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Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/031 Fußgängernavigation Graph – basierte Routenplanung versus Geometrische Routenplanung Philipp.

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1 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/031 Fußgängernavigation Graph – basierte Routenplanung versus Geometrische Routenplanung Philipp Zeimetz

2 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/032 Graph – basierte Routenplanung Geometrische Routenplanung Erinnerung und Ausblick

3 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/033 Graphen-basierte Routenplanung Wir kennen aus der diskreten Mathematik II: Algorithmus von Dijkstra –Alle kürzesten Wege von einem Knoten –Laufzeit O(e + n log n) (mit fibonacci Heaps) ( n / e = Anzahl der Knoten / Kanten ) Algorithmus von Floyd –Kürzesten Wege zwischen allen Paaren von Knoten –Kosten O (n³)

4 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/034 Unterschiede Was unterscheidet die beiden Verfahren: Graphen-basierte Routenplanung: –Ableitung der Topologie aus der Geometrie –Repräsentation der Topologie durch Graphen  Ableitung eines Graphen aus der Geometrie  Der Graph besteht aus nicht negativ gewichtete Kanten Geometrische Routenplanung –Keine Abstraktion der Geometrie –Repräsentation der Geometrie durch Polygone –Geometrie dient als Grundlage der Berechnungen –Berechnung und Ausgabe einer Trajektorie

5 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/035 Motivation Bewegung wird nicht auf wenige Kanten beschränkt –Fußgänger bewegen sich freier als Züge oder Autos! Eine exakte Trajektorie wird berechnet –Robotik –Schifffahrt Wo liegen die Vorteile der geometrischen Routenplanung?

6 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/036 geometrische Routenplanung Vorgehen: Zerlegung des freien Raums Erstellung des Verbindungsgraphen Punktlokalisierung in Landkarten Berechnung der möglichen Wege -Verwendung von Trichtern (funnel) Ausgabe einer Wegebeschreibung -Liefert eine Koordinaten Liste

7 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/037 Das Verfahren ist sehr Komplex! Wir beschränken uns auf folgende Fälle: Wir bewegen uns im zweidimensionalen Die Karte ist uns bekannt Die Karte besteht aus Polygonen Die Position ist uns bekannt Fußgänger haben keine Ausdehnung -Existiert eine Verbindung zwischen zwei Hindernissen, so passen Fußgänger auch hindurch

8 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/038 Die Karte freier RaumHindernisse Besteht aus: Einem begehbaren Polygon mit vielen unbegehbaren Löchern (ebenfalls Polygone)

9 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/039 freier RaumHindernisse Zellzerlegung Zerlegung der Karte in einfache Polygone: Bestimmung von Minima und Maxima der Hindernispolygone Nummerierung der neuen Kacheln Berechnungskosten: O (n) Einfügen Horizontaler Kanten

10 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0310 Gewinn der Zerlegung I freier RaumHindernisse es entstehen einfache Polygone der gesuchte Weg verläuft zwischen linker und rechter Begrenzung „Auswüchse“ werden nicht besucht

11 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0311 Gewinn der Zerlegung II freier RaumHindernisse „Höhlen“ werden im Graph zu toten Enden

12 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0312 Punktelokalisierung freier RaumHindernisse I II In welchem Polygon liegen End- und Anfangspunkt? Durch Zellzerlegung entsteht eine Karte, welche an die Trapezkarte aus GIS III Laufzeit: O (n log n)

13 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/ Verbindungsgraph freier RaumHindernisse

14 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/ Jeder Knoten repräsentiert eine Kachel Jede Kante repräsentiert die Verbindung der begrenzenden Kacheln Von jeder Kachel geht mindestens eine Kante und maximal vier Kanten ab Verbindungsgraph Eigenschaften des Verbindungsgraphen:

15 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0315 Laufzeitkosten freier RaumHindernisse Betragen zusammen: O (n log n) (n ist die Anzahl der Knoten) I II Zellzerlegung + Verbindungsgraph + Punktlokalisierung Die Laufzeitkosten für: O (n) + + O (n log n)

16 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0316 freier Raum Hindernisse I II Suche möglicher Wege Algorithmus: A* Laufzeit: O (n) Nachteil: jeder Kante muss geprüft werden Aber: auch jede Region max. zwei mal

17 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0317 Trichtern (funnel) Linke Kette Rechte Kette Der Quellpunkt liegt stets auf dem kürzesten Weg Der kürzeste Weg verläuft stets über konvexe Punkte Quellpunkt Die linke Kette verläuft über konvexe Punkte der linken Begrenzung Die rechte Kette verläuft über konvexe Punkte der rechten Begrenzung Konvexe Punkte Die Ketten bewegen sich voneinander weg

18 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0318 freier RaumHindernisse I II Ein einfaches Beispiel Der kürzeste Weg verläuft stets über konvexe Punkte Der Winkel zwischen den Ketten ist minimal Die Ketten bewegen sich voneinander weg

19 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0319 Geometric Route Planning A*

20 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/ Geometric Route Planning

21 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/ Geometric Route Planning

