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Mathematik und Industrie - eine Beziehung zum gegenseitigen Nutzen Heinz W. Engl Institut für Industriemathematik Johannes Kepler Universität Linz und.

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Präsentation zum Thema: "Mathematik und Industrie - eine Beziehung zum gegenseitigen Nutzen Heinz W. Engl Institut für Industriemathematik Johannes Kepler Universität Linz und."—  Präsentation transkript:

1 Mathematik und Industrie - eine Beziehung zum gegenseitigen Nutzen Heinz W. Engl Institut für Industriemathematik Johannes Kepler Universität Linz und Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics der Österreichischen Akademie der Wissenschaften Innsbruck, Februar 2003

2 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Einteilung der Mathematik Reine Mathematik Angewandte Mathematik * Applicable * Applied Industriemathematik: Mathematik, die durch Anwendungsprobleme aus der Industrie motiviert ist. Unterschiede nur in der Motivation, nicht in der Methode (mathematische Strenge; Beweis!): Idealfall. Anwendungsprobleme sind oft zu komplex dafür, diesen Anspruch zu genügen: Kompromiß: mathematische Strenge (z.B. Konvergenzbeweis) zumindest für Modellprobleme. --> wissenschaftliches Rechnen (Scientific Computing)

3 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Vorgehen bei Anwendungsproblemen Übersetzung in ein mathematisches Modell (viele mathematische Fragen, wie welche Terme sind wichtig? => asymptotische Analysis; Kompromiss zwischen Einfachheit und Genauigkeit) Entwicklung effizienter Lösungsmethoden (analytisch / numerisch / symbolisch /...) Effiziente Implementierung Rückinterpretation der Ergebnisse Oft sind dazu mehrere Iterationen notwendig!

4 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Historische Entwicklung der Mathematik Wellenbewegung zwischen Betonung von Theorie/Grundlagen - Anwendungsbezug. ~ 1960: Bourbakismus Felix Klein: Göttinger Vereinigung für angewandte Physik und Mathematik: Pflege und Förderung der Mathematik in wissenschaftlicher, technischer und wirtschaftlicher Beziehung Wechselwirkung zwischen Wissenschaft und Technik Motivation: wissenschaftliche Anregungen, Zusammenführung zwischen Geist und Industrie

5 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Vor 1. Weltkrieg: über 50 industrielle Mitglieder (z.B. Generaldirektoren von Krupp, Siemens, AEG) Prandtl: Klein versuchte, die große Kluft, die reine Wissenschaft von der werktätigken Welt trennte, zu überbrücken. Technomathematik/Industriemathematik: Versuch dieses Brückenschlags in Lehre und Forschung im Geiste Felix Kleins (Felix-Klein-Preis der EMS)

6 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Mathematik als Querschnittswissenschaft Unterschiedliche reale Probleme können auf eng verwandte mathematische Modelle führen und daher mit ähnlichen Methoden behandelt werden. Beispiele: amerikanische Optionen - Schmelzen von Stahl Wärmeleitung - Diffusion in porösen Medien Gasdynamik - Halbleitermodelle - Modelle für den Straßenverkehr Reaktions-Diffusionsgleichungen - Ausbreitung von Epidemien

7 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Was tun wir? Grundlagenforschung auf dem Gebiet der inversen Probleme Anwendungsorientierte Forschung: Anwendung moderner mathematischer Methoden auf Problemstellungen aus Industrie und Wirtschaft; Modellierung und numerische Simulation Entwicklung von Individualsoftware Consulting

8 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Was sind inverse Probleme? Probleme, bei denen aus BEOBACHTETEN WIRKUNGEN oder aus BEABSICHTIGTEN WIRKUNGEN die URSACHEN (INPUTS oder SYSTEMPARAMETER) berechnet werden sollen Inverse Probleme Definition

9 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Wo treten inverse Probleme auf? Differenzieren! Computertomographie: Welche Dichteverteilung im Patienten bewirkt die gemessene Verteilung der Absorption von Röntgenstrahlen? Ähnlich: zerstörungsfreie Materialprüfung, Impedanztomographie (Johann Radon). Inverse Wärmeleitungsprobleme: Wie ist die Sekundärkühlung einer Stranggußanlage einzustellen, sodaß ein beabsichtigter Erstarrungsverlauf des vergossenen Stahls erzielt wird? Inverse Streuprobleme: Wo liegen Armierungseisen in Beton, die die gemessene Streuung eines zeitlich veränderlichen Magnetfelds hervorrufen? Inverse Probleme Beispiel 1

