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Praxis der Lebensversicherungs- mathematik TU Kaiserslautern, SS 2012 von Dr. Hans-Otto Herr 1.

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1 Praxis der Lebensversicherungs- mathematik TU Kaiserslautern, SS 2012 von Dr. Hans-Otto Herr 1

2 Praxis der Lebensversicherungmathematik TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Über mich  56 Jahre alt  Mathematikstudium in Mainz  Diplom 1983, Promotion 1988  Wissenschaftlicher Mitarbeiter der Uni Mainz von 1984 bis 1988  Ab 1988 Mitarbeiter der DBV  Leiter der Produktentwicklung Leben/Rente  Verantwortlicher Aktuar der winsecura Pensionskasse  Zuletzt Abteilungsdirektor  Zum mein Arbeitsverhältnis beim AXA-Konzern beendet  1999 erster Gaußpreisträger (damals Jahrespreis der DGVM) zusammen mit Markus Kreer 2

3 Idee zu dieser Vorlesung Die Theorie zur Versicherungsmathematik ist schon lange besser und fortschrittlicher als die Wirklich-keit in der weitaus meisten LVU Diese verwenden noch Methoden, die tlw aus dem Beginn des vorigen Jahrhundert sind. Trotzdem scheinen diese auch für die heutige Zeit robust genug zu sein, wenn man genügend vorsichtig ist. Ziel der Veranstaltung ist, Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, was Sie als Versicherungstechnik in der Wirklichkeit nach Ende des Studiums erw. Und Sie sollten damit umgehen können Praxis der Lebensversicherungmathematik 3 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

4 Ideen zu den Übungen Die üblichen Rechenbeispiele Dabei an DAV-Sterbetafeln orientieren, soweit einfach zugänglich Schrittweiser Aufbau eines EXCEL-Modells, das Beitrags-, Deckungskapital- und Überschussberechnung für eine oder zwei Versicherungsformen (z.B. Kapitalbildende LV und/oder Rentenversicherung) liefert Damit könnten auch Effekte bei Parameteränderungen studiert werden Praxis der Lebensversicherungmathematik 4 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

5 Praxis der Lebensversicherungmathematik 5 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Unser Fahrplan oder: was Sie nach dem Sommersemester wissen sollten 11.Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik 12.Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsmathematik 13.Gesetzlicher Rahmen 14.Grundlegende Versicherungsformen 5

6 21.Biometrische Rechnungsgrundlagen 22.Erlebensfall/Todesfallcharakter 23.Erstellung von Rechnungsgrundlagen 31.Kommutationswerte 32.Rentenbarwerte 33.Leistungsbarwerte 34.Weitere Rechnungsrundlagen 35.Äquivalenzprinzip Praxis der Lebensversicherungmathematik 6 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

7 41.Deckungskapital 42.Retrospektive vs. prospektive Deckungsrückstellung 43.Zillmerung 51.Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung 52.Grundsätze der Gewinnzerlegung 61.Überschussbeteiligung (grundsätzlich) 62.Überschussermittlung 63.Beteiligung der Versicherungsnehmer Praxis der Lebensversicherungmathematik 7 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

8 Praxis der Lebensversicherungmathematik 8 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr 71.Vertragsänderungen 72.Kündigung 73.Beitragsfreistellung 81.Weitere Vertragsänderungen 82.Erhöhungen, Herabsetzungen 91.Was gibt es noch / Was fehlt? 92.Ein paar Worte zur Rechnungslegung 93.Profitabilität 100.Was ist noch unklar? 101.Round up / Ihre Kritik

9 Literatur (eine Auswahl) ◦Grimmer/Führer, Einführung in die LebensversicherungsmathematikVVW 2006 ◦Isenbart/Münzer, Lebensversicherungsmathe- matik für Praxis und Studium, Gabler, 3. A. (?) ◦Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer ◦Koller, Stochastische Modelle in der Lebens- versicherung, Springer Praxis der Lebensversicherungmathematik 9 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

10 11.Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik Rechnungszins „i“ Begriff „Barwert“ „Rentenbarwert“ 12.Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsma- thematik Feste Buchstaben für gewisse Größen x, y stets Álter eines/r Mannes/Frau ä, a Rentenbarwert vor- /nachschüssig A Leistungsbarwert Praxis der Lebensversicherungmathematik 10 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

