Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Optimierungs- Algorithmen Petra Mutzel Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen AK5: Ausgewählte Algorithmen Ak der Algorithmik.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Optimierungs- Algorithmen Petra Mutzel Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen AK5: Ausgewählte Algorithmen Ak der Algorithmik."—  Präsentation transkript:

1 Optimierungs- Algorithmen Petra Mutzel Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen AK5: Ausgewählte Algorithmen Ak der Algorithmik 5

2 Kombinatorische Optimierungsprobleme Gegeben sind: endliche Menge E (Grundmenge) Teilmenge I der Potenzmenge 2 E von E (zul. Mengen) Kostenfunktion c : E K Definition Kombinatorisches Optimierungsproblem

3 Beispiele Kombinatorische Optimierungsprobleme Handlungsreisendenproblem (TSP) Minimum der Funktion: f(x)=3x 2 +2, x R Minimaler Spannender Baum (MST)

4 Lineare Optimierungsprobleme Das Problem, einen Vektor zu finden, der unter allen Vektoren, die die Bedingungen Ax<=b erfüllen, derjenige ist, mit größtem (kleinstem) Zielfunktionswert. Definition Lineares Optimierungsproblem

5 Beispiel Ölraffinerie Ziele: –mindestens 3S, 5M, 4L herstellen (Lieferbedingungen) –möglichst billig herstellen 2 Crackverfahren für Rohöl mit folgender Ausbeute und Kosten: –Crackprozeß 1: 2S, 2M, 1L, Kosten 3 EUR –Crackprozeß 2: 1S, 2M, 4L, Kosten 5 EUR

6 Beispiel Ölraffinerie Zielfunktion Restriktionen subject to definieren den Lösungsraum Matrixschreibweise: (Tafel)

7 Geometrische Interpretation LP Beispiel: Ölraffinerie

8 x y (0.882,0.706) Objective = 0.9 x y = 40 million Objective = 30 million Feasible Solutions Objective = 0.9 * * = 13.1 million (0,6) (1,0) Constraint 1 (0,1) (3,0) Constraint 2 (0,1.5) (2,0) Constraint 3 A Graphical Solution (0,0) Maximize 0.90 x y (OBJECTIVE) Subject To Constraint 1: 0.42 x y <= Constraint 2: 0.13 x y <= Constraint 3: 0.35 x y <= x >= 0 y >= 0

9 Lineare Optimierungsprobleme max oder min c T x: Axb min c T x: Axb und x0 min c T x: Ax=b und x0 Lineare Optimierungsprobleme tauchen in verschiedenen Formulierungen auf und können alle ineinander übergeführt werden: Beispiele und Tricks!

10 Lineare Optimierungsprobleme LP in seiner allgemeinsten Form:

11 Ganzzahlige Lineare Optimierungsprobleme Lineare Optimierungsprobleme mit Ganzzahligkeits- forderungen: GLP (ILP, IP) Lineare Optimierungsprobleme mit teilweise Ganzzahligkeitsforderungen: GGLP (MIP) Lineare Optimierungsprobleme mit 0/1- Bedingungen: 0/1-Programm, Binäres LP, BLP

12 Zusammenhang zu Kombinatorischer Optimierung Jedes kom. OP kann als BLP formuliert werden und umgekehrt: Ist E eine endliche Menge und F E, dann ist der charakteris- tische Vektor F R E für F definiert als Wir assoziieren zu jedem Element e E eine Komponente des Vektors F. Umgekehrt, ist jeder 0/1-Vektor x {0,1} E charakteristischer Vektor einer Teilmenge F x von E, und zwar gilt: F x ={ e E | x e =1}. Beispiel: MST Beispiel: LOP

13 Lineares Ordnungsproblem (LOP) Gegeben: ein vollständiger gerichteter Graph G=(V,A) mit Kantengewichten c uv für alle Bögen (u,v) in A. Gesucht: eine lineare Ordnung der Knoten, so dass die Summe der Gewichte aller Bögen, die dieser Ordnung entsprechen, maximiert wird Anwendungen: Triangulation von Input-Output Matrizen, Rangbestimmung in Turniersportarten

14 Graphen-Theoretische Formulierung Gegeben: ein vollständiger gerichteter Graph G=(V,A) mit Bogengewichten c uv für alle Bögen (u,v) in A. Gesucht: ein spannendes, azyklisches Turnier in G mit größtem Gewicht 1234 Turnier: T A: entweder (i,j) T oder (j,i) T aber nicht beide

15 Spannendes Azyklisches Turnier Verbotene Strukturen in T: uv uw v uw v

16 ILP für LOP 3-Kreis Ungleichungen Triviale Ungleichungen Gleichungen Ausschluss der 3-er Kreise genügt

17 Spannendes Azyklisches Turnier Verbotene Strukturen in T: uv uw v uw v

18 Projektion: x vu =1-x uv 3-Kreis Ungl. Triviale Ungl. ILP für LOP

19 Geometrische Interpretation LOP

20 Beispiel n=3: x 12 x 13 x 23 Permutation charakt. Vektor (1,1,1) (0,1,1) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,0) (0,0,0) x 12 x 13 x 23 x 12 +x 23 -x 13 =0 x 12 +x 23 -x 13 = Geometrische Interpretation LOP

21 n<6: Entfernung der Ganzzahligkeitsbedingungen macht keinen Unterschied n>=6: zusätzliche Ungleichungen notwendig Beispiel: Moebius-Leiter Ungleichungen: –k Kreise (k ungerade), hier: k=7: –Es ist notwendig, mindestens (k+1)/2 Bögen zu entfernen, um G azyklisch zu machen.

22 Polyedrische Kombinatorik: LOP Konvexe Hülle aller charakteristischer Vektoren, die Permutations, die l Elemente beschreiben. ln ,472 >488,602,996 For l=60 ist LOP exakt lösbar innerhalb 1 Sekunde mittels Schnittebenenverfahren.

23 Vielen Dank


Herunterladen ppt "Optimierungs- Algorithmen Petra Mutzel Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen AK5: Ausgewählte Algorithmen Ak der Algorithmik."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen