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Planare Graphen Zeichnen von Graphen Proseminar Algorithmen auf Graphen Sommersemester 2006 Christoph Bösel.

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Präsentation zum Thema: "Planare Graphen Zeichnen von Graphen Proseminar Algorithmen auf Graphen Sommersemester 2006 Christoph Bösel."—  Präsentation transkript:

1 Planare Graphen Zeichnen von Graphen Proseminar Algorithmen auf Graphen Sommersemester 2006 Christoph Bösel

2 Überblick Begriff Euler-Satz Kuratowski-Satz Boyer-Myrvold-Algorithmus O(n) Demoucron-Algorithmus O(n²) Zeichnen Zusammenfassung, Fragen

3 A={K 2 } Begriff „planar“ A12 101 210 B1231011 2101 3110 C123410111 21011 31101 41110 B={K 3 } 2 1 1 2 3 planar in der Ebene darstellbar, ohne dass sich Kanten überschneiden 1 2 3 4 1 2 3 4 C={K 4 } kein Einfluss - gerichtet/ungerichtet - mehrfache Kanten - Schlingen - Gewichtung von Kanten - etc. vereinfacht - einfach - ungerichtet komplett jeder Knoten besitzt mit jedem weiteren Knoten eine gemeinsame Kante

4 Der K 5 D12345 101111 210111 311011 411101 511110 1 2 3 4 D={K 5 } Fehlt nur eine clevere Idee? Gibt es (eine) Lösung? 5 5

5 Satz von Euler 1 2 3 4 5 6 V = C 6 = 6 6= 6

6 1 2 3 4 5 6 V = C 6 = 6= 5 5 ?

7 1 2 3 4 5 6 V = C 6 = = 5 5 -E -1 5

8 1 2 3 4 5 6 V = C 6 = = -E -5 1 1 1

9 1 2 3 4 5 6 V = C 6 = = -E - 1 1 6 0 ?

10 1 2 3 4 5 6 V = C 6 = = -E - 1 1 6 + F + 1 1

11 1 2 3 4 5 6 V = C 6 = = -E - 1 6 + F + + 1 2+ 1 2 2 +E [+V] v [+F] v [-C] vereinfacht - zusammenhängend, C=1

12 weitergeeulert V - E + F = 2 m i ≤ 2E 1 2 3 4 m i ≥ 3F F ≤ 2E / 3 E = V + F - 2 ≤ V + 2E / 3 - 2 E ≤ 3V - 6

13 Euler und der K 5 D12345 101111 210111 311011 411101 511110 1 2 3 4 D={K 5 } 5 5 E3V-6≤ 103*5-6≤ 109≤ ? Widerspruch! Wirklich so einfach?

14 11/6 vs. K 5 U 1/1 E123456 1011100 2101110 3110011 4110011 5011101 6001110 1 2 3 4 F 5 5 113*6-6≤ 1112≤ Und nun?F1234561011110 2101110 3110110 4111011 5111100 6000100 1 2 3 4 5 6 E 6

15 Satz von Kuratowski 1 5 2 3 4 1 2 3 6 5 4 Ein endlicher Graph ist genau dann planar, wenn er keinen Teilgraphen enthält, der durch die Erweiterung des K 3,3 oder K 5 entstanden ist. K 3,3 K5K5 F123456 1011110 2101110 3110110 4111011 5111100 6000100 F1234561010111 2100111 3000010 4110011 5111101 6110110 G123456789......1010100110010 2101011001000 3010011001000 4100000000000 5011001001000 6011010101000 7100001010010 8100000100001 9011011000000..000000000010..000000100100..010000010000 Heute schon was vor?

16 Boyer-Myrvold G123456789 1010100110 2101011001 3010011001 4100000000 5011001001 6011010101 7100001010 8100000100 9011011000 1. 1 2 3 5 6 7 8 9 4 1 23 4 5 6 78 9 - Graph wird durch Tiefensuche in Baumstruktur überführt - Knoten werden nach Postorder-Reihenfolge neu bezeichnet - Datenstruktur G~ initialisieren

17 Boyer-Myrvold 2.for jeden Knoten v = 1 to n 3.for jedes Kind c von v in G Baumkante (v c, c) in G~ einfügen 4.for jede Rückkante, indizent zu v und einem Nachfolger w Walkup(G~, v, w) 5.for jedes Kind c von v in G Walkdown(G~, v c ) 6.for jede Rückkante, indizent zu v und einem Nachfolger w if (v c, w) є G~/ Kuratowski-Teilgraphen aus G~ isolieren return (nicht planar, G~) 7.return (planar, G~)

18 Boyer-Myrvold positiv: negativ: - Laufzeit O(n) - Rückgabe von - Entscheidung planar/nicht-planar - Kuratowski-Teilgraph (wenn nicht planar) - Einbettung (wenn planar) - robust - einfacher als andere O(n)-Algorithmen - immernoch recht komplex

19 Demoucron 1.beliebigen Kreis aus G in G‘ einbinden 2.alle Flächen von G‘ bestimmen 3.F(S) bestimmen (verbleibende Fragmente von G) 4.if F(S)=O then return planar 5.für alle F(S) die angrenzbaren Flächen bestimmen 6.if es gibt F(S) ohne solche Fläche then return nicht-planar 7.if es gibt F(S) mit nur einer Fläche then goto 9. 8.Fragment von F(S) aussuchen 9.α-Pfad aussuchen und in angrenzbare Fläche einbinden 10.goto 2. /

20 Demoucron positiv: negativ: - einfach zu implementieren - Laufzeit O(n²) - keine Rückgabe außer planar/nicht-planar

21 Zeichnen von Graphen 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 platzsparende, übersichtliche Einbettung irgendwie halt.. Einbettung durch Boyer-Myrvold-Aglorithmus oder andere, spezialisierte Algorithmen

22 Zusammenfassung planar – p wie platt K 5 und K 3,3 - die Wurzeln alles Bösen Grundversorgung durch einfache, aber zeiltlich aufwändige Algorithmen mit quadratischer Laufzeit leistungsstarke Algorithmen mit linearer Laufzeit und jeder Menge Goodies, jedoch sehr komplex übersichtliche Zeichnung als Erweiterung des Planaritätstests

23 Fragen?


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