22 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/ Geometric Route Planning

23 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/ Geometric Route Planning

24 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/ Geometric Route Planning

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30 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/ Geometric Route Planning

31 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0331 Beschreibung des Weges Die Koordinaten aller Knickpunkte werden ausgegeben. Die Streckenlänge berechnet sich nach: Freier RaumKartenobjekte Wobei m die Anzahl der Stützpunkte ist

32 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0332 Ein Problemfall ??? n = # Knoten = 16 h = # Löcher = 4 Für n = 50 max h = 15 # Wege: # d. Regionen: 61 Tiefe des Baums: 2h + 1 = 9 (max) # möglicher Wege: 2 h = 16 Anzahl Regionen: 3h + 1 = 13 (max) Durchlaufene Regionen: 4h + 1 = 17 (max)

33 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0333 Ein Problemfall ??? Anzahl der Sichtbarkeitsüberprüfungen: n²

34 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0334 Ein Spezialfall Freier RaumKartenobjekte Endpunkt und Startpunkt liegen in einem Polygon Lösung: Ergänzung der Zellzerlegung Algorithmus von Lee und Preparata... weitere Methoden... Problem: Bei komplexen Polygonen ist die Orientierung schwierig I II Freier RaumKartenobjekte

35 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0335 Ergänzung der Zellzerlegung Ergänzung: Einfügen zweier weiterer horizontaler Kanten an Start- und Endpunkt Beachte: der Verbindungsgraph verändert sich die Nummerierung muss erneuert werden I II Freier RaumKartenobjekte

36 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0336 Algorithmus: Lee und Preparata 1. Schritt: Triangulation des beliebigen, lochfreien Polygons Berechnungskosten: O (n) wobei n die Anzahl der Knoten ist

37 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0337 Algorithmus: Lee und Preparata 2. Schritt: Erstellung eines Graphen zwei Dreiecke sind benachbart, wenn sie gemeinsame Seiten haben

38 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0338 Algorithmus: Lee und Preparata 3. Schritt: Suche des einzigen Weges

39 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0339 Algorithmus: Lee und Preparata 3. Schritt: Suche des einzigen Weges

40 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0340 Algorithmus: Lee und Preparata 4. Schritt: Anwendung der Trichter

41 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0341 Trichter Algorithmus Die Regeln für die Trichter sind hier etwas anders: die Endpunkte der Ketten müssen keine Konvexe Punkte sein die Ketten verlaufen immer über die nächst möglichen konvexen Punkte  Kriterium der kleinsten Winkel gilt nicht

42 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0342 Algorithmus: Lee und Preparata 4. Schritt: Anwendung der Trichter

43 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0343 Algorithmus: Lee und Preparata 4. Schritt: Anwendung der Trichter

44 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0344 Laufzeitkosten Kosten für die Suche in einem einfachen Polygon Algorithmus nach Lee und Preparata: O (n) Setz die Polygon-Triangulation voraus: O (n) Kosten für die Suche in einem komplexen Polygon Zellzerlegung + Verbindungsgraph + Punktlokalisierung: O (n log n) Wegsuche mit A*-Algorithmus: O (n) Gesamtlaufzeitkosten: O(n²) +... Trichterkonstruktion: O (n²)

45 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0345 Vergleich der Verfahren I Laufzeitkosten der Algorithmen: Graphbasierte Routenplanung -Dijkstra O(e + n log n) Geometrische Routenplanung -O (n²) +... Ergebnis des Vergleichs: Die geometrische Routenplanung ist Aufwendiger

46 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0346 Vergleich der Verfahren II Projektrelevante Eigenschaften I Geometrische Routenplanung erfordert einen größere Rechenleistung - Rechenleistung mobiler Endgeräte noch beschränkt Fußgänger wollen wissen welche Straße sie gehen sollen; nicht wie sie entlang der Straßen laufen sollen Die Ausgabe der Routen soll per Video erfolgen, wodurch bereits eine linienhafte Abstraktion des Weges gegeben ist

47 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0347 Vergleich der Verfahren III Projektrelevante Eigenschaften II An Plätzen will der Fußgänger wissen in welche Straße er biegen muss; wie er das macht weiß er vermutlich Die Modellierung von z.B. Straßenübergängen oder Ampel- anlagen ist bei der geometrischen Variante schwieriger

48 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0348 Vergleich der Verfahren IV Graph – basierte Routenplanung: Modellierung von Rolltreppen, Aufzügen etc. durch Kanten Voraussetzungen: Routenplanung in mehreren „Kaufhausebenen“: Zukunftsaussichten: In der Zukunft soll auch die „Kaufhausnavigation“ möglich sein Damenabteilung EG Herrenabteilung UG

49 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/0349 Vergleich der Verfahren V Graph – basierte Routenplanung: Modellierung von Parkplätzen durch Knoten Zukunftsaussichten: In der Zukunft soll auch „park and go“ möglich sein Voraussetzungen: Kombination mehrerer Verkehrsmittel: Auto 3 Fußgänger Auto 3 Fußgänger Parkplatz


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