Institut für Theoretische Informatik

Präsentation zum Thema: "Institut für Theoretische Informatik"—  Präsentation transkript:

1 Institut für Theoretische Informatik
Diskrete Mathematik Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAAAAAAAAA

2 Kapitel 2: Graphentheorie

3 Hamiltonkreise & Eulertouren
Betrachte einen Graphen G=(V,E): Hamiltonkreis: Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis, der jeden Knoten des Graphen genau einmal enthält. Eulertour: Eine Eulertour ist ein geschlossener Weg, der jede Kante des Graphen genau einmal enthält.

4 Hamilton Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865),
The Icosian Game : Sir William Rowan Hamilton ( ), Irischer Mathematiker, Physiker und Astronom.

5 Hamiltonkreis - Beispiele
kein Hamiltonkreis …

6 NP-Vollständigkeit Karp (1972) Das Problem
Gegeben ein Graph G=(V,E), enthält G einen Hamiltonkreis? ist NP-vollständig. P = effizient entscheidbare Probleme NP = (einseitig) effizient verifizierbare Probleme P = NP → 1 Million US-$ (Clay-Foundation) ?

7 Hamiltonkreise im Gitter
Gibt es einen Hamiltonkreis? Nein!

8 Hamiltonkreise im Gitter
Satz: Ein n x m Gitter enthält genau dann einen Hamiltonkreis, wenn nm gerade ist.

9 Hamiltonkreise & Eulertouren
Betrachte einen Graphen G=(V,E): Hamiltonkreis: Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis, der jeden Knoten des Graphen genau einmal enthält. Eulertour: Eine Eulertour ist ein geschlossener Weg, der jede Kante des Graphen genau einmal enthält.

10 Euler Leonhard Euler ( ) Euler-Gedenktafel in Riehen

11 Königsberger Brückenproblem
Gibt es einen Spaziergang, bei dem jede Brücke genau einmal verwendet wird?

12 Eulertour Definition: Ein Graph G=(V,E) heisst eulersch, wenn es
eine Eulertour gibt, d.h. einen Weg, der jede Kante des Graphen genau einmal enthält und dessen Anfangs- und Endknoten identisch sind. Satz: Für einen zsghd. Graph G=(V,E) gilt: G eulersch ÜÞ alle Knoten haben geraden Grad

13 Kapitel 2.5: Graphen und lineare Algebra, Gerichtete Graphen

14 Adjazenzmatrix Für einen Graphen G=(V,E) ist die
Adjazenzmatrix AG definiert durch: Beispiel:

15 Adjazenzmatrix - Eigenschaften
AG ist symmterisch. AG hat Nullen auf der Hauptdiagonalen Satz: Der Eintrag aijk der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix AGk zählt genau die Anzahl Wege der Länge (genau) k in G von i nach j [Annahme: V = {1,…,|V|}.]

16 Anzahl Wege - Beispiel

17 Gerichtete Graphen Definition:
Ein gerichteter Graph, auch Digraph, ist ein Tupel D=(V,A), wobei V eine (endliche) Menge von Knoten ist und A Í V x V eine Menge von gerichteten Kanten (engl. arcs).

18 Aus-Grad: deg-(v) = | {xV | (v,x)  A } |
Gerichtete Graphen Definitionen: gerichteter Graph D=(V,A), vV Aus-Grad: deg-(v) = | {xV | (v,x)  A } | Ein-Grad: deg+(v) = | {xV | (x,v)  A } | Satz: Für jeden gerichteten Graphen D=(V,A) gilt:

19 Gerichtete Graphen gerichteter Weg … gerichteter Kreis … zugrundeliegender ungerichteter Graph … schwach zshgd ÜÞ zugrundeliegender Graph zshgd. stark zshgd ÜÞ " x,y ÎV : $ gerichteter x-y-Pfad

20 Zusammenhang

21 Beispiel Betrachten Folgen der Länge n über dem Alphabet
{0,1}, die keine zwei aufeinanderfolgende Einsen enthalten:

22 Azyklische Graphen Definition:
Ein gerichteter Graph D=(V,A) heisst azyklisch, wenn er keinen gerichteten Kreis enthält. Satz: Für jeden azyklischen, gerichteten Graph (DAG) existiert eine topologische Sortierung, d.h. eine Nummerierung der Knoten, so dass alle Kanten vom kleineren zum grösseren Knoten zeigen.

23 Topologische Sortierung - Beispiel