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7.1 Externes Suchen Bisherige Algorithmen: geeignet, wenn alle Daten im Hauptspeicher. Große Datenmengen: oft auf externen Speichermedien, z.B. Festplatte. Zugriff: immer gleich auf einen ganzen Block (eine Seite) von Daten, z.B: 4096 Bytes. Effizienz: Zahl der Seitenzugriffe klein halten!
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Für externes Suchen: Variante von Suchbäumen mit:
Knoten = Seite Vielwegsuchbäume!
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Definition (Vielweg-Suchbaum)
Der leere Baum ist ein Vielweg-Suchbaum mit der Schlüsselmenge {}. Seien T0, ..., Tn Vielweg-Suchbäume mit Schlüsseln aus einer gemeinsamen Schlüsselmenge S, und sei k1,...,kn eine Folge von Schlüsseln mit k1 < ...< kn. Dann ist die Folge T0 k1 T1 k2 T2 k kn Tn ein Vielweg-Suchbaum genau dann, wenn: für alle Schlüssel x aus T0 gilt: x < k1 für i=1,...,n-1, für alle Schlüssel x in Ti gilt: ki < x < ki+1, für alle Schlüssel x aus Tn gilt: kn < x .
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B-Baum Definition 7.1.2 Ein B-Baum der Ordnung m ist ein Vielweg-Suchbaum mit folgenden Eigenschaften 1 #(Schlüssel in Wurzel) 2m und m #(Schlüssel in Knoten) 2m für alle anderen Knoten. Alle Pfade von der Wurzel zu einem Blatt sind gleichlang. Jeder innere Knoten mit s Schlüsseln hat genau s+1 Söhne.
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Beispiel: Ein B-Baum der Ordnung 2:
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Abschätzungen zu B-Bäumen
Ein minimal gefüllter B-Baum der Ordnung m und Höhe h: Knotenzahl im linken wie im rechten Teilbaum 1 + (m+1) + (m+1) (m+1)h-1 = ( (m+1)h – 1) / m. Die Wurzel hat einen Schlüssel, alle anderen Knoten haben m Schlüssel. Insgesamt: Schlüsselzahl n in einem B-Baum der Höhe h: n 2 (m+1)h – 1 Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln: h logm+1 ((n+1)/2) .
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Beispiel Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln:
h logm+1 ((n+1)/2). Beispiel: Bei Seitengröße: 1 KByte und jeder Eintrag nebst Zeiger: 8 Byte, kann m=63 gewählt werden, und bei einer Datenmenge von n= folgt h log < 4 und damit hmax = 3.
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7.1 Externes Suchen Definition 7.1.2
Ein B-Baum der Ordnung m ist ein Vielweg-Suchbaum mit folgenden Eigenschaften 1 #(Schlüssel in Wurzel) 2m und m #(Schlüssel in Knoten) 2m für alle anderen Knoten. Alle Pfade von der Wurzel zu einem Blatt sind gleichlang. Jeder innere Knoten mit s Schlüsseln hat genau s+1 Söhne.
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Beispiel: Ein B-Baum der Ordnung 2:
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Abschätzungen zu B-Bäumen
Ein minimal gefüllter B-Baum der Ordnung m und Höhe h: Knotenzahl im linken wie im rechten Teilbaum 1 + (m+1) + (m+1) (m+1)h-1 = ( (m+1)h – 1) / m. Die Wurzel hat einen Schlüssel, alle anderen Knoten haben m Schlüssel. Insgesamt: Schlüsselzahl n in einem B-Baum der Höhe h: n 2 (m+1)h – 1 Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln: h logm+1 ((n+1)/2) .
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Beispiel Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln:
h logm+1 ((n+1)/2). Beispiel: Bei Seitengröße: 1 KByte und jeder Eintrag nebst Zeiger: 8 Byte, kann m=63 gewählt werden, und bei einer Datenmenge von n= folgt h log < 4 und damit hmax = 3.
