zeichentest Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum einer Verteilung Verteilungsfreie Lokationsvergleiche Wilcoxon Rangsummentest oder Mann-Whitney U Test

34 Rangtests für Lageparameter
Zeichentest (Ordinalskala ausreichend) Annahme: unabhängige Beobachtungen x1, ..., xn stammen aus einer Grundgesamtheit mit stetiger Verteilungsfunktion F. Test für den Median ξ0,5 der Grundgesamtheit Einseitige Hypothesen: H0: ξ0,5  ξ0 gegen H1: ξ0,5 > ξ0 H0: ξ0,5  ξ0 gegen H1: ξ0,5 < ξ0 Zweiseitige Hypothese: H0: ξ0,5 = ξ0 gegen H1: ξ0,5  ξ0

35 Rangtests für Lageparameter
Vorgehensweise: Transformation der Beobachtungswerte: xi‘ = xi - ξ0 Bestimmung von yi yi = 1 falls xi‘ > 0, yi = 0 falls xi‘ < 0, Bindungen: yi = ½ falls xi‘ = 0

36 Rangtests für Lageparameter
Teststatistik: Unter H0 ist T ~ B(n, ½) Approximation durch N(0,1): Entscheidung: Vergleich von Z mit kritischen Werten der N(0,1) Verteilung

37 Rangtests für Lageparameter
Beispiel für Zeichentest (Hartung, S. 243): Alter von Frauen bei der Geburt des ersten Kindes. H0: ξ0,5  25 gegen H1: ξ0,5 > 25. Zufällige Auswahl von n = 36 Müttern. i Alter xi xi‘ yi 1 30,6 5,6 2 17,8 -7,2 : 35 20 -5 36 23,5 -1,5

38 Rangtests für Lageparameter
Beispiel Approximation durch N-Vt Entscheidung (bei α=0,05): Z < 1,645 Lehne H0: ξ0,5  25 nicht ab.

39 Rangtests für Lageparameter
Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum einer Grundgesamtheit Basiert auf Rangzahlen der Beobachtungen Annahme: n unabhängige Beobachtungen (x1, ..., xn) stammen aus einer Grundgesamtheit mit Verteilungsfunktion F Frage: Ist die Verteilung symmetrisch um einen Wert ξ0, d.h. gilt F(ξ0-y) = 1-F(ξ0+y)?

40 Rangtests für Lageparameter

41 Rangtests für Lageparameter
Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum ξ0 einer Grundgesamtheit Einseitige Hypothesen: H0: F symmetrisch um ξ  ξ0 H0: F symmetrisch um ξ  ξ0 Zweiseitige Hypothese: H0: F symmetrisch um ξ = ξ0

42 Rangtests für Lageparameter
Vorgehensweise: Transformation der Beobachtungswerte: xi‘ = xi - ξ0 Ohne Berücksichtigung der Vorzeichen der xi‘ Rangzahlen Ri zuweisen (1 für kleinsten Wert, ..., n für größten Wert). Den Rangzahlen werden die Vorzeichen der zugehörigen xi‘ Werte zugewiesen => Rangstatistik R̃i

43 Rangtests für Lageparameter
Teststatistik: mit ci = 0 falls R̃i < 0 und ci = 1 falls R̃i > 0 Entscheidung: Vergleich von T+ mit kritischen Werten wn,α des Vorzeichenrang-test von Wilcoxon (z.B. Hartung S. 245)

44 Rangtests für Lageparameter
Approximation durch N(0,1) Verteilung: Teststatistik T* (keine Bindungen): mit E T+ = n(n+1) / 4 und Var T+ = n(n+1)(2n+1) / 24 (Beim Auftreten von Bindungen: T* laut Hartung, S. 246) Vergleich von T* mit kritischen Werten der N(0,1) Verteilung

45 Rangtests für Lageparameter
Beispiel Wilcoxon Vorzeichenrangtest Psychologischer Test, Bewertung durch Punkte xi H0: F symmetrisch um ξ = ξ0 = 61, α = 0,05 Teststatistik: ci = 0 falls R̃i < 0 und ci = 1 falls R̃i > 0

46 Rangtests für Lageparameter
Beispiel: T+ = 1·10,5+0·(-3)+1·3+0·(-7)+1·7+1·9+0·(-3)+1·5+1·1 +1·10,5+1·7 = 53 i xi xi‘ = xi- ξ0 Ri R̃i 1 72 11 10,5 2 55 -6 3 -3 67 6 4 53 -8 7 -7 5 69 8 71 10 9 68 65

47 Rangtests für Lageparameter
Beispiel: Kritische Werte aus Tabelle: wn;α/2 = w11;0,025 = 11 und wn;1-α/2 = w11;0,975 = 54 Entscheidung: w11;0,025 = 11 < T+ = 53 < 54 = w11;0,975 Daher: lehne H0 nicht ab, F ist symmetrisch um ξ0 = 61.

48 Vt.-freie Lokationsvergleiche
Wilcoxon Rangsummentest oder Mann-Whitney U Test Annahme: zwei unabhängige Messreihen, zugrundeliegenden Verteilungsfunktionen sind stetig und vergleichbar (d.h. sie schneiden einander nicht). Frage: Besteht ein Unterschied in den Verteilungen? Sind z.B. die Werte der einen Messreihe „im Durchschnitt größer“ als die der anderen?

49 Vt.-freie Lokationsvergleiche

50 Vt.-freie Lokationsvergleiche
Einseitige Hypothesen: H0: F1(x)  F2(x) gegen H1: F1(x)  F2(x) und für mind. ein x gilt: F1(x) < F2(x) H0: F1(x)  F2(x) gegen H1: F1(x)  F2(x) und für mind. ein x gilt: F1(x) > F2(x) Zweiseitig Hypothese: H0: F1(x) = F2(x) gegen H1: F1(x)  F2(x)

51 Vt.-freie Lokationsvergleiche
Vorgehensweise: Gemeinsame Rangzahlen der beiden Messreihen bilden: r1, ..., rn1, rn1+1, ..., rn1+n2 Teststatistik: Kritische Werte des Wilcoxon-Rangsummen-Tests aus Tabelle (siehe z.B. Hartung 518)

52 Vt.-freie Lokationsvergleiche
Entscheidung: H0: F1(x)  F2(x), H0 verwerfen falls Wn1,n2 > Wn1;n2;1-α H0: F1(x)  F2(x), H0 verwerfen falls Wn1,n2 < Wn1;n2;α Zweiseitig Hypothese: H0: F1(x) = F2(x) H0 verwerfen falls Wn1,n2 < Wn1;n2;α/2 oder Wn1,n2 > Wn1;n2;1-α/2

53 Vt.-freie Lokationsvergleiche
Beispiel: Behandlung von Pilzen mit Vitamin B1. Führt diese Behandlung zu (signifikant) höherem Gewicht? Behand-lung Rangz. Kontrolle 27 19 26,5 18 7 17 6 34 22,5 22 14 14,5 5 18,5 8 20,5 12 24,5 13,5 3 9,5 1 29,5 21 12,5 2 4 20 10,5 35,5 24 23 15 28 9 16 13

54 Vt.-freie Lokationsvergleiche
Beispiel: H0: FB(x) ≥ FK(x) bzw. XB ist stochastisch kleiner als XK, α = 0,05. Teststatistik: Summe der Ranzahlen der ersten Messreihe (Behandlungsgruppe): Wn1,n2 = 220. Kritischer Wert: wn1;n2;0,95 = 191 Entscheidung: 220 > 191 => H0 ablehnen. D.h. die Behandlung führt zu einem signifikant höheren Gewicht.


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