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Neuronale Netze (1) Isabel Schwende 16.5.2011. Neuronen Etwa 100 Milliarden Nervenzellen im Gehirn Jedes Neuron ist mit bis zu 10.000 weiteren Neuronen.

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1 Neuronale Netze (1) Isabel Schwende

2 Neuronen Etwa 100 Milliarden Nervenzellen im Gehirn Jedes Neuron ist mit bis zu weiteren Neuronen verbunden Neuronen sind in bis zu sechs Schichten hierarchisch angeordnet

3 Vereinfachte Struktur Axon Zellkörper Dendriten Synapsen Axonhügel Zellkörper

4 Signalübertragung Signal Dendriten Summation Axonhügel Elektrischer Impuls Axon falls Schwellwert überschritten

5 Mathematisches Modell x x x w w w σ(Σ)σ(Σ) y

6 Einschichtige Netzwerke Formel: S= w *x y=σ(S) i=1 Gewichte Signale Aktivierungsfunktion Ausgabe n ii

7 Aktivierungsfunktion σ Sie definiert die Aktivität das Neurons Dabei gelte: σ(S)=1 bedeute, dass das Neuron aktiv sei σ(S)=0 bedeute, dass das Neuron nicht aktiv sei Idee: Treppenfunktion σ(S)=1, falls S Schwellwert σ(S)=0, falls S < Schwellwert Problem: Nicht differenzierbar!

8 Sigmoidfunktion Beschränkte und differenzierbare reelle Funktion Für x 0 sig(x)` 0 Wendepunkt im Ursprung Beispiele: sig(x)=1/(1+exp(-x) ) tanh(x) x/(1+x²)

9 Beispiel OR-Funktion x x 1 1 σ() y Schwellwert 0,5 x=0; x=0S=0y=0x=1; x=0S=1y=1x=1; x=1S=2y=1

10 Mehrschichtige Netze: Modell y y x x z z z Eingabe-Signal Versteckte Einheit Ausgabe-Signal D M K

11 Mehrschichtige Netzwerke: Formel (1) a = w * x + w z = h(a ) i=1 D j ji (1) ij0 (1) Oberer Index: aktuelle Schicht Eingabe Für j=1,…,M: Biases Gewichte Aktivatoren jj Aktivierungsfunktion Versteckte Einheit

12 Mehrschichtige Netzwerke: Formel(2) Ausgabe-Aktivatoren: a = w * z + w k=1,…,K Anzahl an Ausgabe-Signalen y =σ(a ) k j=1 M kj (2) j k0 (2) Aktuelle Schicht GewichteVersteckte Einheiten Biases kk Ausgabe

13 Mehrschichtige Netze: Formel(3) Formel zusammengefasst: y (x,w)=σ( w h( w * x + w ) + w ) k j=1 M ji kj (2)(1) i j0 (1) k0 (2) i=1 D a j z j

14 Modell für vereinfachte Formel x x x z z y y z D M K

15 Mehrschichtige Netzwerke: Formel(4) Vereinfachte Formel ohne Bias: y (x,w)=σ( w h( w * x ) ) wobei auf x=1 gesetzt wird. j=0 k M kj (2) i=0 D ji (1) i Zusätzliche Eingangs-Variable

16 Beispiel XOR-Funktion x xz z y Schwellwerte:


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