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Algorithmen zum Einfügen und Löschen von Schlüsseln in B-Bäumen
Algorithmus insert (root, x) //füge Schlüssel x in den Baum mit Wurzelknoten root ein suche nach x im Baum mit Wurzel root; wenn x nicht gefunden { sei p Blatt, an dem die Suche endete; füge x an der richtigen Position ein; wenn p nun 2m+1 Schlüssel {overflow(p)} }
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Algorithmus Split (1) Algorithmus overflow (p) = split (p)
Algorithmus split (p) Erster Fall: p hat einen Vater q. Zerlege den übervollen Knoten. Der mittlere Schlüssel wandert in den Vater. Anmerkung: das Splitting muss evtl. bis zur Wurzel wiederholt werden.
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Algorithmus Split (2) Algorithmus split (p)
Zweiter Fall: p ist die Wurzel. Zerlege den übervollen Knoten. Eröffne eine neue Ebene nach oben mit einer neuen Wurzel mit dem mittleren Schlüssel.
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Algorithmus delete (root ,x)
//entferne Schlüssel x aus dem Baum mit Wurzel root suche nach x im Baum mit Wurzel root; wenn x gefunden { wenn x in einem inneren Knoten liegt { vertausche x mit dem nächstgrößeren Schlüssel x' im Baum // wenn x in einem inneren Knoten liegt, gibt // es einen nächstgrößeren Schlüssel // im Baum, und dieser liegt in einem Blatt } sei p das Blatt, das x enthält; lösche x aus p; wenn p nicht die wurzel ist { wenn p m-1 Schlüssel hat {underflow (p)} } }
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Algorithmus underflow (p)
// behandle die Unterläufe des Knoten p wenn p einen Nachbarknoten hat mit s>m Knoten { balance (p,p') } anderenfalls // da p nicht die Wurzel sein kann, muss p Nachbarn mit m Schlüsseln haben { sei p' Nachbar mit m Schlüsseln; merge (p,p')}
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Algorithmus balance (p, p') // balanciere Knoten p mit seinem Nachbarknoten p' (s > m , r = (m+s)/2 -m )
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wenn ( q <> Wurzel) und (q hat m-1 Schlüssel) underflow (q)
Algorithmus merge (p,p') // verschmelze Knoten p mit seinem Nachbarknoten Führe die folgende Operation durch: Anschließend: wenn ( q <> Wurzel) und (q hat m-1 Schlüssel) underflow (q) anderenfalls (wenn (q= Wurzel) und (q leer)) {gib q frei und lasse root auf p^ zeigen}
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Rekursion Wenn es bei underflow zu merge kommt, muss evtl. underflow eine Ebene höher wiederholt werden. Dies kann sich bis zur Wurzel fortsetzen.
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Beispiel: B-Baum der Ordnung 2
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Aufwand Sei m die Ordnung des B-Baums, n die Zahl der Schlüssel. Aufwand für Suchen, Einfügen, Entfernen: O(h) = O(logm+1 ((n+1)/2) ) = O(logm+1(n)).
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Anmerkung: B-Bäume auch als interne Speicherstruktur zu gebrauchen:
Besonders: B-Bäume der Ordnung 1 (dann nur 1 oder 2 Schlüssel pro Knoten – keine aufwändige Suche innerhalb von Knoten). Aufwand für Suchen, Einfügen, Löschen: O(log n).
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Anmerkung: Speicherplatzausnutzung:
über 50% Grund: die Bedingung: 1/2•k #(Schlüssel in Knoten) k Für Knoten Wurzel (k=2m)
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2/3•k #(Schlüssel in Knoten) k
Noch höhere Speicherplatzausnutzung möglich, z.B. über 66% mit Bedingung: 2/3•k #(Schlüssel in Knoten) k für alle Knoten mit Ausnahme der Wurzel und ihrer Kinder. Erreichbar durch 1) modifiziertes Balancieren auch beim Einfügen und 2) split erst, wenn zwei Nachbarn ganz voll. Nachteil: Häufigere Reorganisation beim Einfügen und Löschen notwendig.
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