11 Praxis der Lebensversicherungmathematik 11 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

12 13.Gesetzlicher Rahmen Gesetze VAG (Versicherungs- aufsichtsGesetz VVG (VVertragsGesetz) Dazu z.B. Rechtsverordnungen DeckRV HGB 14. Grundlegende Ver-sicherungsform en Personenversicherung KV (PK, PF) LV und RV ◦ RisikoV ◦ Kapitalbildende LV ◦ RV aufgeschoben ◦ RV sofort beginnend ◦ Dazu BU/EU + … + Exoten wie Aussteuer Praxis der Lebensversicherungmathematik 12 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

13 Allgemeine Struktur eines Vers.Vetrags 1 Haupversicherung + zzgl Zusatzversicherungen Beitragszahlweisen: normalerweise 1/1- jährliche Kalkulation ◦ Mögliche Zwen:  EB, 1/1, ½, ¼, 1/12  Evtl. abgekürzt Optionen ◦ Bfreistellung, Rückkauf ◦ + evtl. weitere Andere Versicherungsformen ◦ Fondsgebundene, AILV ◦ Hinterbliebene ◦ Kapitalisation Verantwortlicher Aktuar ◦ §12a VAG ◦ Dauerhafte Erfüllbarkeit der Verpflichtungedn ◦ Testat DeckR in Bilanz ◦ Erläuterungsbericht, ◦ Vorschlag Übbeteiligung Praxis der Lebensversicherungmathematik13 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

14 21.Biometrische Rechnungsgrundlagen Wichtigster Parameter –neben i - der Beitragskalkulation und Reservestellung Beschreibung der Ausscheideordnung Einfache Version: Periodentafeln Für x=0 bis  q x = Wkeit eines x-Jährigen vor Vollendung des x+1-ten Lebensj. zu sterben Praxis der Lebensversicherungmathematik14 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Leben de Tote Ausscheideord nung Sterbetafel Invalide Lebende Anwärter Tote Aktiven-Sterbetafel Reaktivierte Invaliditäts-Wahr scheinlk. Reak- tivie- rungs Wkeit Invali -den- Sterb- lichk.

15  Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung = die, mit denen kalkuliert wird 2. Ordnung =tatsächlich beobachtete Probleme ◦Gesundheitsprüfung, listenmäßige Annahme ◦Versicherten-/ Arbeitnehmerkollektive ◦Extreme Situationen „preferrred lives“ ◦Medizinischer Fortschritt Praxis der Lebensversicherungmathematik15 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Außer Sterbewkeit noch wichtig: Weitere Ausscheideord- nungen Invalidisierungswk Erwerbsunfähigkeit … Wkeit im Zeitpunkt des Todes verheiratet Wkeit im Alter x zu heiraten

16 Hinweis Hiermit erhalten Sie das zweite Päckchen der Folien zu dieser Veranstaltung. Bitte beachten Sie, dass diese nicht alles Relevante enthalten. Wichtig sind vor allem auch die Übungen ◦Hier wird auch nur hier vorkommender Stoff behandelt das gesprochene Wort in der Vorlesung, sowie alles, was an der Tafel steht Praxis der Lebensversicherungmathematik16 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

17 22. Erlebensfall/Todesf allcharakter Todesfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verteuerung des Versicherungsprodukts/ Erhöhung der Verpflichtung; Bsp. Risikoversicherung Erlebensfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verbilligung…Reduktion; z.B.: Rentenversicherg Thema Unisex  Übungen 23. Erstellung von Sterbetafeln Schritt 1: Ermittlung der rohen Sterbewk. Ausgleichen Schritt 2: Zu/Abschläge für Irrtum, Schwankg, Selektion Praxis der Lebensversicherungmathematik17 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

18 Schritt 3: ◦Vom Geburtsjahr abhängige Zuschläge für den Trend bei der Sterblichkeit für Versicherungen mit Erlebensfallchar., vor allem Renten ◦Bei Todesfallchar evtl Raucher/ Nichtraucher unterschieden Jetzt hat das Warten ein Ende und es gibt Formeln Aber vorher noch ein paar Worte zum Rechnungszins i ◦Festgelegt in Deckrv ist nur der HöchstRz für die Reservierung ◦Fragwürdiger Formalismus (60% der Durchschnitts-Rendite öffentlicher Anleihen…) Praxis der Lebensversicherungmathematik18 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

