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1 STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/06 22. Dezember 2005.

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1 1 STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/ Dezember 2005

2 2 Anteilstests Einstichprobentest für den Anteilswert –Hat der Anteil einen bestimmten Wert, bzw. liegt er in einem bestimmten Bereich? –Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für Anteilswerte –Unterscheiden sich die Anteile zweier unabhängiger Gruppen? –Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

3 3 Anteilstest - Einstichprobentest Einstichprobentest für den Anteilswert: Einseitige Hypothesen: –H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ > θ 0 –H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ < θ 0 Zweiseitige Hypothesen: –H 0 : θ = θ 0 gegen H 1 : θ θ 0

4 4 Anteilstest - Einstichprobentest Vorgehensweise: Teststatistik bestimmen Testverteilung bestimmen Entescheidung über Annahme oder Ablehnung von H 0.

5 5 Anteilstest - Einstichprobentest Anteilswert einer Stichprobe: P = x / n Unter H 0 ist P, wenn nθ 0 (1-θ 0 ) 9, approximativ N-Vt., mit Parametern –E(P) = θ 0 –Var(P) = θ 0 (1-θ 0 )/n · [(N-n)/(N-1)] Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur wenn n/N < 0,05.

6 6 Anteilstest - Einstichprobentest Prüfgröße / Teststatistik: Standardisierte Zufallsvariable Z:

7 7 Anteilstest - Einstichprobentest Testverteilung: Teststatistik Z ist unter H 0 N(0,1) verteilt. Daher: Testverteilung ist die Standardnormalverteilung.

8 8 Anteilstest - Einstichprobentest Kritischer Bereich: α festlegen (z.B. α = 0,05) Kritischer Wert: α – Quantil der N(0,1)-Vt. Entscheidung: H 0 ablehnen, wenn Teststatistik im kritischen Bereich. p-Wert: α festlegen (z.B. α = 0,05) p-Wert: Niveau, bei dem der Test gerade noch die H 0 ablehnen würde. Entscheidung: H 0 ablehnen, wenn p-Wert < α

9 9 Anteilstest - Einstichprobentest Bsp: Anteil der weiblichen Studenten Approximation durch N-Vt. zulässig, da unter H 0 nθ 0 (1-θ 0 ) = 18, Einseitige Tests: –H 0 : p w 0,5 gegen H 1 : p w > 0,5 und α=0,05 –H 0 : p w 0,5 gegen H 1 : p w < 0,5 und α=0,05 2. Zweiseitiger Test: –H 0 : p w = 0,5 gegen H 1 : p w 0,5 und α=0,05

10 10 Anteilstest - Einstichprobentest Bsp: Anteil der weiblichen Studenten H 0 : p w 0,5 gegen H 1 : p w > 0,5 und α=0,05 –Unter H 0 : E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0034 und σ P = 0,0585 (ohne Endlichkeitskorrektur). –Teststatistik: Z = 1,05 –Testverteilung: N(0,1) => Kritischer Wert 1,64 –p-Wert: 0,1461

11 11 Anteilstest - Einstichprobentest Bsp: Anteil der weiblichen Studenten H 0 : p w 0,5 gegen H 1 : p w < 0,5 und α=0,05 –Unter H 0 : E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0034 und σ P = 0,0585 (ohne Endlichkeitskorrektur). –Teststatistik: Z = 1,05 –Testverteilung: N(0,1) => Kritischer Wert -1,64 –p-Wert: 0,8539

12 12 Anteilstest - Einstichprobentest Bsp: Anteil der weiblichen Studenten H 0 : p w = 0,5 gegen H 1 : p w 0,5 und α=0,05 –Unter H 0 : E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0034 und σ P = 0,0585 (ohne Endlichkeitskorrektur). –Teststatistik: Z = 1,05 –Testverteilung: N(0,1) => Kritische Werte -1,96 und +1,96 –p-Wert: 0,2922

13 13 Anteilstest - Zweistichprobentest Test für die Differenz zweier Anteilswerte Stichprobe 1: Anteil P 1 = x / n 1 Grundgesamtheit 1: Anteil θ 1 Stichprobe 2: Anteil P 2 = x / n 2 Grundgesamtheit 2: Anteil θ 2 H 0 : Anteilswerte der beiden Grundgesamtheiten sind gleich. H 0 : θ 1 = θ 2 (=θ) gegen H 1 : θ 1 θ 2

14 14 Anteilstest - Zweistichprobentest Teststatistik: ( Unter Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur und wenn Voraussetzungen für eine N-Vt. erfüllt sind) Verteilung der Teststatistik unter H 0 : Z ~ N(0,1)

15 15 Anteilstest - Zweistichprobentest Entscheidung: Bestimmung des kritischen Bereichs. –Z > |c| lehne H 0 ab Bestimmung des p-Wertes –p-Wert < α lehne H 0 ab Interpretation: Wird H 0 abgelehnt, dann sind die Anteile in den beiden Gruppen signifikant verschieden.

