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Planare Graphen Zeichnen von Graphen Proseminar Algorithmen auf Graphen Sommersemester 2006 Christoph Bösel.

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Präsentation zum Thema: "Planare Graphen Zeichnen von Graphen Proseminar Algorithmen auf Graphen Sommersemester 2006 Christoph Bösel."—  Präsentation transkript:

1 Planare Graphen Zeichnen von Graphen Proseminar Algorithmen auf Graphen Sommersemester 2006 Christoph Bösel

2 Überblick Begriff Euler-Satz Kuratowski-Satz Boyer-Myrvold-Algorithmus O(n) Demoucron-Algorithmus O(n²) Zeichnen Zusammenfassung, Fragen

3 A={K 2 } Begriff „planar“ A B C B={K 3 } planar in der Ebene darstellbar, ohne dass sich Kanten überschneiden C={K 4 } kein Einfluss - gerichtet/ungerichtet - mehrfache Kanten - Schlingen - Gewichtung von Kanten - etc. vereinfacht - einfach - ungerichtet komplett jeder Knoten besitzt mit jedem weiteren Knoten eine gemeinsame Kante

4 Der K 5 D D={K 5 } Fehlt nur eine clevere Idee? Gibt es (eine) Lösung? 5 5

5 Satz von Euler V = C 6 = 6 6= 6

6 V = C 6 = 6= 5 5 ?

7 V = C 6 = = 5 5 -E -1 5

8 V = C 6 = = -E

9 V = C 6 = = -E ?

10 V = C 6 = = -E F + 1 1

11 V = C 6 = = -E F E [+V] v [+F] v [-C] vereinfacht - zusammenhängend, C=1

12 weitergeeulert V - E + F = 2 m i ≤ 2E m i ≥ 3F F ≤ 2E / 3 E = V + F - 2 ≤ V + 2E / E ≤ 3V - 6

13 Euler und der K 5 D D={K 5 } 5 5 E3V-6≤ 103*5-6≤ 109≤ ? Widerspruch! Wirklich so einfach?

14 11/6 vs. K 5 U 1/1 E F *6-6≤ 1112≤ Und nun?F E 6

15 Satz von Kuratowski Ein endlicher Graph ist genau dann planar, wenn er keinen Teilgraphen enthält, der durch die Erweiterung des K 3,3 oder K 5 entstanden ist. K 3,3 K5K5 F F G Heute schon was vor?

16 Boyer-Myrvold G Graph wird durch Tiefensuche in Baumstruktur überführt - Knoten werden nach Postorder-Reihenfolge neu bezeichnet - Datenstruktur G~ initialisieren

17 Boyer-Myrvold 2.for jeden Knoten v = 1 to n 3.for jedes Kind c von v in G Baumkante (v c, c) in G~ einfügen 4.for jede Rückkante, indizent zu v und einem Nachfolger w Walkup(G~, v, w) 5.for jedes Kind c von v in G Walkdown(G~, v c ) 6.for jede Rückkante, indizent zu v und einem Nachfolger w if (v c, w) є G~/ Kuratowski-Teilgraphen aus G~ isolieren return (nicht planar, G~) 7.return (planar, G~)

18 Boyer-Myrvold positiv: negativ: - Laufzeit O(n) - Rückgabe von - Entscheidung planar/nicht-planar - Kuratowski-Teilgraph (wenn nicht planar) - Einbettung (wenn planar) - robust - einfacher als andere O(n)-Algorithmen - immernoch recht komplex

19 Demoucron 1.beliebigen Kreis aus G in G‘ einbinden 2.alle Flächen von G‘ bestimmen 3.F(S) bestimmen (verbleibende Fragmente von G) 4.if F(S)=O then return planar 5.für alle F(S) die angrenzbaren Flächen bestimmen 6.if es gibt F(S) ohne solche Fläche then return nicht-planar 7.if es gibt F(S) mit nur einer Fläche then goto 9. 8.Fragment von F(S) aussuchen 9.α-Pfad aussuchen und in angrenzbare Fläche einbinden 10.goto 2. /

20 Demoucron positiv: negativ: - einfach zu implementieren - Laufzeit O(n²) - keine Rückgabe außer planar/nicht-planar

21 Zeichnen von Graphen platzsparende, übersichtliche Einbettung irgendwie halt.. Einbettung durch Boyer-Myrvold-Aglorithmus oder andere, spezialisierte Algorithmen

22 Zusammenfassung planar – p wie platt K 5 und K 3,3 - die Wurzeln alles Bösen Grundversorgung durch einfache, aber zeiltlich aufwändige Algorithmen mit quadratischer Laufzeit leistungsstarke Algorithmen mit linearer Laufzeit und jeder Menge Goodies, jedoch sehr komplex übersichtliche Zeichnung als Erweiterung des Planaritätstests

23 Fragen?


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