19 Wir wiederholen nochmals die festen Bezeichnungen für Parameter: x/y Alter Mann/Frau n Dauer, Vers.dauer t Dauer, BZD m abgel. Dauer s Dauer, Aufschub- zeit i Rechnungszins v = 1/(1+i) d = i/(1+i) = 1 - v Praxis der Lebensversicherungmathematik19 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

20 GRUNDSATZ der Kalkulation Praxis der Lebensversicherungmathematik20 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Es wird immer deter- ministisch nie stocha- stisch gerechnet. Um trotzdem brauch- bare Ergebnisse zu erzielen, ist beson- dere Vorsicht (Zu- schläge) notwendig Es wird immer deter- ministisch nie stocha- stisch gerechnet. Um trotzdem brauch- bare Ergebnisse zu erzielen, ist beson- dere Vorsicht (Zu- schläge) notwendig

21 31. Kommutationswerte Formaler Kalkül, der mit wenig Tabellen alle wesentlichen Größen der Kalkulation mit geringem Aufwand errechnen lässt Die Grundregeln für reservierte Bezeichnungen: ◦ Barwerte für ◦ Aeinmalige Todesfallleistung ◦ Eeinmalige Erlebensfallleistung ◦ awiederkehrende Erlebensfallleistung dabei a=nachschüssig und ä=vorschüssig ◦ Index rechts unten: grundlegendes Alter (x oder y oder xy) ◦ Rechts daneben unter Winkel: Dauer (n oder t)) Praxis der Lebensversicherungmathematik21 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

22 Die Grundregeln (Fortsetzung) ◦ Rechts oben: von jährlicher Zahlweise ab- weichende Zahlweise ◦ Links unten weitere Zeitparameter, dabei wichtig „Aufschubzeit“ mit senkrechtem Strich rechts daneben: „ n| “ ◦A◦A ◦a◦a ◦ä◦ä ◦ ◦ Praxis der Lebensversicherungmathematik22 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

23 Dritte Folge. Was bisher geschah: Das letzte Mal reservierte Schreibweisen behandelt. Dazu Korrektur. Für Leistungsbarwert einer RisikoLV ist gebräuchlicher: (statt ) In Übungen durchschnittliche Lebenserwartung behandelt, hier kurzer Abriss an geeigneter Stelle. Dazu werden auch Tafeln zum Download zur Verfügung gestellt. Praxis der Lebensversicherungmathematik23 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

24 Berechnung eines Rentenbarwertes: ◦Wir erinnern uns [mit v = 1/(1+i)] ◦Jetzt mit Biometrie. Dazu ist zusätzlich gegeben für x=0,…,ω: q x (1 jährige Sterblk) ◦Daraus (1 jährige Überlebenswahrscheinlichkeit) ◦Weiterhin nützlich ◦ Praxis der Lebensversicherungmathematik24 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

25 Damit Die lebenslängliche Variante wäre bei q x =0 ohne Biometrie Praxis der Lebensversicherungmathematik25 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

26 Und da für gilt, wenn |v| < 1 ä= 1/(1-v) =1/d Wenn wir nun an interessiert sind, können wir genauso rechnen und haben keine Probleme mit dem Limes, da somit Praxis der Lebensversicherungmathematik26 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

27 Die klassische Versicherungsmathematik berechnet (mit dem gleichen Ergebnis) anders: Berechne zu normiertem Startwert: die Lebenden (Anmerkung l x+k /l x = k p x ) Zwischenbemerk: ◦Mittl zuk.Leb.erwartg = Praxis der Lebensversicherungmathematik27 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

28 Praxis der Lebensversicherungmathematik28 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

29 Praxis der Lebensversicherungmathematik29 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

30 Hieraus die diskontierten Lebenden und Toten, D und C Hieraus die Summen N und M der D und C Sowie für einige exotischen Versicherungen die Summen T, S der Summen Praxis der Lebensversicherungmathematik30 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

31 32. Rentenbarwerte Dann ist Und So ergibt sich Praxis der Lebensversicherungmathematik31 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

