Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

Präsentation zum Thema: "Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen"—  Präsentation transkript:

1 Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
Prolog Grundkurs WS 99/00 Christof Rumpf

2 Listenverarbeitung bisher
member/2 append/3 delete/3 reverse/2 reverse/3 permute/2 sort/2 qs/2 partition/4 Listenelemente finden Listen konkatenieren Listenelemente löschen/einfügen Liste umkehren (naiv) Liste umkehren (mit Akkumulator) Liste permutieren (n!) Liste permutationssortieren (n!) Liste mit Quicksort sortieren (n log n) Liste in Teillisten partitionieren GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

3 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
deleteall/3 % deleteall(Term,Liste1,Liste2) deleteall(_,[],[]). deleteall(X,[X|T1],L):- deleteall(X,T1,L). deleteall(X,[H|T1],[H|T2]):- X \= H, deleteall(X,T1,T2). Termination Lösche X aus Kopf Lösche X aus Rest T1 Behalte Kopf H, falls H  X deleteall/3 löscht alle Vorkommen eines Terms aus einer Liste, während delete/3 genau ein Vorkommen eines Terms löscht und scheitert, wenn der Term nicht vorkommt. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

4 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
makeset/3 % makeset(Liste1,Liste2) makeset([],[]). makeset([H|T1],[H|T2]):- deleteall(H,T1,L), makeset(L,T2). Termination. Behalte Kopf H. Löschen aller H aus T1 liefert L. Entferne alle Duplikate aus L. makeset/2 entfernt mit Hilfe von deleteall/3 alle Duplikate aus Liste1 und liefert Liste2 als Ergebnis. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

5 Verschachtelte Listen
Als Listenelemente können beliebige Terme auftreten, also auch Listen. [1,2,3,[a,b,[x,y],c],4,5,[],6] Die Verarbeitung von Listen von Listen erfordert häufig doppelte Rekursion, sodaß bei einer Zerlegung nicht nur der Rest, sondern auch der Kopf rekursiv weiterverarbeitet wird. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

6 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
Verflachen von Listen Das Prädikat flatten/2 wandelt eine verschachtelte Liste in flache Liste um. ?- flatten([1,2,3,[a,b,[x,y],c],4,5,[],6],L). L = [1,2,3,a,b,x,y,c,4,5,6] yes GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

7 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
flatten/2 %flatten(VerschachtelteListe, FlacheListe) flatten([],[]). flatten([H|T],FL):- flatten(H,FH), flatten(T,FT), append(FH,FT,FL). flatten(X,[X]):- X \= [], X \= [_|_]. Leere Liste ist schon flach. Zerlege verschachtelte Liste. Verflache Kopf. Verflache Rest. Konkateniere verflachten Kopf und Rest zu Ergebnis. Term in flache Liste packen, falls Term keine Liste ist. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

8 Effizienz von flatten/2
flatten/2 hat nach dem zweiten rekursiven Aufruf einen Aufruf von append/3. Dies drückt die Performance ähnlich nach unten, wie wir es schon beim naiven reverse/2 gesehen haben. Verbesserung: flatten/3 mit Akkumulator! GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

9 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
flatten/3 flatten/2 ruft flatten/3 auf. Initialisierung des Akkumulators. Termination. Falls verschachtelte Liste leer, verflache Kopf des Akkumulators. Falls Kopf von VL nichtleere Liste, nimm Rest von VL in Akkumulator und verflache H. Falls Kopf von VL keine Liste ist, übernimm den Kopf in flache Liste und verflache Rest von VL. flatten(VL,FL):- flatten(VL,[],FL). flatten([],[],[]). flatten([],[H|Acc],FL):- flatten(H,Acc,FL). flatten([H|T],Acc,FL):- is_list(H), flatten(H,[T|Acc],FL). flatten([H|T1],Acc,[H|T2]):- not is_list(H), flatten(T1,Acc,T2). GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

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is_list/1 Das Prädikat is_list/1 ist beweisbar, wenn das Argument eine leere oder nichtleere Liste ist. is_list([]). is_list([_|_]). Aus Effizienzgründen verzichten wir auf Korrektheit für is_list/1 , indem wir auf den rekursiven is_list/1 -Beweis für Restlisten nichtleerer Listen verzichten. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

