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Einführung in die Klimatologie Prof. Dr. Otto Klemm 10. Statik und Thermodynamik.

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Präsentation zum Thema: "Einführung in die Klimatologie Prof. Dr. Otto Klemm 10. Statik und Thermodynamik."—  Präsentation transkript:

1 Einführung in die Klimatologie Prof. Dr. Otto Klemm 10. Statik und Thermodynamik

2 Navier - Stokes - Gleichung = Druckgradient- beschleunigung Reibung Erdbeschleunigung Coriolis Sonderformen: statische Atmosphäre XX XX X es findet keine horizontale Bewegung statt XX X XXX

3 Navier - Stokes - Gleichung Sonderformen: statische Atmosphäre statische Grundgleichung oder: die statische Grundgleichung beschreibt das Gleichgewicht der Druckgradientkraft, die eine Luftmasse nach oben drückt und der Schwerkraft, die es nach unten drückt.

4 ideale Gasgleichung

5 Dalton weiterhin gilt es zu beachten, dass sich die Partialdrücke einzelner Gase in einem Gasgemisch zu dem gesamten Druck addieren. In anderen Worten: Der Partialdruck eines Gases ist unabhängig von der Präsenz anderer Gase T = const. beispielsweise lässt sich der Druck einer feuchten Luftmasse p als die Summe des Partialdrucks trockener Luft p d und des Wasserdampfdrucks e darstellen:

6 ideale Gasgleichung in der Meteorologie wird die ideale Gasgleichung in einer unterschiedlichen Form verwendet, nämlich massenspezifisch: Den Grund dafür werden wir gleich erkennen: aber Vorsicht: man kann dies nicht ohne weiteres tun. Man hat nun für verschiedene Gase unterschiedliche massenspezifische Gaskonstanten R i. dies führt zu einer neuen Form der allgemeinen Gasgleichung: bzw.

7 Nun haben Stickstoff und Sauerstoff sehr ähnliche Molmassen und vor allem sind die Mischungsverhältnisse in der Atmosphäre sind sehr stabil, dies berechtigt dazu, für trockene Luft eine einheitliche massenspezifische Gaskonstante R d einzuführen: R d = J kg -1 K -1 und die Gasgleichung für trockene Luft lautet: ideale Gasgleichung aber Vorsicht: die Anwesenheit von Wasserdampf (unterschiedliche Molmasse, varriierendes Mischungsverhältnis) kompliziert die Sache.

8 aus der statischen Grundgleichung und der Gasgleichung für trockene Luft bilden wir eine neue Form der statischen Grundgleichung aus der wir erkennen, warum hier massenspezifisch gearbeitet wurde: Wir arbeiten nur noch mit den Messgrößen p, z und T die alle messbar sind statische Grundgleichung p / z 12 hPa / 100 m in Bodennähe

9 wir teilen durch p und integrieren über die Höhe: statische Grundgleichung eine generell gültige Lösung für diese Gleichung gibt es nicht. Man nimmt R und g als konstant an. Wenn zusätzlich T konstant ist, ergibt sich: wenn in Bodennähe p bekannt ist und das Temperaturprofil (annähernd) bekannt ist, kann man konsekutiv p als Funktion der Höhe berechnen. Als Hilfsmittel verwendet man häufig Standard-Atmosphären. Es existieren verschiedene Ansätze unterschiedlichen Vereinfachungsgrades

10 eine wichtige Form ist die hypsometrische Grundgleichung, mit der wir die Beziehung zwischen Druck und Höhe in einer Atmosphäre mit beliebigem Temperaturverlauf berechnen können: statische Grundgleichung ist die mittlere virtuelle Temperatur zwischen den Höhen z 1 und z 2 wir werden diese Gleichung zum Aufbau des thermodynamischen Diagrammpapiers verwenden

11 statische Grundgleichung Auszüge aus einer Standard - Atmosphäre:

12 wir vernachlässigen chemische Energie mechanische Arbeit in der Atmosphäre ist Volumenarbeit: dW = p · dV bei idealem Gas ist die innere Energie bei konstantem Volumen nur von der Temperatur abhängig. Mit c v = spezifische Wärme bei konstantem Volumen (c v = 718 J kg -1 K -1 ) folgt: dU = c V · dT sowie I. Hauptsatz der Thermodynamik

13 wir betrachten die ideale Gasgleichung…... in der differenziellen Form: gemeinsam mit dem I. Hauptsatz ergibt sich: nun führen wir die spezifische Wärme bei konstantem Druck c p ein: c p = c v + R d = ( ) J kg -1 K -1 = 1005 J kg -1 K -1 (trockene Luft) nun ersetzen wir noch V mit der idealen Gasgleichung:

14 I. Hauptsatz der Thermodynamik adiabatische Prozesse sind solche, in denen einer Luftmasse Wärmeenergie weder zu- noch abgeführt wird: dQ = 0 somit folgt: unter Zuhilfenahme der barometrischen Höhenformel: ergibt sich: dies ist eine besonders wichtige Form der Energiegleichung (hier in der massenspezifischen Form ). Man sieht, dass sich bei adiabatischen Prozessen die Summe der Wärmeenergie und der potenziellen Energie ausgleichen. Daraus ergibt sich die Abnahme der Temperatur mit der Höhe in der Troposphäre! Dabei wird die bei der Expansion mit aufsteigender Luft geleistete Volumenarbeit zum Teil aus der Wärmeenergie ausgeglichen. Dies erklärt ca. 71 % der Temperaturabnahme. Durch die Änderung der potenziellen Energie kommt es zu den restlichen 29 % des Temperaturabfalls.

15 trockenadiabatischer Temperaturgradient: der trockenadiabatische Temperaturgradient ist: aber Vorsicht: wir haben dies hier für den Fall trockener Luft hergeleitet. dieser kann mit einem gemessenen Temperaturgradienten = dT / dz verglichen werden.

16 statische Stabilität

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19 potenzielle Temperatur Integration führt zur Poisson--Gleichung: nochmal: für adiabatische Prozesse gilt: und zur Definition der potenziellen Temperatur in Einkeit K (p in hPa): ist die Temperatur, die ein Luftpaket annimmt, wenn es in einem adiabatischen Prozess auf einen Druck von 1000 hPa gebracht wird. ist ein sehr brauchbarer Parameter. In einer trockenadiabatisch geschichteten Atmosphäre ist mit der Höhe konstant.

20 Einfluss der Feuchte Wasser spielt in der Atmosphäre eine extrem wichtige Rolle, weil: Wasser in allen 3 Phasen vorkommt und in Form von Niederschlag eine vitale Voraussetzung für das terrestrische Leben darstellt Wasserdampf ein bedeutendes natürliches Treibhausgas ist Phasenübergänge des H 2 O große Mengen an Energie umsetzen Wasserdampf eine geringere Molmasse und folglich (bei sonst gleichen Bedingungen) eine geringere Dichte hat als trockene Luft

21 Wasserdampf wir verwenden unterschiedliche wichtige Feuchtemaße und lernen damit zusammenhängende Größen für die Atmosphäre kennen: relative Feuchte rF Wasserdampfdruck e Sättigungsdampfdruck des Wassers e* spezifische Feuchte q Taupunkt-Temperatur T d virtuelle Temperatur T v Wasserdampf – Mischungsverhältnis r

22 Wasserdampf oder: R w Gaskonstante des Wasserdampfs mit der Annahme, dass L über den Temperaturbereich von Interesse konstant ist, kann die Gleichung nach Clausius-Clapeyron annähernd gelöst werden: Luft kann eine gewisse Menge an Wasserdampf aufnehmen. Wenn das Angebot an gasförmigem H 2 O darüberhinaus anwächst, tritt Kondensation (bzw. Sublimation) ein und die flüssige (oder feste) Wasserphase bildet sich aus. Die Gleichung nach Clausius-Clapeyron beschreibt die maximal in der Luft vorhandene Wasserdampfmenge:

23 Wasserdampf eine Lösung bietet die Magnus-Formel: im englischsprachigen Raum wird auch Tetens Formel angewandt: t: Temperatur in °C Phaset (°C)C 1 / hPaC2C2 C 3 / °C Eis< Wasser< Wasser>

24 Wasserdampf das Verhältnis des aktuellen Wasserdampfdrucks zum Sättigungsdampfdruck (bei gegebener Temperatur) ist die relative Luftfeuchte rF: rF ist also bei gegebenem Wasserdampfdruck stark von der Temperatur abhängig. rF ist ein beliebtes Feuchtemaß, weil sie direkt messbar ist. rF ist dimensionslos und wird meist in % angegeben. In einer Luftmasse, die in thermodynamischem Gleichgewicht mit einer angrenzenden Wasserphase steht, ist rF gleich der Aktivität des Wassers in der Wasserphase..