32 Spezialfall x+n = , dann D x+n = 0, damit ä x – a x = 1 – 0 = 1 was aber auch mit bloßem Auge zu erkennen ist Bemerkung: diese Herleitung nutzt die Überlebenden (l x ) des Alters x. Genau so hätte man dies auch über die Toten (d x ) tun können vielleicht eine Spur umständlicher. Es gilt Praxis der Lebensversicherungmathematik32 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

33 Rekursionsbeziehungen Oder anders herum Praxis der Lebensversicherungmathematik33 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

34 Unterjährige Beitragszahlung (Zwe) ◦M◦Man kalkuliert meist mit jährlichen Werten ◦F◦Für die Prämie (Beitrag) wird bei unterjähriger Zahlweise meist ein Zuschlag verwendet. ◦D◦Dieser muss (neuerdings) belegt werden. ◦Ü◦Üblich für den Zahlungsweisezuschlag sind Werte wie: Praxis der Lebensversicherungmathematik34 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Zahlungs -weise Zuschlag bei Normal- geschäft Zuschlag bei Groß- geschäft 1/ 22.0%1.0% 1/43.0%2.0% 1/125.0%2.5%

35 Unterjährige Rentenzahlung (Fortsetzung) ◦D◦Davon zu unterscheiden die Modifikation eines (natürlich zunächst für jährliche Zahlungs- weise) gegebenen Rentenbarwertes. Problem: Einfache und auch weit verbreitete Lösung: verwende als Korrektur Abzug in Höhe von (k-1)/2k (vorsch) bzw. (k+1)/2k (nachsch.) also z.B. Praxis der Lebensversicherungmathematik35 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

36 33. Leistungsbarwerte Risikoversicherungen AA  IAsiehe Übungen  DA Kapitalbildende („ gemischte “) Versicherung  Asiehe Übungen  Termfix-Versichertung Rentenverscherung  Aufgeschobensiehe Übungen  Sofort beginnend  Mit Garantiezeit  Mit Beitragsrückgewähr im Todesfall Praxis der Lebensversicherungmathematik36 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

37 Einige wichtige Leistungsbarwe rte (siehe auch Übungen) Praxis der Lebensversicherungmathematik37 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

38 Weitere wichtige LBW Praxis der Lebensversicherungmathematik38 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

39 Dieses war der dritte Streich: ◦Leistungsbarwerte und ◦Rentenbarwerte ◦Einfach mit Hilfe von ◦Kommutationswerten ◦Darstellen. ◦Mit kommutationswerten spielen und umgehen können. … doch der vierte kommt sogleich ◦Damit sind wir in der Lage tatsächlich relevante Beiträge auszurechnen Praxis der Lebensversicherungmathematik39 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

40 Was wir jetzt schon könnten, ist die Nettoprämie NP für einen Versicherungsvertrag zu bestimmen NP ist eine an sich für den Kunden irrelevante Größe, da sie z.B. keine Kosten berücksichtigt. Sie spielt aber bei der Rechnungslegung (z.B. bei der Zerlegung von Beiträgen und Gewinnquellen) eine wichtige Rolle NP = (Leistungsbarwert) / ä xt Praxis der Lebensversicherungmathematik40 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

41 34. Weitere Kosten, Kosten der Verwaltung, des Abschlusses,… Abschlusskosten   z Zillmersatz, in %o Bsumme, also t*B*  z   g lfd AK während bpfl Zeit in %B oder %oVS entweder zur Darstellung von lfd Provision oder Amortisationskosten Praxis der Lebensversicherungmathematik41 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

42 Verwaltungskosten   in % B„Inkassokosten“   in %o Vers.Summe während bpf Zeit   in %o Vers.Summe während bfr Zeit ◦Dabei Unterschied, ob planmäßig oder außerplanmäßig bfr   in % Rente während Rentenbezug Weitere Zuschläge  StkStückkosten in € pro Police  Bspsweise in % LBW Praxis der Lebensversicherungmathematik42 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

43 Damit kann nunmehr auch der Barwert der Kosten eines Vers.Vertrages ermittelt werden. Schließlich muss noch der Barwert der Beiträge berechnet werden. Wie heißt die nahezu triviale Überlegung, die uns die Berechnung des Bruttobeitrages ermöglicht? Praxis der Lebensversicherungmathematik43 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

44 35. Äquivalenzprinzip Barwert der Leistungen = Barwert der Beiträge ◦oder auch genauer Barwert der rechnungsmäßigen Leistungen = Barwert der rechnungsmäßigen Gegenleistungen Praxis der Lebensversicherungmathematik44 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

45 Also hier ein allgemeines Beispiel Nach einer kleinen Rechnung ergibt sich: Praxis der Lebensversicherungmathematik45 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

46 Beispiele an der Tafel Praxis der Lebensversicherungmathematik46 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

47 Weitere Punkte Netto-Prämie (Netto-Beitrag) Ausreichende Prämie (Brutto-Beitrag) Zillmer-Prämie Spar-Prämie Eintrittsalter Beitragsberechnung Praxis der Lebensversicherungmathematik47 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

48 41. Deckungskapital Bei Versicherungsformen, die zum Schluss größere Geldbeträge zur Verfügung stellen (gem KapitalV aber auch Rentenversicherungen zum Ende der Aufschubteit) ist ein Ansparkonto einsichtig Aber auch sonst wird ein Ausgleich benötigt, wie folgendes Beispiel (Tafel) zeigt: Praxis der Lebensversicherungmathematik48 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

49 Beispiele an der Tafel Prämienreserve  Deckungsrückstellung  Deckungskapital Ausgleich Rechnungsgrundlagen Ansparvorgang  Kontoführung Beitragsfreie Zeiten Praxis der Lebensversicherungmathematik49 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

50 Beispiele Gemischte Kapitalversicherung Todesfallleistung  > Riskiertes Kaptal Achtung : Verzinsung & Ver-qx-ung der Risikobeiträge Praxis der Lebensversicherungmathematik50 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

51 Praxis der Lebensversicherungmathematik51 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

52 Achtung!! Ansparvorgang unterschiedlich bei Rente in Aufschubzeit  -> Gem Kap Rente vererbt (negatives Risiko) Kapitalversicherung kostet (normales Risiko) Nächstes Beisp: Risikoversicherung mit konstanter Versicherungssumme Praxis der Lebensversicherungmathematik52 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

53 Praxis der Lebensversicherungmathematik53 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

54 Risikoversicherung lebenslang = Gemischte Kapitalversicherung mit Endalter ω Nächste Beispiel: Fallende Risikoversicherung Bisher alle Dken weitgehend positiv. Praxis der Lebensversicherungmathematik54 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

55 Was aber ist das? Praxis der Lebensversicherungmathematik55 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

56 Wie kommt sowas? DK steuert den Risiko-Ausgleich während der Versicherungsdauer. Wenn das benötigte Geld für die zukünftige Tragung des Risikos fällt, geht das DK unter Null Es gibt auch das Beispiel Praxis der Lebensversicherungmathematik56 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

57 Praxis der Lebensversicherungmathematik57 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

58 Ist das schlimm? Ja, wg Storni Darum bedingungsmä0ig abfangen! Bisher immer DK vom Anfang her fortgeschrieben (retrospektiv) Es geht auch anders herum (prospektiv) Prospektiv: Praxis der Lebensversicherungmathematik58 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

59 42.Retrospektive vs. prospektive Deckungsrückstellung Handelsgesetzbuch 3. Buch - Handelsbücher (§§ e) 4. Abschnitt - Ergänzende Vorschriften für Unternehmen bestimmter Geschäftszweige (§§ p) ◦1. … ◦2. Unterabschnitt - Ergänzende Vorschriften für Versicherungsunternehmen und Pensionsfonds (§§ p)341341p Praxis der Lebensversicherungmathematik59 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

60 4. Titel - Versicherungstechnische Rückstellungen (§§ 341e - 341h)341e341h § 341f Deckungsrückstellung (1) Deckungsrückstellungen sind für die Verpflichtungen aus dem Lebensversicherungs- und dem nach Art der Lebensversicherung betriebenen Versicherungsgeschäft in Höhe ihres versicherungsmathematisch errechneten Wertes einschließlich bereits zugeteilter Überschußanteile mit Ausnahme der verzinslich angesammelten Überschußanteile und… Praxis der Lebensversicherungmathematik60 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

61 … nach Abzug des versicherungsmathe-matisch ermittelten Barwerts der künftigen Beiträge zu bilden (prospektive Methode). Ist eine Ermittlung des Wertes der künftigen Verpflichtungen und der künftigen Beiträge nicht möglich, hat die Berechnung auf Grund der aufgezinsten Einnahmen und Ausgaben der voran-gegangenen Geschäftsjahre zu erfolgen (retrospektive Methode). Praxis der Lebensversicherungmathematik61 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