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(2) CALL: flatten([1,2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0098) ? > (5) CALL: flatten( [2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0AB8) ? > (8) CALL: flatten( [3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0C14) ? > (11) CALL: flatten( [[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0D70) ? > (13) CALL: flatten( [a,b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _0D70) ? > (16) CALL: flatten( [b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _11E4) ? > (19) CALL: flatten( [[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _1340) ? > (21) CALL: flatten( [x,y,z], [[c],[4,[],5,6]], _1340) ? > (24) CALL: flatten( [y,z], [[c],[4,[],5,6]], _17B4) ? > (27) CALL: flatten( [z], [[c],[4,[],5,6]], _1910) ? > (30) CALL: flatten( [], [[c],[4,[],5,6]], _1A6C) ? > (34) CALL: flatten( [], [[4,[],5,6]], _1D00) ? > (35) CALL: flatten( [4,[],5,6], [], _1D00) ? > (38) CALL: flatten( [[],5,6], [], _1F94) ? > (40) CALL: flatten( [], [[5,6]], _1F94) ? > (41) CALL: flatten( [5,6], [], _1F94) ? > (44) CALL: flatten( [6], [], _2540) ? > (47) CALL: flatten( [], [], _269C) ? > (47) EXIT(N): flatten( [], [], []) (44) EXIT(N): flatten( [6], [], [6]) (41) EXIT(N): flatten( [5,6], [], [5,6]) (40) EXIT(N): flatten( [], [[5,6]], [5,6]) (38) EXIT(N): flatten( [[],5,6], [], [5,6]) (35) EXIT(N): flatten( [4,[],5,6], [], [4,5,6]) (34) EXIT(N): flatten( [], [[4,[],5,6]], [4,5,6]) (31) EXIT(N): flatten( [c], [[4,[],5,6]], [c,4,5,6]) (30) EXIT(N): flatten( [], [[c],[4,[],5,6]], [c,4,5,6]) (27) EXIT(N): flatten( [z], [[c],[4,[],5,6]], [z,c,4,5,6]) (24) EXIT(N): flatten( [y,z], [[c],[4,[],5,6]], [y,z,c,4,5,6]) (21) EXIT(N): flatten( [x,y,z], [[c],[4,[],5,6]], [x,y,z,c,4,5,6]) (19) EXIT(N): flatten( [[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [x,y,z,c,4,5,6]) (16) EXIT(N): flatten( [b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [b,x,y,z,c,4,5,6]) (13) EXIT(N): flatten( [a,b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (11) EXIT(N): flatten( [[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (8) EXIT(N): flatten( [3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [3,a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (5) EXIT(N): flatten( [2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [2,3,a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (2) EXIT(N): flatten([1,2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [],[1,2,3,a,b,x,y,z,c,4,5,6]) GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

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Viele Probleme lassen sich graphentheoretisch modellieren. Ein Graph ist ein mathematisches Objekt mit klar definierten Eigenschaften und Methoden. Bäume sind Graphen mit speziellen Eigenschaften. Wir nähern uns jetzt Bäumen an, indem wir von gerichteten Graphen über DAGs zu geordneten Bäumen kommen. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

13 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
Gerichteter Graph Ein gerichteter Graph G ist ein Tupel <N, E>, wobei N(odes) eine Menge von Knoten und E(dges) eine Menge E  N × N von Kanten ist. G1 = <{a,b,c,d,e}, {<a,b>,<a,c>, <b,d>,<d,c>, <d,e>,<d,a>}> a b c d e GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

14 Prolog-Repräsentation: Graph
als Fakten: node(a). ... node(e). edge(a,b). edge(d,a). als Struktur: ([a,b,c,d,e], [(a,b),(a,c), (b,d),(d,c), (d,e),(d,a)]) GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

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Transitive Hülle Die transitive Hülle eines Graphen G= <N, E> ist die Menge H(G)  N × N, sodaß gilt: 1. E  H(G) 2. <x, y>  H(G)  <y, z>  H(G)  <x, z>  H(G) Die transitive Hülle liefert uns alle Verbindungen, die zwischen Knoten bestehen. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

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Berechnung in Prolog Transitive Hülle für Faktenrepräsentation: closure(X,Y):- edge(X,Y). closure(X,Y):- edge(X,Z), closure(Z,Y) Transitive Hülle für Listenrepräsentation: closure(X,Y,E):- member((X,Y),E). closure(X,Y,E):- member((X,Z),E), closure(Z,Y,E). % E = [(N1,N2),...,(Ni,Nk)] GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

17 DAG Ein gerichteter azyklischer Graph (DirectedAcyclicGraph) G = <N, E> ist ein Graph, für den gilt: <x, y>  H(G): x  y Kein Knoten ist in H(G) mit sich selbst verbunden. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