25 Einfluss der Feuchte Wasserdampf hat eine geringere Molmasse und folglich (bei sonst gleichen Bedingungen) eine geringere Dichte als trockene Luft. Folglich ist auch die massenspezifische Gaskonstante unterschiedlich der der trockenen Luft. Nun kann man die Gasgleichung entweder durch Wasserdampf erweitern oder auf den Zustand trockener Bedingungen korrigieren. Man definiert für diesen Zweck die virtuelle Temperatur T v : Die virtuelle Temperatur ist diejenige Temperatur, die trockene Luft bei konstantem Druck annehmen müsste, um dieselbe (geringere) Dichte zu haben wie die feuchte Luftmasse mit Temperatur T. Da Wasserdampf weniger dicht ist als trockene Luft, ist T v T. Auf die Herleitung von T v wird hier verzichtet. Sie ist: T v = T · ( · q) mit: q = spezifische Feuchte = Masse Wasserdampf / Masse feuchter Luft

26 Einfluss der Feuchte q = spezifische Feuchte = Masse Wasserdampf / Masse feuchter Luft W = Dichte des Wasserdampfs d = Dichte der trockenen Luft die massenspezifischen Gaskonstanten des H 2 O, R W, und der trockenen Luft, R d, haben das Verhältnis: mit der Gasgleichung führt dies zu: e: Partialdruck des Wassers

27 Einfluss der Feuchte und mit p » e: Die virtuelle Temperatur T v = T · ( · q) kann nun in der Gasgleichung für trockenen Luft eingesetzt werden, wenn diese auch für feuchte Luft angewendet werden soll: Allerdings ist der Einfluss der Feuchte auf den trockenadiabatischen Temperaturgradienten* gering, so dass er hier meist vernachlässigt wird. * trockenadiabatischer Temperaturgradient feuchter Luft Vorsicht: ein feuchadiabatischer Temperaturgradient ist etwas anderes

28 Wasserdampf die Taupunkt-Temperatur T d ist diejenige Temperatur, auf die eine gegebene Luftmasse mit gegebener Feuchte abgekühlt werden muss, bis Kondensation eintritt. Es gilt: T d ist ein bedeutendes Maß, weil sie direkt messbar ist die Höhe des Kondensationsniveaus in der Atmosphäre bestimmt

29 Wasserdampf das Wasserdampf - Mischungsverhältnis r ist die Masse des Wasserdampfes / Masse trockener Luft r s ist das Sättigungs-Mischungsverhältnis des Wasserdampf, wenn in o.g. Gleichung e* statt e eingesetzt wird. mit R v = Gaskonstante des Wasserdampfs

30 Wasserdampf wenn die Temperatur einer Luftmasse unter die Taupunkt-Temperatur absinkt, kommt es zur Kondensation von Wasserdampf zu flüssigem Wasser. Dabei wird die Verdampfungswärme L (2.6 ·10 6 J kg -1 ) des Wassers frei. Diese kommt der expandierenden Luft als Wärmeenergie zugute. Damit verringert sich die Temperaturabnahme mit der Höhe im Vergleich zum trockenadiabatischen Fall. Der feuchtadiabatische Temperaturgradient soll hier nicht hergeleitet werden sondern wird eingeführt mit: gilt in dieser Form für die wässrige Phase, nicht für die Bildung der Eisphase

31 Wasserdampf die der Luft durch Kondensation zugeführte Energie kann als Steigung der Sättigungskurve des Wasserdampfs bei gegebener Temperatur verstanden werden der Unterschied zwischen feuchtadiabatischem und trockenadiabatischenTemperaturgradient ist also eine Funktion der Temperatur. Für die meisten Fälle gilt: –0.3 K / 100m – 0.7 K / 100 m

32 Föhn aus: Blüthgen und Weischet, 1980 SN Aufsteigende Luftmassen können (bei T d ) das Kondensationsniveau erreichen. Am Beispiel des Föhns werden die Effekte gut veranschaulicht:

33 thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995

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38 Föhn - Beispiel Höhe ü. NN m T °C rH % r s g kg -1 r g kg -1 p hPa Start Anstieg parallel zur Trockenadiabaten bis das Sättigungs-Mischungsverhältnis erreicht ist Kondensations niveau Anstieg entlang der Feuchtadiabaten bis über die Berge Gipfelhöhe Abstieg parallel zur Trockenadiabaten bis zum Boden hin Endpunkt Farbkodierung: rot fett: vorgegeben blau unterstrichen:aus Diagramm ermittelt braun kursiv: aus Angaben und Diagramm ermittelt / berechnet

39 thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995


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