16 16 Test für arithmetisches Mittel Einstichprobentest für das arithm. Mittel: –Hat das arithm. Mittel einen bestimmten Wert, bzw. liegt es in einem bestimmten Bereich? –Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für das arithm. Mittel –Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Gruppen? –Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

17 17 Test für arithmetisches Mittel Einstichprobentest für das arithm. Mittel: –Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt. –Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt.

18 18 Test für arithmetisches Mittel Einstichprobentest für das arithm. Mittel: Zweiseitige Hypothese: H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ µ 0 Festlegen des Signifikanzniveaus

19 19 Test für arithmetisches Mittel Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt. Unter H 0 ist das arithm. Mittel der Stichprobe N-Vt. mit E=µ und Var=σ²/n Teststatistik: Testverteilung: N(0,1)

20 20 Test für arithmetisches Mittel Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. Berechung des p-Wertes Entscheidung Interpretation

21 21 Test für arithmetisches Mittel Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt. Schätzwert für unbekanntes σ²: Stichprobenvarianz s². Teststatistik: Testverteilung: t n-1 t-Test

22 22 Test für arithmetisches Mittel Bestimmung des kritischen Bereichs: kritische Werte: α/2-Quantile der t-Vt., symmetrische Vt. daher t c u = -t c o Berechung des p-Wertes: Entscheidung: |t| > t c, lehne H 0 ab p-Wert < α, lehne H 0 ab Interpretation

23 23 Test für arithmetisches Mittel Bsp. mittlere Körpergröße (n = 73) H 0 : µ = 170 gegen H 1 : µ 170, α = 0,05 Arithm. Mittel der Stpr: 173,4 Standardabweichung der Stichprobe: 9,5 Teststatistik T = (173,4-170) / 9,5/ 73 = 3,1 Kritische Werte: -1,96 und +1,96 p-Wert: 0,0021 Mittlere Körpergröße ist signifikant 170

24 24 Test für arithmetisches Mittel Zweistichprobentest für die Differenz zweier arithmetischer Mittel –Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Grundgesamtheiten? –Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier verbundener Stichproben?

25 25 Test für arithmetisches Mittel Differenz zweier arithmetischer Mittel die aus 2 Grundgesamtheiten stammen. Voraussetzung: –Stichproben unabhängig –Stichproben stammen aus einer N-vt. Grundgesamtheiten bzw. Approximation durch N-Vt. ist zulässig –Endlichkeitskorrektur ist vernachlässigbar

26 26 Test für arithmetisches Mittel Unterscheide, ob die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten homogen sind oder nicht. Varianzen verschieden, σ 1 ² σ 2 ² : Teststatistik: Testverteilung: Z asymptotisch N(0,1)-vt.

27 27 Test für arithmetisches Mittel Varianzhomogenität, σ 1 ² = σ 2 ² = σ²: Teststatistik: wobei Testverteilung: T ~ t v mit v=n 1 +n 2 -2 Freiheitsgarden

28 28 Test für arithmetisches Mittel Verbundene Stichproben (abhängige oder gepaarte Stpr.) –Tritt auf, wenn z.B. die Merkmalsausprägungen der ersten Stpr. und die der zweiten jeweils an demselben Merkmalsträger erhoben werden. Bsp: vorher – nachher Untersuchungen. Test für die Differenz arithmetischer Mittel bei verbundenen Stichproben.

