Metrische Markow-Ketten

Präsentation zum Thema: "Metrische Markow-Ketten"—  Präsentation transkript:

1 Metrische Markow-Ketten
Klaus Frieler Universität Hamburg Musikwissenschaftliches Institut

2 Metrische Markow-Ketten
Einleitung Metrisch gebundene Musik verfügt über zwei Apsekte musikalischer Zeit: Lineare Zeit Zyklische Zeit Der zyklische Aspekt ist vor allem in genuiner Rhythmus und Metrumsforschung untersucht worden Gelegentliche Kreisdarstellungen, meisten beschränkt auf eintaktige Patterns oder Strukturen von Metren. Metrische Markow-Ketten

3 Metrische Markow-Ketten
Einleitung Verallgemeinerung: Metrische Kreisabbildung (MKA) Einführung von Metrischen Markow-Ketten (MMK) Kompakte Visualisierung von einzelnen oder mehreren Rhythmen auf dem metrischen Kreis. Definition der Metrischen Entropie (ME) als Kennzahl für metrische Variabialiät und Strukturiertheit. Metrische Markow-Ketten

4 Metrische Kreisabbildung
Rhythmen darsgestellt als streng monoton-wachsende Folge von Zeitpunkten ti Annahme hier: Metrische Rhythmen mit Taktlänge T. Metrische Kreisabbildung vom Rhythmus auf den Einheitskreis in der komplexen Ebene Zeit läuft gegen den Uhrzeigersinn. Der freie Parameter f erlaubt,die Taktanfänge auf einen Punkt abzubilden, hier: (1,0) oder 3 Uhr. Metrische Markow-Ketten

5 Metrische Markow-Ketten
Definiere N nicht-überlappende Kreissegmente mit Mittelpunkten auf den N-ten Einheitswurzeln (bei Winkeln 360°/N) Jeder Punkt der MKA ist liegt dann in genau einem Intervall. Wir erhalten eine Folge von Kreisindizes für einen Rhythmus. Metrische Markow-Ketten

6 Metrische Markow-Ketten
Markow-Ketten ergeben sich dann als Besetzungs- und Übergangswahrscheinlichkeiten (0. und 1. Ordnung) zwischen Kreisindizes. Bem.: Markow-Ketten lassen sich auch für andere musikalische Parameter definieren und wurden oft für algorithmische Kompositon eingesetzt. Metrische Markow-Ketten

7 Metrische Markow-Ketten
Visualisierung Beispiel: Mandy von Barry Manilow Metrische Markow-Ketten

8 Metrische Markow-Ketten
Visualisierung Beispiel: Drumgroove „Cross-Fade“ von Steve Coleman (9/4). (OL: Hihat, OR: Cowbell, UL: Kick, UR: Snare) Metrische Markow-Ketten

9 Metrische Markow-Ketten
Metrische Entropie Informationsentropie wurde 1948 von Claude Shannon für die Signaltechik eingeführt. Sie ist ein Maß für die „Information“ die in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung enthalten ist, in diesem Sinne: Wieviele Ja/Nein-Fragen muss man im Mittel stellen um das Ergebnis eines Zufallsexperiment herauszufinden. Einheit: Bits. Metrische Markow-Ketten

10 Metrische Markow-Ketten
Metrische Entropie Sei eine Zufallsvariable (Wahrscheinlichkeitsverteilung) mit N Wahrscheinlichkeiten pi gegeben. Dann ist die Entropie H = -S pi log2 pi Sehr sichere und sehr unsichere Ereignisse transportieren wenig Information. Maximale Entropie bei Gleichverteilung: pi = 1/N Metrische Markow-Ketten

11 Metrische Markow-Ketten
Metrische Entropie Wir definieren für die Metrischen Markow-Ketten Entropie 0. und 1. Ordnung, h0 and h1, normalisiert auf Werte zwischen 0 und 1. h0 ist Entropie der Besetzungswahrscheinlichkeiten: Desto mehr verschiedene metrische Positionen und desto gleichmäßiger sie eingenommen werden, desto höher ist die Entropie. Höchste Entropie bei vollkommen gleichmäßigen Schlagfolgen, aber auch bei vollkommen zufälligen. Entropie sinkt falls bestimmte Positionen bevorzugt werden („Besetzungakzente“) Metrische Markow-Ketten

