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Polynome und schnelle Fourier- Transformation Mohsen Taheri FU Berlin – SoSe2012.

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Präsentation zum Thema: "Polynome und schnelle Fourier- Transformation Mohsen Taheri FU Berlin – SoSe2012."—  Präsentation transkript:

1 Polynome und schnelle Fourier- Transformation Mohsen Taheri FU Berlin – SoSe2012

2 Polynome Ein Polynom ist eine Funktion Koeffizienten: Ein Polynom hat Grad k wenn der höchste Koeffizient mit einem Wert ungleich 0 Länge = jede ganze Zahl großer als Grad eines Polynoms 2Polynome und FFT

3 Addition von Polynomen Seien und Polynome der Länge n Addition von A(x) und B(x) ist hat auch Länge n und Beispiel Laufzeit: 3Polynome und FFT

4 Multiplikation von Polynomen Seien und Polynome der Länge n Multiplikation von A(x) und B(x) ist Wobei Länge(C) = Länge(A) + Länge(B) Beispiel Laufzeit: 4Polynome und FFT

5 Darstellung von Polynomen Koeffizienten-Darstellung Point-Value-Darstellung 5Polynome und FFT

6 Koeffizienten-Darstellung Das Polynom als ein Vektor der Koeffizienten Addition: Laufzeit Multiplikation (wie vorhin): wobei Laufzeit 6Polynome und FFT

7 Point-Value-Darstellung Polynom Länge n in Point-Value- Darstellung: eine Menge von Punkten alle sind disjunkt für alle : Auswertung durch Horne-Schema (in ) 7Polynome und FFT

8 Addition in Point-Value-Darstellung A : B : Addition: Laufzeit: 8Polynome und FFT

9 Multiplikation in Point-Value-Darstellung Problem: Länge(A.B)=Länge(A)+Länge(B) Lösung: Extended Point-Value 2n Punkte statt n Punkte A: B: Multiplikation: C: Laufzeit : 9Polynome und FFT

10 Evaluation Evaluation: Transform von Koeffizienten-Vektor zur Point-Value-Darstellung Evaluating: Die Auswertung eines Polynoms unter einen bestimmten Wert von x Mit Hilfe von Horne-Schema in Evaluation insgesamt in 10Polynome und FFT

11 Interpolation Interpolation: Transform von Point-Value-Darstellung zur Koeffizienten-Darstellung Lagranges Formel 11Polynome und FFT

12 Theorem 1: Eindeutigkeit von Interpolation der Polynomen Polynome und FFT12 Für alle Menge von n Punkten mit disjunkt gibt es ein eindeutiges Polynom A(x) der Länge n, so dass für alle

13 DFT effiziente Methode für Evaluation und Interpolation Diskrete Fourier Transform Das Polynom in n komplexe n-te Einheitswurzeln auswerten Eingabe: Koeffizienten-Vektor Ausgabe: Vektor Auswertung der Polynom in n Komplexe n-te Einheitswurzeln 13Polynome und FFT

14 Komplexe Einheitswurzeln komplexe Einheitswurzel: eine komplexe Zahl wobei Es gibt genau n komplexe n-te Einheitswurzeln: für k=0,1, …, n-1: Die Zahl : primitive n-te Einheitswurzel alle anderen Zahlen sind die Potenzen dieser Zahl n komplexe n-te Einheitswurzeln sind dann: 14Polynome und FFT

15 Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften Additive Gruppe Die n Zahlen haben die gleiche Struktur wie die additive Gruppe Beweis: 15Polynome und FFT

16 Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften Cancellation Lemma Für jede ganze Zahl gilt: Beweis:. Korollar: Für alle ganze Zahlen n>0 gilt: 16Polynome und FFT

17 Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften Halving Lemma: wenn n>0 gerade Zahl die Quadrate der n komplexen n -te Einheitswurzeln sind die n/2 komplexe (n/2)-te Einheitswurzeln: 17Polynome und FFT

18 Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften Halving Lemma: Beweis: Da n gerade ist, nehmen wir an n=2m Zu zeigen: Nach Cancellation Lemma: da, ist dann, also 18Polynome und FFT

19 Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften Summation Lemma: Für jede ganze Zahl n1 und für k0 und nicht dividierbar durch n, gilt: 19Polynome und FFT

20 FFT Evaluation eines Polynoms in unter Verwendung der Eigenschaften der Einheitswurzeln Diese Methode heißt Fast Fourier Transform(FFT). Annahme n ist ein 2er Potenz ( ) Divide-and-Conquer 20Polynome und FFT

21 FFT das Polynom A(x) in gerade und ungerade indizierte Koeffizienten teilen zwei neue Polynome der Länge n/2 Das Polynom wird so berechnet: 21Polynome und FFT

22 FFT das Problem von Auswerten des Polynoms in n Punkten ( ) reduziert zu: 1. zwei Polynome der Länge n/2 in Punkten ( ) auswerten 2. das Resultat mit Hilfe der Abgleichung zusammen addieren 22Polynome und FFT

23 FFT Nach Halving Lemma: die Anzahl der Elemente der Liste nicht n, sondern n/2. Die zwei Subprobleme haben genau die gleiche Struktur wie das ursprüngliche Problem und sind halb so groß. 23Polynome und FFT

24 Rekursiv FFT RECURSIVE-FFT(a) 1. n = a.length() 2. if n==1 3. return a for k=0 to n/ return y Eingabe: Ausgabe: 24Polynome und FFT

25 Rekursiv FFT Zeilen kombinieren das Ergebnis der rekursiven Berechnung Zeile 11 für Zeile 12 für zusammengefügt wird Vektor y berechnet 25Polynome und FFT

26 Rekursiv FFT - Laufzeit jeder rekursiver Aufruf kostet n = Länge des Eingabevektors Laufzeit: 26Polynome und FFT

27 Interpolation in Einheitswurzeln umgekehrtes Verfahren Polynom vom Point-Value zurück zu Koeffizienten Berechnung von DTF als eine Matrizenmultiplikation Vandermonde-Matrix wir brauchen die Inverse-Matrix 27Polynome und FFT

28 Inverse von Vandermonde-Matrix Theorem: Für j,k=0,1,…,n-1 sind die (j,k)Einträge von die Zahlen Beweis: z.z.:, wobei die n×n Identitätsmatrix betrachte die (j,j')Einträge von Falls j=j : Falls jj : -(n-1) j-j' n-1 j-j' ist nicht durch n dividierbar Summation Lemma : 28Polynome und FFT

29 Interpolation in Einheitswurzeln I : (j,k)Einträge der sind: II : Vergleiche mit Polynom in Einheitswurzeln leichte Modifikation in Algorithmus berechnet die Interpolation tausche a und y ersetze durch dividiere jedes Element durch n Also die Interpolation auch in berechenbar 29Polynome und FFT

30 Zusammenfassung Koeffizienten- Darstellung Point-Value- Darstellung Standard-Multiplikation Laufzeit Evaluation Laufzeit Interpolation Laufzeit punktweise Multiplikation Laufzeit 30Polynome und FFT


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