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Veröffentlicht von:Rein Lazer Geändert vor über 10 Jahren
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Neuronale Netze (1) Isabel Schwende
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Neuronen Etwa 100 Milliarden Nervenzellen im Gehirn
Jedes Neuron ist mit bis zu weiteren Neuronen verbunden Neuronen sind in bis zu sechs Schichten hierarchisch angeordnet
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Vereinfachte Struktur
Dendriten Synapsen Axonhügel Zellkörper Zellkörper Axon
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falls Schwellwert überschritten
Signalübertragung falls Schwellwert überschritten Signal Dendriten Summation Axonhügel Elektrischer Impuls Axon
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Mathematisches Modell
x₁ w₁ ∑ w₂ σ(Σ) y x₂ w₃ x₃
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Einschichtige Netzwerke
Formel: S=∑ w *x y=σ(S) Gewichte n Signale i i i=1 Aktivierungsfunktion Ausgabe
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Aktivierungsfunktion σ
Sie definiert die Aktivität das Neurons Dabei gelte: σ(S)=1 bedeute, dass das Neuron aktiv sei σ(S)=0 bedeute, dass das Neuron nicht aktiv sei Idee: Treppenfunktion σ(S)=1, falls S ≥ Schwellwert σ(S)=0, falls S < Schwellwert Problem: Nicht differenzierbar!
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Sigmoidfunktion Beschränkte und differenzierbare reelle Funktion
Für x<0 sig(x)` ≤ 0 und für x>0 sig(x)` ≥ 0 Wendepunkt im Ursprung Beispiele: sig(x)=1/(1+exp(-x) ) tanh(x) x/√(1+x²)
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Beispiel OR-Funktion x₁=0; x₂=0 S=0 y=0 x₁=1; x₂=0 S=1 y=1
Schwellwert 0,5 1 x₁ ∑ σ(∑) y 1 x₂ x₁=0; x₂=0 S=0 y=0 x₁=1; x₂=0 S=1 y=1 x₁=1; x₂=1 S=2 y=1
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Mehrschichtige Netze: Modell
Eingabe-Signal Ausgabe-Signal z x M y D K z₂ x₁ y₁ z₁ Versteckte Einheit
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Mehrschichtige Netzwerke: Formel (1)
a = ∑ w * x + w z = h(a ) Für j=1,…,M: Oberer Index: aktuelle Schicht D (1) (1) ji j i j0 i=1 Biases Aktivatoren Eingabe Gewichte Versteckte Einheit j j Aktivierungsfunktion
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Mehrschichtige Netzwerke: Formel(2)
Ausgabe-Aktivatoren: a = ∑ w * z + w k=1,…,K Anzahl an Ausgabe-Signalen y =σ(a ) M Aktuelle Schicht (2) (2) kj k0 k j j=1 Biases Gewichte Versteckte Einheiten k k Ausgabe
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Mehrschichtige Netze: Formel(3)
Formel zusammengefasst: y (x,w)=σ(∑ w h(∑ w * x + w ) + w ) M D (2) (1) (1) (2) kj i k ji j0 k0 j=1 i=1 a j z j
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Modell für vereinfachte Formel
x z D M y K x₁ z₁ y₁ x₀ z₀
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Mehrschichtige Netzwerke: Formel(4)
Vereinfachte Formel ohne Bias: y (x,w)=σ(∑ w h(∑ w * x ) ) wobei auf x₀=1 gesetzt wird. M D (2) (1) k kj ji i j=0 i=0 Zusätzliche Eingangs-Variable
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Beispiel XOR-Funktion
Schwellwerte: 1 2 x₂ z₁ 2 -2 y₁ -2 2 x₁ z₂ 2
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