12 Metrische Markow-Ketten
Metrische Entropie h1 ist Entropie der Übergangswahrscheinlichkeiten. Desto mehr verschiedene Übergänge und desto gleichmäßiger diese vorkommen, desto höher die Entropie Komplett zufällige Folgen haben höhere metrische Entropie 1. Ordnung als komplett strukturierte. Unterscheidungskriterium. Zusammengenommen bilden h0 und h1 Maß für metrische Variabilität. Interpretation im Sinne von Vorhersagbarkeit von Rhythmen. Frage: Metrisches Komplexitätsmaß? (keine Berücksichtung der Phasenlage und der metrischen Hierarchie) Metrische Markow-Ketten

13 Metrische Analyse von Melodiesammlungen
Zur Demontstration der Methoden wurden 5 Liedsammlungen untersucht: 61 Irische Volkslieder 586 LuxemburgischeWeisen, 149 Ostpolnische Kirchenlieder aus Warmia 207 deutsche Kinderlieder 53 zeitgenössische Pop songs (Boygroup-Songs aus den Charts, Daten von Frank Riedemann) Transformation mit der MKA, Berechnung von MMK, Berechnung der ME Metrische Markow-Ketten

14 Verteilung der Signaturen
Kinder Warmia Luxemb. Irisch Pop 2/4 70,5 4,1 33,6 11,0 4/8 0,2 4/4 8,7 72,3 27,0 33,0 96,2 8/4 2,0 3 /8 3,9 1,4 3 /4 12,1 7,4 21,5 6/4 3,0 3,8 6/8 4,8 15,7 16,0 9/8 9/4 8,1 5/4 7/4 0,7 Zweier 79,2 78,4 60,8 44,0 Dreier 20,8 19,6 39,2 56,0 Ungerade Metrische Markow-Ketten

15 Visualisierung der Liedsammlungen
Links Kinderlieder, rechts Warmia Metrische Markow-Ketten

16 Visualisierung der Liedsammlungen
Links:Luxemburg, Mitte: Irische, Rechts: Pop Metrische Markow-Ketten

17 Verteilung der Metrischen Position
Pop songs Metrische Markow-Ketten

18 Verteilung der Metrischen Position
Oben: Kinderlieder, unten: Pop songs Metrische Markow-Ketten

19 Übergangswahrscheinlichktien
Metrische Markow-Ketten

20 Metrische Markow-Ketten
Metrische Entropien Links: 0. Ordnung, rechts: 1. Ordnung Metrische Markow-Ketten

21 Metrische Entropien: Vergleich
Hochsignifikante Unterschiede in den Entropieverteilungen (p<.00). Ausnahme: Luxemburg und Warmia. Kinderlieder sind am „einfachsten“: Weniger metrische Variabilität (2/4 Takte!), Besetzungswahrscheinlichkeiten am stärksten akzentuiert. Popsongs zeigen größte Variabilität. Jede Achtelposition im 4/4 ist nahezu gleichwahrscheinlich. Viele Synkopen resultieren in höherer Zahl von Übergängen Kinderlieder und Luxemburgische Songs zeigen homogenste Verteilung, die Irischen Lieder haben die breiteste Streuung Metrische Markow-Ketten

22 Zusammenfassung und Ausblick
Die MKA und die Metrischen Markow-Ketten sind zur Beschreibung und Charakterisierung von Rhythmen geeignet. Kompakte Visualisierung Metrische Entropien sind zur Differenzierung von Stilen geeignet (auf der Ebene von Sammlungen) Mögl. Erweiterungen: Tonhöhe als Radius Lineare Zeit als 3. Koordinate (Spiralen auf Zylindern) Tonhöhe auf dem Quintenzirkel führt auf Torusdarstellung… Metrische Ähnlichkeitsmaße Metrische Markow-Ketten