10 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Weitere Beispiele Parameteridentifikation: Berechne die temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit von Sand für Gußformen aus Messungen des zeitlichen Temperaturverlaufs in einigen Thermoelementen Zerstörungsfreie Materialprüfung: Bestimme die Dicke der Hochofenausmauerung aus Temperaturmessungen in Thermoelementen an der Außenwand Inverse Probleme in der Optik: Welche Gestalt eines Freiformflächenreflektors liefert eine gewünschte Beleuchtungsstärkeverteilung auf der zu beleuchtenden Wand? Inverse Probleme Beispiel 2

11 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Hadamards Fragen (1923) Existiert für alle Daten eine Lösung? Falls es eine Lösung gibt, ist sie eindeutig? Hängt die Lösung stetig von den Daten ab? Falls 3 x JA: Problem heißt korrekt gestellt: korrekte Modellierung eines relevanten Problems Inverse Probleme sind typischerweise inkorrekt gestellt; erstes Auftauchen: Geophysik (Lagerstättensuche), Tikhonov Inverse Probleme (In)korrekt gestellt

12 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Ein inverses Wärmeleitungsproblem Bestimme in einem seitlich isolierten Stab die Anfangs- temperatur, wenn die Endtemperatur gegeben ist: Gesucht: Inverse Probleme Rückwärts-Wärmeleitung

13 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Das direkte Problem Berechne die Endtemperatur, wenn die Anfangstemperatur gegeben ist. Lösung: Entwicklung in Cosinus-Fourier-Reihe Die Temperaturverteilung ist dann gegeben als: Anteile der Frequenz n werden mit exp(-n 2 t) gedämpft, Vorwärtsproblem glättet! Inverse Probleme Rückwärts-Wärmeleitung

14 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Das inverse Problem Ist nun die Endtemperatur gegeben (und in Cosinus- Fourier-Reihe entwickelt): so ergibt sich für die Anfangstemperatur als Anteile der Frequenz n werden mit exp(n 2 T) verstärkt!!! Hochfrequentes Rauschen in der Endtemperatur hat enorme Auswirkungen auf das Ergebnis. Inverse Probleme Rückwärts-Wärmeleitung

15 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Dekonvolution von Fluoreszenzdaten Aufgabenstellung aus der Physikalischen Chemie (Kooperation mit Doz. Kauffmann, Univ. Wien) Lebenszeitverteilung der Fluoreszenz gibt Auskunft über Molekülstruktur von Polymeren und Proteinen Meßbare Daten sind durch Faltung verschmiert und mit Rauschen behaftet Herkömmliche Lösungsverfahren: Extreme Fehlerverstärkung macht Ergebnisse unbrauchbar Stabile Algorithmen (Regularisierungsverfahren) benötigen höhere Mathematik Inverse Probleme Anwendungen

16 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Fluoreszenzanalyse Herkömmliches Verfahren: Stabile Dekonvolution durch Maximum-Entropy- Regularisierung Inverse Probleme Anwendungen

17 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Inverse Kühlprobleme beim Stranggießen Verfahren der Soft Reduction: Quetschung des Strangs reduziert Seigerungen Sumpfspitze muß im gequetschten Bereich liegen Inverses Problem: Einstellung der Kühlwassermenge bei veränderlicher Gießgeschwindigkeit Beispiel: Innerhalb von 5 Minuten wird die Gießgeschwindigkeit von 1.8 m/min auf 3 m/min erhöht Inverse Probleme Anwendungen

18 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Inverse Probleme Anwendungen Optimale Kühlung bei wachsender Geschwindigkeit

19 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Inverse Probleme: Auffinden von Armierungseisen in Beton Aufgabenstellung Entwickeln einer zerstörungsfreien Methode zum Auffinden von Armierungseisen in Beton Baustellentauglich: Billig und robust Lösungskonzept Armierungseisen streuen ein von außen angelegtes Magnetfeld --> inverses Streuproblem Entscheidend: Eindeutigkeitsbeweis (Identifizierbarkeit) Inverse Probleme Anwendungen

20 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Inverse Probleme Anwendungen

21 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Optimales Design: CAD von Freiformflächenreflektoren Aufgabenstellung -Konstruktion eines 3D-Freiformflächenreflektors mit beliebig vorgebbarer Beleuchtungsstärkeverteilung -Einbindung in vorhandenes CAD-System Anwendungsbeispiel -gleichmäßige Ausleuchtung eines langen Fluchtwegs mit einem einzigen Reflektor

22 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Optimales Reflektordesign