29 29 Test für arithmetisches Mittel Differenzen der Wertepaare: D i = X 2i – X 1i sind N-vt. mit E(D i ) = µ 2i - µ 1i = δ und Var(D i ) =σ D ² Teststatistik: Testverteilung: T~t v mit v=n-1

30 30 Test für Varianz Einstichprobentest für die Varianz: –Hat die Varianz einen bestimmten Wert, bzw. liegt er in einem bestimmten Bereich? –Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für die Varianz –Unterscheiden sich die Varianzen zweier Gruppen? –Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

31 31 Test für Varianz Einstichprobentest für die Varianz: Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt H 0 : σ² = σ 0 ² gegen H 1 : σ² σ 0 ² Teststatistik: Testverteilung: χ² v mit v=n-1 Entscheidung: –χ² > χ² c o oder χ² < χ² c u, lehnen H 0 ab –p-Wert < α, lehne H 0 ab

32 32 Test für Varianz Zweistichprobentest für den Quotienen zweier Varianzen: Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt H 0 : σ 1 ² = σ 2 ² gegen H 1 : σ 1 ² σ 2 ² Teststatistik: Testverteilung: F v1,v2 mit v 1 =n 1 -1 und v 2 =n 2 -1 Entscheidung: –F > F c o oder F < F c u, lehnen H 0 ab –p-Wert < α, lehne H 0 ab

33 33 Nichtparametrische Tests Nichtparametrische Tests (v.a. wenn Annahme der Normalverteilung nicht erfüllt ist). Rangtests für Lageparameter –Zeichentest –Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum einer Verteilung Verteilungsfreie Lokationsvergleiche –Wilcoxon Rangsummentest oder Mann-Whitney U Test

34 34 Rangtests für Lageparameter Zeichentest (Ordinalskala ausreichend) –Annahme: unabhängige Beobachtungen x 1,..., x n stammen aus einer Grundgesamtheit mit stetiger Verteilungsfunktion F. Test für den Median ξ 0,5 der Grundgesamtheit Einseitige Hypothesen: –H 0 : ξ 0,5 ξ 0 gegen H 1 : ξ 0,5 > ξ 0 –H 0 : ξ 0,5 ξ 0 gegen H 1 : ξ 0,5 < ξ 0 Zweiseitige Hypothese: –H 0 : ξ 0,5 = ξ 0 gegen H 1 : ξ 0,5 ξ 0

35 35 Rangtests für Lageparameter Vorgehensweise: Transformation der Beobachtungswerte: –x i = x i - ξ 0 Bestimmung von y i –y i = 1 falls x i > 0, y i = 0 falls x i < 0, Bindungen: y i = ½ falls x i = 0

36 36 Rangtests für Lageparameter Teststatistik: Unter H 0 ist T ~ B(n, ½) Approximation durch N(0,1): Entscheidung: Vergleich von Z mit kritischen Werten der N(0,1) Verteilung

37 37 Rangtests für Lageparameter Beispiel für Zeichentest (Hartung, S. 243): –Alter von Frauen bei der Geburt des ersten Kindes. H 0 : ξ 0,5 25 gegen H 1 : ξ 0,5 > 25. Zufällige Auswahl von n = 36 Müttern. iAlter x i x i yiyi 130,65,61 217,8-7,20 :::: ,5-1,50

38 38 Rangtests für Lageparameter Beispiel Approximation durch N-Vt Entscheidung (bei α=0,05): Z < 1,645 Lehne H 0 : ξ 0,5 25 nicht ab.

39 39 Rangtests für Lageparameter Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum einer Grundgesamtheit –Basiert auf Rangzahlen der Beobachtungen –Annahme: n unabhängige Beobachtungen (x 1,..., x n ) stammen aus einer Grundgesamtheit mit Verteilungsfunktion F Frage: Ist die Verteilung symmetrisch um einen Wert ξ 0, d.h. gilt F(ξ 0 -y) = 1-F(ξ 0 +y)?

40 40 Rangtests für Lageparameter

41 41 Rangtests für Lageparameter Wilcoxon Vorzeichenrangtest für das Symmetriezentrum ξ 0 einer Grundgesamtheit Einseitige Hypothesen: –H 0 : F symmetrisch um ξ ξ 0 Zweiseitige Hypothese: –H 0 : F symmetrisch um ξ = ξ 0

42 42 Rangtests für Lageparameter Vorgehensweise: Transformation der Beobachtungswerte: –x i = x i - ξ 0 Ohne Berücksichtigung der Vorzeichen der x i Rangzahlen R i zuweisen (1 für kleinsten Wert,..., n für größten Wert). Den Rangzahlen werden die Vorzeichen der zugehörigen x i Werte zugewiesen => Rangstatistik R̃ i

