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HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Christian Schindelhauer

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Präsentation zum Thema: "HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Christian Schindelhauer"—  Präsentation transkript:

1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Christian Schindelhauer

2 2 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Zellulare Netze (I) Ursprüngliche Problemstellung: –Starres Frequenzmultiplexing für gegebene Menge von Basisstationen Gegeben: –Positionen der Basisstationen Gesucht: –Frequenzzuteilung, welche die Interferenzen minimiert Wie modelliert man zulässige Frequenzzuteilungen?

3 3 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Voronoi-Diagramme Definition (I) Best-Station-Problem nur unter Berücksichtung von Path Loss führt zu Voronoi-Diagrammen Abstandsmaß: –Euklidischer Abstand –= L 2 -Norm –p=(p 1,p 2 ), q=(q 1,q 2 )  R 2 Bisektor B(p,q)

4 4 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Voronoi-Diagramme Definition (II) Bisektor Zerlegt Ebene in Halbebenen D(p,q) und D(q,p) Für gegebene Punktmenge V definiere Voronoi-Region VR(p,V) eines Punkts v  V:

5 5 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Voronoi-Diagramme Definition (III) Voronoi-Region VR(p,V) Voronoi-Diagramm VD(V) Alle Voronoi-Regionen sind konvex –Beweis: Übung Voronoi-Diagramme bestehen aus Strecken, Halbgeraden und Punkten

6 6 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Voronoi-Diagramme Struktur Voronoi-Diagramme bestehen aus Strecken, Halbgeraden und Punkten –Betrachte benachbarte Voronoi-Regionen VR(p,V) und VR(q,V) –Dann muß jeder Punkt des gemeinsamen Rands im Bisektor B(p,q) liegen, weil Jede Voronoi-Region ist konvex + Randstücke bestehen aus endlich vielen Geradenstücken  Voronoi-Diagramm ist ein geometrischer Graph

7 7 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Geometrischer Graph Geometrische Realisierung eines ungerichteten Graphen in R 2 Knoten werden auf Punkte abgebildet Kanten werden auf einfache Wege abgebildet Keine Überschneidung zwischen verschiedenen einfachen Wegen –Planarer Graph Zusammenhangskomponente –Maximaler Teilgraph indem jeder Knoten einen Weg zu jedem anderen Knoten besitzt

8 8 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Kreis-Lemma Beweis: Übung…

9 9 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Konvexe Hülle Voronoi-Diagramme stehen in enger Beziehung zur konvexen Hülle CH(V) einer Punktmenge V

10 10 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Eulersche Formel

11 11 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Größe des Voronoi- Diagramms

12 12 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Zeitkomplexität I (untere Schranke) In welcher Zeit kann man das Voronoi-Diagramm berechnen? –Trivial O(n 2 ) Kann man es in Linearzeit berechnen? Zum Vergleich:

13 13 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Zeitkomplexität II (untere Schranke) Wenn man verlangt, dass der Algorithmus eine Adjazenzliste ausgibt

14 14 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Effiziente DS für Geom. Graphen (Zwischenspiel) Adjazenzliste –Für jeden Knoten, Liste benachbarter Knoten Doubly Connected Edge List (DCEL) –Für jede Kante Adjazente Knoten Nächste Kante im Uhrzeigersinn an den Endknoten Benachbarte Fläche Quad Edge Data Structure (QEDS) –Wie DCEL nur ergänzt durch Kanten gegen den Uhrzeigersinn

15 15 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Zeitkomplexität III (untere Schranke) Wenn QEDS-DS von VD(V) gegeben ist

16 16 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Duale Graphen

17 17 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Delaunay-Triangulation I Endliche Punktmenge V in allgemeiner Lage: –Keine drei Punkte sind auf einer Gerade –Keine vier Punkte auf einem Kreisbogen –Erhält man indem man jeden Punkt um einen infinitesimal kleinen Vektor in zufällige Richtung verschiebt Delaunay-Triangulation –Gegeben Menge V und Voronoi-Diagramm VD(V) –Falls für p,q  V die Regionen VR(p,V) und VR(q,V) als Rand eine Strecke besitzen, füge (p,q) zur Delaunay-Triangulation

18 18 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Delaunay-Triangulation II Da V in allgemeiner Lage, d.h. Keine vier Punkte auf einem Kreisbogen Kein Voronoi-Punkt hat mehr als drei Kanten (wegen Kreislemma) Damit hat jeder Fläche des Dualen Graphen nur drei benachbarte Kanten  Delaunay-Triangulation besteht nur aus Dreiecken

19 19 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Sweep-Technik (I) Betrachte Bisektor zwischen Punkt (a,0) und Linie y=0 Ergibt Parabel mit –x 2 + (y-a) 2 = y 2 –y = x 2 / (2a) + a/2 Nun bewegt sich die Sweep- Line von Punkt (a,0) weg

20 20 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Sweep-Technik (II) Mehrere Punkte –Nur vordere Wellenfront ist von Interesse –Unterteilung der Wellenfront in Parabelstücke Ereignisse 1.Entstehen eines Parabelstücks –Nur wenn die Wellenfront einen Punkt streift 2.Verschwinden eines Parabelstücks –Dadurch entsteht Voronoi- Punkt

21 21 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Sweep-Technik (III) Schnittpunkte der Wellenfront fahren das Voronoi-Diagramm ab Treffen sich zwei Parabeln an der Wellenfront, verschwindet ein Parabelstück Nur benachbarte Spikes kommen als nächster Treffpunkt in Frage Die Anzahl der Parabelstücke in der Frontlinie ist linear

22 22 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Die Wellenfront Sei H Halbebene über parallel abwärts bewegender Gerade L inklusive L W = { x  H |  p  V  H : |x,p| = min u  L |x,L| } Alle Punkte über B haben nächsten Nachbarn in B Alle Punkte zwischen B und L können nächsten Nachbarn sowohl in V  H oder V \ H haben Die Parabel ist y-monoton, d.h. jede senkrechte Gerade schneidet B höchstens in einem Punkt Die Schnittpunkte von Parabeln heißen Bruchpunkte –Fakt: Ein Punkt p ist ein Bruchpunkt gdw. p  VD(V)

23 23 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Ereignis A: Einfügen neuer Parabel Sweep-Linie trifft auf Punkt p  V Parabel beginnt als Halbgerade –Halbiert bestehendes Parabelstück (falls Sweep-Linie in allgemeiner Position) –Da keine ander Operation Parabeln erzeugt, höchstens 2n-1 Parabelstücke Die beiden Schnittpunkte mit der alten Wellenfront definieren eine beginnende Voronoi-Kante –Die Verlängerung der Kante über die Wellenfront hinaus, wird Spike genannt –Die Schnittpunkte der Parabeln bewegen sich auf diesen Spikes bis sie einen Voronoi-Punkt treffen –Treffpunkte möglicher Spikes zeigen mögliche Voronoi-Punkte an

24 24 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Ereignis B: Löschen einer Parabel Bewegung der Sweep-Linie läßt Bruchpunkte aufeinanderlaufen –Parabel zwischen Bruchpunkten verschwindet –Voronoi-Region der verschwundenen nun hinter Sweep-Linie –Da Region konvex ist dies Voronoi-Region abgearbeitet Der Treffpunkt der Bruchpunkte muß ein “bekannter” Spike sein Berechne frühesten “Zeitpunkt”, an dem die Sweep-Linie eine Parabel löscht –Hierfür müssen nur benachbarte Parabelstücke berücksichtigt werden –Nach Löschen, aktualisiere mögliche Treffpunkte

25 25 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Notwendige Datenstrukturen Bisher konstruiertes Voronoi-Diagramm –Speicherung als QEDS –Technische Schwierigkeit: Unbeschränkte Kanten Verwende “bounding box” Wellenfront –Wörterbuch mit Punkten aus V die relevante Parabeln beschreiben sortiert nach x-Koordinaten Jede Suche, Einfüge-Operation in Zeit O(log n) Ereignis-Warteschlange als Priority-Queue –Priorität ergibt sich durch y-Koordinate der Sweep-Linie L –Aktualisiere Warteschlange bei jedem Ereignis

26 26 Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IV Ereignis-Warteschlange Priorität ergibt sich durch y-Koordinate der Sweep-Linie L A.Erzeugen Parabel: –Priorität = y-Koordinate der Punkte aus V B.Löschen Parabel: –Priorität = y-Koordinate der Sweep-Linie, die den Kreis mit Mittelpunkt des Spike-Schnittpunkts s und Radius |s,u| von unten berührt, wobei u beteiligter Knoten eines Spikes ist. Aktualisiere Warteschlange bei jedem Ereignis Zeitaufwand O(log n) (amortisiert) für –Einfügen in Warteschlange –Löschen eines Elements der Warteschlange


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