Graph – basierte Routenplanung versus Geometrische Routenplanung

Graph – basierte Routenplanung versus Geometrische Routenplanung
Fußgängernavigation Graph – basierte Routenplanung versus Geometrische Routenplanung Philipp Zeimetz Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Graph – basierte Routenplanung
Erinnerung und Ausblick Graph – basierte Routenplanung 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Geometrische Routenplanung Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Graphen-basierte Routenplanung
Wir kennen aus der diskreten Mathematik II: Algorithmus von Dijkstra Alle kürzesten Wege von einem Knoten Laufzeit O(e + n log n) (mit fibonacci Heaps) ( n / e = Anzahl der Knoten / Kanten ) Algorithmus von Floyd Kürzesten Wege zwischen allen Paaren von Knoten Kosten O (n³) Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS - 7. Semester - WS 02/03
Unterschiede Was unterscheidet die beiden Verfahren: Graphen-basierte Routenplanung: Ableitung der Topologie aus der Geometrie Repräsentation der Topologie durch Graphen Ableitung eines Graphen aus der Geometrie Der Graph besteht aus nicht negativ gewichtete Kanten Geometrische Routenplanung Keine Abstraktion der Geometrie Repräsentation der Geometrie durch Polygone Geometrie dient als Grundlage der Berechnungen Berechnung und Ausgabe einer Trajektorie Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Motivation Wo liegen die Vorteile der geometrischen Routenplanung? Bewegung wird nicht auf wenige Kanten beschränkt Fußgänger bewegen sich freier als Züge oder Autos! Eine exakte Trajektorie wird berechnet Robotik Schifffahrt Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

geometrische Routenplanung
Vorgehen: Zerlegung des freien Raums Erstellung des Verbindungsgraphen Punktlokalisierung in Landkarten Berechnung der möglichen Wege Verwendung von Trichtern (funnel) Ausgabe einer Wegebeschreibung Liefert eine Koordinaten Liste Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Das Verfahren ist sehr Komplex!
Wir beschränken uns auf folgende Fälle: Wir bewegen uns im zweidimensionalen Die Karte ist uns bekannt Die Karte besteht aus Polygonen Die Position ist uns bekannt Fußgänger haben keine Ausdehnung Existiert eine Verbindung zwischen zwei Hindernissen, so passen Fußgänger auch hindurch Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Die Karte Besteht aus: Einem begehbaren Polygon mit
freier Raum Hindernisse Besteht aus: Einem begehbaren Polygon mit vielen unbegehbaren Löchern (ebenfalls Polygone) Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Zellzerlegung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 freier Raum Hindernisse Zerlegung der Karte in einfache Polygone: Bestimmung von Minima und Maxima der Hindernispolygone Einfügen Horizontaler Kanten Nummerierung der neuen Kacheln Berechnungskosten: O (n) Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Gewinn der Zerlegung I freier Raum Hindernisse 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 es entstehen einfache Polygone der gesuchte Weg verläuft zwischen linker und rechter Begrenzung „Auswüchse“ werden nicht besucht Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Gewinn der Zerlegung II
freier Raum Hindernisse 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 „Höhlen“ werden im Graph zu toten Enden Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Punktelokalisierung freier Raum Hindernisse 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 In welchem Polygon liegen End- und Anfangspunkt? II Durch Zellzerlegung entsteht eine Karte, welche an die Trapezkarte aus GIS III Laufzeit: O (n log n) I Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Verbindungsgraph 9 10 freier Raum Hindernisse 8 6 7 5 4 3 2 1 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Verbindungsgraph Eigenschaften des Verbindungsgraphen: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Jeder Knoten repräsentiert eine Kachel Jede Kante repräsentiert die Verbindung der begrenzenden Kacheln Von jeder Kachel geht mindestens eine Kante und maximal vier Kanten ab Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Laufzeitkosten freier Raum Hindernisse 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Die Laufzeitkosten für: II Zellzerlegung + Verbindungsgraph Punktlokalisierung O (n) + O (n log n) Betragen zusammen: O (n log n) (n ist die Anzahl der Knoten) I Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Suche möglicher Wege 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 freier Raum Hindernisse 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I II Algorithmus: A* Laufzeit: O (n) Nachteil: jeder Kante muss geprüft werden Aber: auch jede Region max. zwei mal Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Trichtern (funnel) Der kürzeste Weg verläuft stets über konvexe Punkte Konvexe Punkte Der Quellpunkt liegt stets auf dem kürzesten Weg Die linke Kette verläuft über konvexe Punkte der linken Begrenzung Rechte Kette Linke Kette Die rechte Kette verläuft über konvexe Punkte der rechten Begrenzung Quellpunkt Die Ketten bewegen sich voneinander weg Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Ein einfaches Beispiel
8 6 4 2 1 freier Raum Hindernisse 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Der kürzeste Weg verläuft stets über konvexe Punkte II Die Ketten bewegen sich voneinander weg Der Winkel zwischen den Ketten ist minimal I Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Geometric Route Planning
1 3 2 4 6 7 8 9 10 5 A* Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Geometric Route Planning
1 3 2 4 6 7 8 9 10 5 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Beschreibung des Weges
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Die Koordinaten aller Knickpunkte werden ausgegeben. Die Streckenlänge berechnet sich nach: Wobei m die Anzahl der Stützpunkte ist Freier Raum Kartenobjekte Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Ein Problemfall ??? n = # Knoten = 16 h = # Löcher = 4 Tiefe des Baums: 2h + 1 = 9 (max) 13 13 11 12 Anzahl Regionen: 3h + 1 = 13 (max) 10 11 12 10 Durchlaufene Regionen: 4h + 1 = 17 (max) 8 9 9 8 7 7 5 6 5 6 # möglicher Wege: 2h = 16 4 4 2 3 Für n = 50 max h = 15 # Wege: 32768 # d. Regionen: 61 2 3 1 1 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Ein Problemfall ??? Anzahl der Sichtbarkeitsüberprüfungen: n² Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Ein Spezialfall Freier Raum Kartenobjekte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Endpunkt und Startpunkt liegen in einem Polygon Problem: Bei komplexen Polygonen ist die Orientierung schwierig II I Lösung: Ergänzung der Zellzerlegung Algorithmus von Lee und Preparata ... weitere Methoden ... Freier Raum Kartenobjekte Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Ergänzung der Zellzerlegung
Freier Raum Kartenobjekte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ergänzung: Einfügen zweier weiterer horizontaler Kanten an Start- und Endpunkt 12 II Beachte: der Verbindungsgraph verändert sich die Nummerierung muss erneuert werden I 11 Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Algorithmus: Lee und Preparata
1. Schritt: Triangulation des beliebigen, lochfreien Polygons Berechnungskosten: O (n) wobei n die Anzahl der Knoten ist Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