43 43 Rangtests für Lageparameter Teststatistik: mit c i = 0 falls R̃ i 0 Entscheidung: Vergleich von T + mit kritischen Werten w n,α des Vorzeichenrang- test von Wilcoxon (z.B. Hartung S. 245)

44 44 Rangtests für Lageparameter Approximation durch N(0,1) Verteilung: Teststatistik T* (keine Bindungen): mit E T + = n(n+1) / 4 und Var T + = n(n+1)(2n+1) / 24 (Beim Auftreten von Bindungen: T* laut Hartung, S. 246) Vergleich von T* mit kritischen Werten der N(0,1) Verteilung

45 45 Rangtests für Lageparameter Beispiel Wilcoxon Vorzeichenrangtest Psychologischer Test, Bewertung durch Punkte x i H 0 : F symmetrisch um ξ = ξ 0 = 61, α = 0,05 Teststatistik: c i = 0 falls R̃ i 0

46 46 Rangtests für Lageparameter Beispiel: T + = 1·10,5+0·(-3)+1·3+0·(-7)+1·7+1·9+0·(-3)+1·5+1·1 +1·10,5+1·7 = 53 ixixi x i = x i - ξ 0 RiRi R̃ i , ,

47 47 Rangtests für Lageparameter Beispiel: Kritische Werte aus Tabelle: w n;α/2 = w 11;0,025 = 11 und w n;1-α/2 = w 11;0,975 = 54 Entscheidung: w 11;0,025 = 11 < T + = 53 < 54 = w 11;0,975 Daher: lehne H 0 nicht ab, F ist symmetrisch um ξ 0 = 61.

48 48 Vt.-freie Lokationsvergleiche Wilcoxon Rangsummentest oder Mann- Whitney U Test Annahme: zwei unabhängige Messreihen, zugrundeliegenden Verteilungsfunktionen sind stetig und vergleichbar (d.h. sie schneiden einander nicht). Frage: Besteht ein Unterschied in den Verteilungen? Sind z.B. die Werte der einen Messreihe im Durchschnitt größer als die der anderen?

49 49 Vt.-freie Lokationsvergleiche

50 50 Vt.-freie Lokationsvergleiche Einseitige Hypothesen: –H 0 : F 1 (x) F 2 (x) gegen H 1 : F 1 (x) F 2 (x) und für mind. ein x gilt: F 1 (x) < F 2 (x) –H 0 : F 1 (x) F 2 (x) gegen H 1 : F 1 (x) F 2 (x) und für mind. ein x gilt: F 1 (x) > F 2 (x) Zweiseitig Hypothese: –H 0 : F 1 (x) = F 2 (x) gegen H 1 : F 1 (x) F 2 (x)

51 51 Vt.-freie Lokationsvergleiche Vorgehensweise: Gemeinsame Rangzahlen der beiden Messreihen bilden: r 1,..., r n1, r n1+1,..., r n1+n2 Teststatistik: Kritische Werte des Wilcoxon- Rangsummen-Tests aus Tabelle (siehe z.B. Hartung 518)

52 52 Vt.-freie Lokationsvergleiche Entscheidung: –H 0 : F 1 (x) F 2 (x), H 0 verwerfen falls W n1,n2 > W n1;n2;1-α –H 0 : F 1 (x) F 2 (x), H 0 verwerfen falls W n1,n2 < W n1;n2;α Zweiseitig Hypothese: –H 0 : F 1 (x) = F 2 (x) H 0 verwerfen falls W n1,n2 W n1;n2;1-α/2

53 53 Vt.-freie Lokationsvergleiche Beispiel: Behandlung von Pilzen mit Vitamin B 1. Führt diese Behandlung zu (signifikant) höherem Gewicht? Behand- lungRangz. Behand- lungRangz.KontrolleRangz.KontrolleRangz , , ,5518,58 20,51224,51713,539,51 29, ,512, ,535, ,5 2113

54 54 Vt.-freie Lokationsvergleiche Beispiel: H 0 : F B (x) F K (x) bzw. X B ist stochastisch kleiner als X K, α = 0,05. Teststatistik: Summe der Ranzahlen der ersten Messreihe (Behandlungsgruppe): W n1,n2 = 220. Kritischer Wert: w n1;n2;0,95 = 191 Entscheidung: 220 > 191 => H 0 ablehnen. D.h. die Behandlung führt zu einem signifikant höheren Gewicht.


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