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Monte-Carlo-SimulationenzumClustermodelldesPenrose-Pentagon-Tilings.

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Präsentation zum Thema: "Monte-Carlo-SimulationenzumClustermodelldesPenrose-Pentagon-Tilings."—  Präsentation transkript:

1 Monte-Carlo-SimulationenzumClustermodelldesPenrose-Pentagon-Tilings

2 Entropic Sampling Gliederung Clusterdichte Monte-Carlo-AlgorithmusMonte-Carlo-Algorithmus Penrose-Pentagon-Tiling Clusterüberlapps

3 Penrose-Pentagon-Tiling

4 Penrose-Pentagon-Tiling Stern Schiff Rhombus Pentagon Cluster

5 Cluster Zusammenhang mit dem Gummelt- Dekagon Tile-Cluster

6 Flips flipbare Vertexkonfigurationen flipbare Vertexkonfigurationen Einzelflip

7 Monte-Carlo-Algorithmus

8 Metropolis-Algorithmus I System im stationären Gleichgewicht detailliertes Gleichgewicht E x E E y x y E w(x y) w(y x)

9 Metropolis-Algorithmus II Besetzungswahrscheinlichkeit im kanonischen Ensemble (Boltzmann-Statistik) Sprungwahrscheinlichkeit (Sprungrate) für einen Prozess mit Energieaufwand E: Mittelwertberechnung:

10 Clusterdichte

11 Clusterenergie Energie pro Cluster = –1 maximale Clusterzahl energetischer Grundzustand Die Cluster- zahl skaliert mit der Systemgröße. Die Cluster- dichte ist eine universelle Größe. Abkühlen

12 Supertile Random Tiling Clusterzentren Bei maximaler Cluster- dichte bilden die Cluster- zentren ein vollständiges Supertiling. Alle Supertilings haben dieselbe Energie (dieselbe Clusterzahl). Es handelt sich um Random Tilings.

13 Spezifische Wärme I spezifische Wärme:

14 Spezifische Wärme II spezifische Wärme:

15 Spezifische Wärme III

16 Clusterüberlapps

17 Dipolmodell Clusterorientierung Es werden nur solche Flips ausgeführt, die die Clusterzahl nicht ändern (Flips im Supertiling). Dabei müssen allerdings die Dipole konsistent mitgeändert werden.

18 Clusterüberlapps A-Überlapps: nicht orientiert B-Überlapp: orientiert Random-Tiling-Überlapp A(1,6)

19 A-Überlapps beim Gummelt-Dekagon Random-Tiling- Überlapp A(1,6) Überlapps, die die Matching Rules erfüllen

20 Energetische Überlappregel verbotener Überlapp A(1,6) mit der Energie +1 minimale A(1,6)-Zahl energetischer Grundzustand

21 Minimale Defektzahl Die minimale Zahl der A(1,6)- Defekte hängt nicht mit von der Systemgröße ab, sondern von der Geometrie des Appro- ximanten. n = 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5,... minimale Defektzahl perfekter Approximant ?

22 Energierenormierung Energierenormierung: minimale Defektenergie als Energienullpunkt Die renormierte Defektenergie skaliert mit der Systemgröße.

23 Spezifische Wärme I spezifische Wärme:

24 Spezifische Wärme II spezifische Wärme:

25 Spezifische Wärme III

26 Entropic Sampling

27 Besetzungswahrscheinlichkeit p für einen einzelnen Zustand x mit Energie E x : Entropic Sampling I Besetzungswahrscheinlichkeit P für die Energie E (alle Zu- stände mit E x = E): Entropie S und Zahl der Zustände mit Energie E x = E: E x F(Ex)F(Ex) E E F(E)F(E) F(E)F(E)

28 Entropic Sampling II Besetzungswahrscheinlichkeit P für die Energie E (alle Zu- stände mit E x = E): P(E) = exp{S(E) – F(E)} P(E) = const F(E)=S(E)F(E)=S(E) Sampling mit Übergangs- ratenverhältnis S(Ex)S(Ex)

29 Entropic Sampling III (iterative) Bestimmung der Entropie-Funktion S(E) aus dem Energie-Histogramm (E): Berechnung der Zustandssumme Z( ) bei verschiedenen Werten für : Ist die Entropie-Funktion und damit die Zustandssumme bekannt, können alle anderen thermodynamischen Größen des Systems bestimmt werden (z. B. die spezifische Wärme).

30 Zusammenfassung Clusterdichte-Maximum Supertile Random Tiling Supertile Random Tiling A(1,6)-Überlapp-Minimum Ordnung des Approximanten Ordnung des Approximanten


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