23 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Gestaltoptimierung mechanischer Bauteile Ziele: Reduktion des Gewichts von Bauteilen unter Einhaltung von Grenzen an die Maximalspannung ODER Reduktion von Spannungsspitzen bei gleichem Gewicht ODER Erreichen einer möglichst gleichmäßigen Spannungsverteilung zur Erhöhung der Lebensdauer Optimierung Strukturoptimierung

24 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Methodische Ähnlichkeiten zu inversen Problemen Effiziente Kombination von Optimierungsverfahren mit direkten Lösern (z.B. FEM) nötig Zahlreiche Projekte in diesem Bereich, von Motorbauteilen bis zu Bäckereisilos Optimierung Strukturoptimierung

25 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Ergebnisse: Dickenoptimierung - Kipphebel Ausgangsdesign: Optimiertes Design: Optimierung Strukturoptimierung

26 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Mechanische Auslegung von Füßen für Bäckereisilos Partnerfirma: hb technik Die mechanische Belastung in den Standfüßen von Mehlsilos (bis 30 t Fassungsvermögen) soll berechnet werden. Von Mises Spannungsverteilung an der Silobasis

27 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Bestimmung der Hochofenwandstärke aus Temperaturmessungen Problemstellung: durch chemische und physikalische (Reibung) Reaktionen wird im Laufe der Zeit die Hochofen- ausmauerung immer dünner Aufgabenstellung: bestimme die Dicke der Hochofenausmauerung durch Temperaturmessungen an der Außenmauer Lösung: Parameteridentifikationsproblem stabile Lösung nur mit Regularisierungsverfahren möglich Inverse Probleme Anwendungen

28 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Hochofenausmauerung: Ergebnisse Ohne Regularisierung:Mit Regularisierung: Inverse Problems Anwendungen

29 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Transiente Temperaturfeldberechnung Erwärmung von Bremsen für Windkraftwerke Aufgabenstellung -Bei Windkraftwerken ist in Störfällen ein Bremsung der Schwungmassen notwendig. Gesucht ist der transiente Temperaturverlauf in der Bremse um Aussagen über den Verschleiß treffen zu können Modellierung und Lösungsmethode -Wärmeleitungsgleichungen für Scheibe,Reibbelag und Trägerplatte -stabile numerische Lösung durch voll implizites Diskretisierungsverfahren

30 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Temperaturverteilung in Bremsscheibe /Bremsbelag / Trägerplatte im Verlauf einer Notbremsung Quelle : MathConsult GmbH

31 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Transiente Temperaturfeldberechnung Temperaturverteilung in Fensterprofilen Aufgabenstellung -Fensterrahmen werden mittels Extrusionstechnik hergestellt. Nach Verlassen der Form durchlaufen die Profile noch 4 Kalibratoren. Gesucht ist die Temperaturverteilung im Rahmen nach dem letzten Kalibrator. Modellierung und Lösungsmethode -Berücksichtigung von Wärmeleitung und Wärmestrahlung -Finite Elemente Methode, voll implizit in der Zeit

32 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Kalibator Profil Berechnungsgitter Fensterprofil + Kalibrator Kühllöcher

33 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Temperaturverteilung in Profil und Kalibrator nach 10 Sekunden

34 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Temperaturverlauf im Fensterprofil Anfangstemperatur 200 °C Quelle : MathConsult GmbH

35 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Transiente Temperaturfeldberechnung in Elektromotoren Aufgabenstellung -Prototyp einer Temperaturfeldberechnung Modellierung und Lösungsmethode -Wärmeleitung -Konstanter Wärmefluss aus den Bohrungen -Abgabe von Wärme an die Umgebung durch Strahlung -Finite Elemente Methode

36 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Temperaturverteilung nach 0.1 s 2 s 10 s 28 s Stationärer Zustand erreicht Max. Temperatur 416 °C

37 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Ziel: Entwicklung eines kinetischen Hochofen-Simulationsmodells Berechnet werden sollen: Strömung der Schüttung und des Windes, Druckverteilung Temperaturverteilung Chemische Zusammensetzung als Funktion des Ortes unter Berücksichtigung der Reaktionskinetik Numerische Simulation des Hochofenprozesses

38 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Potentialströmung für den Feststoff Wind: Strömung durch geschichtetes poröses Medium Energiebilanz: Diffusion, Konvektion, Wärmequellen und -senken durch chemische Reaktionen Reaktionskinetik für gut 30 Verbindungen ergibt ein System von ca. 40 gekoppelten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen Mathematische Modellbildung