18 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
Bäume Ein DAG G = <N, E> ist ein Baum, wenn gilt: x,y,z  N: <x, z>  E  <y, z>  E  x = y Jeder Knoten in einem Baum hat maximal einen Vorgänger. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

19 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
Geordnete Bäume Ein geordneter Baum G = <N, E, O> ist ein Baum mit einer totalen Ordnungsrelation O  N × N, sodaß gilt: x,y,z  N: <x, y>  E  <x, z>  E  y  z  <y, z>  O  <z, y>  O Die unmittelbaren Nachfolger eines Knotens stehen in einer linearen Ordnung. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

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Beispiel Syntaxbaum S NP VP Det N V NP Jeder Mann liebt Det N eine Frau Zwei Relationen: unmittelbare Dominanz zwischen Mutter- und Tochterknoten lineare Präzedenz zwischen Tocherknoten GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

21 Lineare Repräsentation in Prolog
als Struktur: s(np(det(jeder),n(mann)), vp(v(liebt),np(det(eine),n(frau)))) als Liste: [s, [np, [det, [jeder]], [n, [mann]]], [vp, [v, [liebt]], [np, [det, [eine]], [n, [frau]]]]] GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

22 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
Univ Strukturen und Listen können ineinander überführt werden. Prolog stellt dazu das eingebaute Prädikat =.. (Univ) zur Verfügung. ?- det(ein) =.. L. ?- np(det(ein),n(mann)) =.. L. L = [det,ein], yes L = [np,det(ein),n(mann)] ?- S =.. [det,ein]. S = det(ein), yes Allgemein: p(A1,...An) =.. [p,A1,...An] GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

23 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
Listen vs. Strukturen Strukturen sind zwar für das menschliche Auge leichter zu überblicken, dafür sind Listenreprä-sentationen allerdings flexibler zu verarbeiten. Strukturen: Zugriff auf Argumente nur bei bekanntem Funktor und bekannter Stelligkeit möglich. Listen: Zerlegung in Kopf und Rest für jede nichtleere Liste in gleicher Weise. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

24 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
Pretty Printing ?- pp(s(np(det(jeder),n(mann)), vp(v(liebt),np(det(eine),n(frau))))) s np det jeder n mann vp v liebt np det eine n frau Ein Pretty-Printer für Bäume ist ein Programm, das die lineare Repräsentation eines Baumes als eingerückten Baum auf den Bildschirm ausgeben kann. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

25 Handwerkszeug zum Drucken
Wir benötigen ein paar eingebaute Prädikate, um einen Pretty-Printer implementieren zu können: write(Term) Schreibt Term auf den Bildschirm. nl Bewirkt einen Zeilenvorschub. tab(Integer) Schreibt 0-n Leerzeichen. Number is Expr Führt Berechnungen durch. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

26 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
pprint/1 pprint(Term):- pprint(Term,0). Initialisierung des Tab-Zählers. pprint(Term,N):- Baum drucken. tab(N), write(F), nl, Ausgabe des Mutterknotens. N1 is N+3, Tabulator erhöhen. pprintl(Args,N1). Unterbäume drucken. pprintl([H|T],N):- Unterbäume drucken. pprint(H,N), Drucke eine Schwester. pprintl(T,N). Drucke die anderen Schwestern. pprintl([],_). Termination. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

27 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
Eine Differenzliste ist ein Paar von Listen (L1,L2), wobei L2 ein Suffix von L1 repräsentiert. Die Elemente einer Differenzliste sind die nach Abzug von Suffix L2 verbleibenden Elemente in L1. Differenzliste gewöhnliche Liste ([E1,...,En|T],T) [E1,...,En] (L,[]) L (L,L) [] GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

28 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
[1,2,3] als Differenzliste Für jede gewöhnliche Liste gibt es unendlich viele Darstellungen als Differenzliste, weil es beliebige Suffixe geben kann. [1,2,3]  ([1,2,3],[])  ([1,2,3,4,5],[4,5])  ([1,2,3,a,b|T],[a,b|T])  ([1,2,3|T],T) GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

29 Konkatenation von Diff-Listen
Differenzlisten haben einen entscheidenden Vorteil gegenüber gewöhnlichen Listen: Man kann sie in konstanter Zeit konkatenieren. Genauer: in einem Schritt. ?- D1 = ([1,2,3|T1],T1), D2 =([4,5,6|T2],T2), append_dl(D1,D2,D3). D3 = ([1,2,3,4,5,6|T2],T2), yes GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen

30 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
append_dl/3 append_dl((A,B),(B,C),(A,C)). GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen