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HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 1 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer.

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1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 1 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Vorlesung Sommersemester 2002 Algorithmische Grundlagen des Internets (IX) Christian Schindelhauer HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik AG Meyer auf der Heide

2 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 2 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Vereinfachter PageRank-Algorithmus oVereinfachter PageRank-Algorithmus Rank einer Web-Seite R(u) [0,1] Wichtige Seiten vererben ihr Gewicht (gleichmäßig unter ihren Nachfolgern) c ist Normalisierungsfaktor, so dass ||R(u)|| 1 =1 Vorgängermenge B u Nachfolgermenge F u

3 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 3 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Vereinfachter PageRank Beispiel

4 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 4 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Vereinfachter PageRank-Algorithmus oKonvergiert der vereinfachte PageRank-Algorithmus? oWieviele Lösungen gibt es? oWie sinnvoll sind diese?

5 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 5 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Matrixdarstellung R c M R, wobei R Vektor (R(1),R(2),… R(n)) und M folgende n n – Matrix ist:

6 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 6 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Eigenvektor als Fixpunkt der Rekursion Stochastische Matrix oFür Vektor R, n n-Matrix und Zahl c: Wenn M R = c R, ist R Eigenvektor und c Eigenwert oJede n n-Matrix M hat höchstens n Eigenwerte oBeobachtung: Stochastische Matrizen beschreiben Markov- Prozesse über den Zustandsraum {1,..,n} Prob[i j] = M ij

7 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 7 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Eigenvektor als Fixpunkt der Rekursion Stochastische Matrix oDie L1-Norm eines Vektors ist gegeben als Eigenwerte von M | i | 1

8 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 8 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Periodizität Beispiel 1

9 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 9 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Periodizität Beispiel 2

10 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 10 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Notwendige Bedingung für Periodizität

11 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 11 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Notwendige Bedingung für Periodizität

12 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 12 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Notwendige Bedingung für Periodizität

13 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 13 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Hinreichende Bedingung für Konvergenz

14 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 14 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Notwendige Bedingung für Periodizität

15 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 15 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Notwendige Bedingung für Periodizität

16 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 16 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Hinreichende Bedingung für Konvergenz

17 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 17 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Hinreichende Bedingung für Konvergenz

18 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 18 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Nachteile des vereinfachten PageRank- Algorithmus oWeb-Graph hat Senken, d.h. Seiten ohne Links M ist keine stochastische Matrix oWeb-Graph ist periodisch Konvergenz unmöglich oWeb-Graph ist nicht stark zusammenhängend Verschiedene Konvergenzvektoren möglich oRang-Senken: Sarke Zusammenhangskompenenten ohne ausgehenden Kangen saugen Gewicht der Vorgänger auf

19 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 19 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Lösung durch PageRank oProzess startet mit zufälliger Seite oJede Senke erhält Links auf jede Seite in V oNur mit Wahrscheinlichkeit q < 1 wird vereinfachter PageRank durchgeführt Ansonsten starte mit zufälliger Startseite oM ist stochastisch!

20 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 20 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer PageRank-Algorithmus oGraph der Matrix besteht aus einer starken Zus.- komponente oRundwege der Länge 1 existieren PageRank konvergiert gegen den eindeutigen Eigenvektor mit Eigenwert 1

21 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 21 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Kleinbergs HITS-Algoirhtmus (HyperText Induced Search) oAnwendung: Textuelle Suche führt zu großen Anzahl von Treffern, z.B. Suche nach windows Gewünschte Seite enthält nicht Suchwort z.B. enthält weder Sportwagen noch Auto Suche nach allgemeinen Begriffen oIdee des Algorithmus Autorität/Relevanz einer Web-Seite wird durch Links auf Hinweisseiten (hubs) bezeugt z.B. Eisenbahnfans sammeln Links von Eisenbahngesellschaften Autoritäten weisen auf die Qualität von Hinweisseiten hin Ähnlicher Mechanismus wie PageRank-Algorithmus

22 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 22 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Basismengenauswahl oIdeal: S ist relativ klein S enthält viele relevante Web-Seiten S enthält die meisten (oder viele) der wichtigsten Autoritäten oKnotenheuristik Erweitere um Nachfolger da Hinweisseiten in R auf diese zeigen Erweitere um max. d Vorgänger um ausreichende Anzahl von Hinweisseiten zu erhalten

23 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 23 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Kantenmengenheuristik oNeben Knoten werden Kanten eingeschränkt: oKantenmengenheuristik Lösche interne Links (innerhalb der selben Domain) wegen Navigationslinks wegen Links auf Autor Erlaube maximal m ( 4-8) Links aus gleicher Domain auf eine Seite wegen Werbelinks wegen Links auf Softwaretool

24 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 24 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Gegenseitige Verstärkung oGewichtung für Autorität einer Seite i: x i oGewichtung für Hinweiseigenschaft einer Seite i: y i oAutorität/Relevanz einer Web-Seite wird durch Links auf Hinweisseiten (hubs) bezeugt oAutoritäten weisen auf die Qualität von Hinweisseiten hin c1, c2 normieren x und y bezüglich der L2-Norm:

25 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 25 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Der HITS-Algorithmus

26 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 26 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Matrixdarstellung oAus Adjazenzmatrix: oAutoritäten: oHinweisseiten: oNach t Iterationen: oD.h.

27 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik 27 Algorithm. Grundlagen des Internets 24. Juni 2002 Christian Schindelhauer Matrixdarstellung oM = A A T ist symmetrische Matrix oFür symmetrische Matrizen sind alle n Eigenwerte reell sind die n Eigenvektoren orthogonal oEs existiert die Darstellung owobei für die Spaltenvektoren S i gilt oFalls größter Eigenwert 1 > 2 konvergiert der HITS-Algorithmus folgt aus Übungsaufgabe 20


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