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Menschliche Logik AND Boolsche Logik = NOT Logisch.

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Präsentation zum Thema: "Menschliche Logik AND Boolsche Logik = NOT Logisch."—  Präsentation transkript:

1 Menschliche Logik AND Boolsche Logik = NOT Logisch

2 Der Satz vom Widerspruch z.B.: Zürich ist ein Kontinent. und Zürich ist kein Kontinent. kann nicht gleichzeitig wahr sein. Axiom (Vorannahme) der Logik, d.h. weder beweis- noch widerlegbar Aristoteles, Begründer der Logik * 384 v. Chr. in Stageira 322 v. Chr. in Chalkis Eine Aussage kann nicht gleichzeitig mit ihrem Gegenteil wahr sein.

3 Logische Folgerung Aussage 1: Wenn es regnet, wird die Straße nass. Aussage 2: Es regnet. Folgerung: Die Straße wird nass. Aus den zwei Aussagen wenn A, dann B und A kann die Aussage B hergeleitet werden. Auf diese Weise können wir argumentieren und mittels gemeinsam anerkannten Regeln und wahren Aussagen neue Aussagen als wahr herleiten.

4 Was sind Aussagen? = 61 Zürich ist die Hauptstadt der Schweiz. 0 Peter (23) ist älter als Paul (17).1 Aussagen sind Sätze, die entweder wahr ( 1 ) oder falsch ( 0 ) sind. Keine Aussagen: Wo ist der Bahnhof? Ruhe jetzt! Bern ist eine schöne Stadt. Dieses Wasser (20°) ist kalt. unklar!

5 Aussagenlogik Aussagen… …werden durch Variablen repräsentiert …haben Wahrheitswert (wahr/falsch, resp. 0/1) A = Zürich ist die Hauptstadt der Schweiz. 0 B = 2+4=6 1 Aussagenlogische Formeln sind zusammengesetzte Aussagen (*Beispiele mit obigen Werten für A und B) : A UND B0 A ODER B1 (NICHT A) UND B1

6 … sind ebenfalls Aussagen, also auch entweder wahr oder falsch – je nach Wahrheitsgehalt ihrer Teile. Peter ist älter als Paul und 4+4=8.?... werden oft als Wahrheitstabellen dargestellt, z.B. Zusammengesetzte Aussagen… AB A UND B Die Idee ist, für alle Kombinationen der einfliessenden Teilaussagen (= Inputs) den Wert der zusammengesetzten Aussage (= Output) darzustellen

7 George Boole Begründer der Aussagenlogik englischer Mathematiker * 1815 in Lincoln 1864 in Ballintemple (Irland) Boolesche Variablen Können immer nur einen von zwei Werten annehmen true/false, wahr/falsch, 1/0 In vielen Programmiersprachen ein Datentyp Oft gebraucht für bedingte Anweisungen z.B. in Java, C, PHP, Pascal oder VisualBasic

8 Logische Operatoren Logische Operatoren verbinden Aussagen zu neuen (zusammengesetzten) Aussagen Die drei grundlegenden Operatoren sind: UND ODER NICHT (fast alle anderen lassen sich aus diesen drei Operatoren zusammensetzen)

9 AND Deutsch: UND sowohl A als auch B mathematisches Symbol: in Java: && (z.B. true && false -> false)

10 OR Deutsch: ODER entweder A oder B oder beides mathematisches Symbol: V in Java: ||

11 NOT Deutsch: NICHT, Negation nicht A, also das Gegenteil mathematisches Symbol: ¬ in Java: !

12 XOR Deutsch: ausschliessendes ODER entweder A oder B, aber nicht beides mathematisches Symbol: in Java: ^

13 Wahrheitstabellen: Wer hat genascht? Boris: Karsten oder ich waren es. Karsten: Entweder war es Ulf oder ich. Ulf: Entweder hat Boris oder ich nicht genascht. BKU

14 Beispiel: Wer hat genascht? Boris: Karsten oder ich waren es. Karsten: Entweder war es Ulf oder ich. Ulf: Entweder hat Boris oder ich nicht genascht. BKU

15 Wer hat genascht? Boris: Karsten oder ich waren es. Karsten: Entweder war es Ulf oder ich. Ulf: Entweder hat Boris oder ich nicht genascht. BKUK OR BU XOR KNOT (U XOR B) gleich U XOR B (K OR B) AND (U XOR K) AND (U XOR B)

16 Wer hat genascht? Boris: Karsten oder ich waren es. Karsten: Entweder war es Ulf oder ich. Ulf: Entweder hat Boris oder ich nicht genascht. BKUK OR BU XOR KNOT (U XOR B) gleich U XOR B (K OR B) AND (U XOR K) AND (U XOR B)

17 Wer hat genascht? Boris: Karsten oder ich waren es. Karsten: Entweder war es Ulf oder ich. Ulf: Entweder hat Boris oder ich nicht genascht. BKUK OR BU XOR KNOT (U XOR B) gleich U XOR B (K OR B) AND (U XOR K) AND (U XOR B)

18 Wer kommt zur Party? Ute: Entweder kommt Ingrid oder Sonja. Sonja: Entweder kommt Ingrid oder Ute. Ingrid: Es kommen Sonja oder Ute. Lösung: Ingrid kommt nicht, Sonja und Ute schon USI

19 Umformungsregeln Assoziativgesetz (A Λ B) Λ C = A Λ (B Λ C) = A Λ B Λ C (A V B) V C = A V (B V C) = A V B V C Distributivgesetz A Λ (B V C) = (A Λ B) V (A Λ C) A V (B Λ C) = (A V B) Λ (A V C) De Morgansches Gesetz ¬(A V B) = ¬A Λ ¬B ¬(A Λ B) = ¬A V ¬B Doppelte Negation ¬¬A = A Bsp.: ¬(A V ¬B) = ¬A Λ ¬¬B = ¬A Λ B Tipp: Λ = ΛND

20 de Morgan'sche Regel Morgen abend gibts Pizza und Bier. Negation? Formal: A: es gibt Pizza, B: es gibt Bier Negation von A Λ B: ¬(A Λ B) = ¬A V ¬B AB ¬(A Λ B)¬A V ¬B De Morgan: Das NOT ist wie ein Minus, und Vorzeichen umkehren macht aus einem AND ein OR – oder umgekehrt

21 de Morgan'sche Regel Morgen abend gibts Pizza und Bier. Negation? Formal: A: es gibt Pizza, B: es gibt Bier Negation von A Λ B: ¬(A Λ B) = ¬A V ¬B Morgen gibts nicht Pizza UND Bier, bzw. Morgen gibts keine Pizza oder kein Bier Morgen gibts nicht Pizza UND Bier, bzw. Morgen gibts keine Pizza oder kein Bier AB ¬(A Λ B)¬A V ¬B

22 Logik in Java Logische Operationen: AND: && OR: || NOT: ! Boolean: Variable, die entweder wahr oder falsch ist (engl.: true oder false) z.B.: true && false -> false logischer Vergleich: == Achtung! Zuweisung: =


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