2. Schritt: Erstellung eines Graphen zwei Dreiecke sind benachbart, wenn sie gemeinsame Seiten haben Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

3. Schritt: Suche des einzigen Weges Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

4. Schritt: Anwendung der Trichter Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Trichter Algorithmus Die Regeln für die Trichter sind hier etwas anders: die Endpunkte der Ketten müssen keine Konvexe Punkte sein die Ketten verlaufen immer über die nächst möglichen konvexen Punkte  Kriterium der kleinsten Winkel gilt nicht Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

4. Schritt: Anwendung der Trichter Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Laufzeitkosten Kosten für die Suche in einem einfachen Polygon Algorithmus nach Lee und Preparata: O (n) Setz die Polygon-Triangulation voraus: O (n) Kosten für die Suche in einem komplexen Polygon Zellzerlegung + Verbindungsgraph + Punktlokalisierung: O (n log n) Wegsuche mit A*-Algorithmus: O (n) Trichterkonstruktion: O (n²) Gesamtlaufzeitkosten: O(n²) + ... Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Vergleich der Verfahren I
Laufzeitkosten der Algorithmen: Graphbasierte Routenplanung Dijkstra O(e + n log n) Geometrische Routenplanung O (n²) + ... Ergebnis des Vergleichs: Die geometrische Routenplanung ist Aufwendiger Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Vergleich der Verfahren II
Projektrelevante Eigenschaften I Geometrische Routenplanung erfordert einen größere Rechenleistung Rechenleistung mobiler Endgeräte noch beschränkt Fußgänger wollen wissen welche Straße sie gehen sollen; nicht wie sie entlang der Straßen laufen sollen Die Ausgabe der Routen soll per Video erfolgen, wodurch bereits eine linienhafte Abstraktion des Weges gegeben ist Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Vergleich der Verfahren III
Projektrelevante Eigenschaften II An Plätzen will der Fußgänger wissen in welche Straße er biegen muss; wie er das macht weiß er vermutlich Die Modellierung von z.B. Straßenübergängen oder Ampel- anlagen ist bei der geometrischen Variante schwieriger Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Vergleich der Verfahren IV
Zukunftsaussichten: In der Zukunft soll auch die „Kaufhausnavigation“ möglich sein Voraussetzungen: Routenplanung in mehreren „Kaufhausebenen“: Graph – basierte Routenplanung: Modellierung von Rolltreppen, Aufzügen etc. durch Kanten 7 6 5 4 3 2 1 Damenabteilung EG 11 10 12 9 14 8 13 Herrenabteilung UG Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

Vergleich der Verfahren V
Zukunftsaussichten: In der Zukunft soll auch „park and go“ möglich sein Voraussetzungen: Kombination mehrerer Verkehrsmittel: Graph – basierte Routenplanung: Modellierung von Parkplätzen durch Knoten 7 6 5 4 3 2 1 11 10 12 9 8 13 Auto Fußgänger Parkplatz 7 6 5 4 3 2 1 11 10 12 9 8 13 Auto Fußgänger Philipp Zeimetz - Navigation mit GIS Semester - WS 02/03

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