39 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Modularer, objektorientierter Aufbau Problemangepaßte Finite-Elemente in den einzelnen Modulen Iterative Kopplung der einzelnen Module Einbindung in größeres Automatisierungspaket Numerische Realisierung

40 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Modularer Aufbau

41 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Ergebnisse Druckverteilung (Einfärbung) Gasströmung (Pfeile)

42 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Ergebnisse: Kohlenstoffgehalt im Unterofen oben: 2%, unten: 4.5 %

43 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Numerische Simulation des ® COREX ® -Prozesses ®COREX ® = neue Technologie zur Produktion von Roheisen statt Koks wird Kohle verwendet (keine Kokerei notwendig; daher geringere Kosten), billigere Erze verwendbar, umweltfreundlicher Prozeß aufgeteilt in zwei Reaktoren: Reduktionsschacht: Reduktion des Eisenerzes Einschmelzvergaser: Abschmelzen des im Schacht produzierten Eisenschwamms, Produktion des im Schacht verwendeten Reduktionsgases Kompetenzzentrum Industriemathematik

44 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics ® COREX ® -Prozess - Komplexität Modellierung und Berechnung der Strömung des Erzes (spezielles Materialgesetz) und des Reduktionsgases im Schacht, der chemischen Reaktionen, der Temperaturverteilung vom Erz und Gas, der Ablagerung des im Gas befindlichen Staubes 3 dimensionales Modell gekoppeltes System von ca. 35 nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen Kompetenzzentrum Industriemathematik

45 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Kompetenzzentrum Industriemathematik Geschwindigkeitsverteilung im Feststoff

46 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Kompetenzzentrum Industriemathematik Geschwindigkeitsverteilung Fe0-Anteil im Feststoff

47 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Warmwalzen von Stahl Problembeschreibung -Das Warmwalzen von Stahl führt zu großen plastischen Umformungen und Spannungsunterschieden im Material -Experimentelle Untersuchungen sehr kostenintensiv und im wesentlichen auf Oberflächenverformungen beschränkt Komplexität -Große plastische Verformungen mit starren Zonen -Auftreten eines neutralen Punktes im Walzspalt -Kontaktproblem mit Reibung -Vertikalverschiebung im Kontaktbereich Walze - Bramme für Walzenverformung von spezieller Bedeutung

48 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Numerische Realisierung -Gemischt Euler-Lagrangesche Beschreibung der Geschwindig- keit und der Vertikalverschiebung mit Druckkoppelung -Erstellung eines auf dieser Beschreibung basierenden Finite- Elemente Programmpaketes zur Lösung des komplexen, nichtlinearen Problems -Verwendung spezieller Löser für große, dünnbesetzte Matrizen -Einsatz spezieller Techniken zur Lösung des Kontaktproblems, Berücksichtigung des neutralen Punktes und Handhabung der starren Zone.

49 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Warmwalzen von Stahl - Ergebnisse Geschwindigkeiten + VertikalverschiebungSpannungsverteilungen

50 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Finanzmathematik: Bewertung derivativer Finanzinstrumente Beispiele von Finanzderivaten: Call-Option: Recht, zu gewissen Zeitpunkten eine zugrunde liegende Aktie zu einem festen Preis (strike price) zu kaufen Callable Bond: Anleihe mit vorzeitigem Kündigungsrecht des Emittenten Bausparkredit: für gewisse Zeit garantierter Zinssatz, danach Gleitklausel mit Ober-/Untergrenzen (Cap/Floor). Keine fixe Laufzeit, sondern fixe Rate. Vorzeitige Tilgungsmöglichkeit. Extrem kompliziert! Was ist ein fairer Preis für eine solches Instrument?

51 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Derivative Finanzinstrumente Theorie: Black-Scholes-Merton 1973 (Nobelpreis 1997) Für einfache Instrumente analytische Lösungen. Komplizierte Kontrakte müssen numerisch bewertet werden. Entwicklung einer neuen numerischen Methode, die insbesondere bei komplexen Derivaten (etwa: japanische Wandelanleihen mit starker Pfadabhängigkeit) äußerst schnell und robust ist: ® Paket UnRisk ®

52 Institut für Industriemathematik Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics Wert einer Up-and-Out Call Option auf eine Aktie mit diskreten Dividenden bei steigenden Zinsen Wert der Option Quelle: MathConsult GmbH Call-Option auf Anleihe mit diskreten Kupons als Funktion des Zinsniveaus und der Restlaufzeit der Option bei steigender Volatilität Aktienkurs Zeit (Tage)


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