62 (2) Bei der Bildung der Deckungsrückstellung sind auch gegenüber den Versicherten eingegangene Zinssatzverpflichtungen zu berücksichtigen, sofern die derzeitigen oder zu erwartenden Erträge der Vermögenswerte des Unternehmens für die Deckung dieser Verpflichtungen nicht ausreicht Praxis der Lebensversicherungmathematik62 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

63 Aber es gilt das erweiterte Äquivalenzprinzip Wenn das Deckungskapital einer Versicherung prospektiv berechnet werden kann, so ist dieses identisch mit dem retrospektiven Deckungskapital Praxis der Lebensversicherungmathematik63 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

64 Bezeichnung: mVx Dabei m = abgelaufene Dauer (Jahre) x = ursprüngliches Alter (Eintrittsalter) Genau genommen ist mVx der Wert zum Zeitpunkt „1 Sekunde“ vor Beitragszahlung Also für NettoDK stets oVx= 0 Praxis der Lebensversicherungmathematik64 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

65 Bisher eigentlich nur NettoDK betrachtet, aber es gibt auch ein KostenDK. Zunächst: beta und gamma STK werden während der bpfl Zeit direkt verbraucht bleibt gamma während beitrfr. Zeit („gamma2“) Praxis der Lebensversicherungmathematik65 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

66 43.Zillmerung Für Versicherungsverträge gibt es ein besonderes Verfahren zur Verrechnung von Abschlusskosten Die sog. Zillmerung. Nach Dr. August Zillmer (*1831, ) Die Zillmerung hat zum großen Erfolg der Lebensversicherung in Deutschland wesentlich beigetragen Praxis der Lebensversicherungmathematik66 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

67 Die Idee:  Die Kosten, die direkt bei Abschluss des Versicherungsvertrages entstehen, werden dem Kunden direkt in Rechnung gestellt (Dadurch hohe Abschlussprovisionen an Vermittler möglich).  Der höchstmögliche Zillmersatz (=> Obergrenze für negativen Wert per Vertragsbeginn) ist 40%o der Beitrags-Summe (t*B*40%o) Praxis der Lebensversicherungmathematik67 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

68 In der Bilanz können für die negativen Werte nicht saldiert werden (auf 0 hochgesetzt). Aber sie werden als „noch nicht fällige Forderungen an VN“ aktiviert. Praxis der Lebensversicherungmathematik68 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

69 Man hat also zu tilgen während Beitragspflicht Zillmerbetrag/ä x,t Dabei i.a. Zillmerbetrag = Zillmersatz*t*B Also ist das gezillmerte DK Praxis der Lebensversicherungmathematik69 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

70 Beispiele Praxis der Lebensversicherungmathematik70 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

71 Beispiel Praxis der Lebensversicherungmathematik71 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Tafelwahl1 äxt12, n15x=50 Sex2 äxn12, alpha-z=0,04000B= 3.383,80 € i1,75% d=0,017199beta=0,03000NP= 3.024,55 € x+n65 v=0,982801gamma-1=0,00200PZ= 157,73 € x+t65gamma-2=0,00125Kosten direkt 201,51 € RentenZW12VS=50.000KostResBfr= - € LBWeNettoDKausr DKZillmerDKGesDK x+mv^xäxtäxnAxngem Kap 490, ,610 0, € 500, ,872 0, € ,28 € 510, ,121 0, ,22 € ,86 € 1.004,35 € 520, ,358 0, ,25 € ,51 € 4.088,75 € 530, ,582 0, ,50 € ,15 € 7.224,34 € 540, ,793 0, ,32 € ,74 € ,58 € 550, ,991 0, ,25 € ,18 € ,07 € 560, ,174 0, ,14 € ,34 € ,80 € 570, ,342 0, ,18 € ,10 € ,07 € 580, ,494 0, ,57 € ,33 € ,23 € 590, ,629 0, ,06 € - 887,88 € ,18 € 600, ,746 0, ,07 € - 748,56 € ,51 € 610, ,843 0, ,93 € - 606,16 € ,76 € 620, ,919 0, ,86 € - 460,43 € ,43 € 630, ,972 0, ,19 € - 311,07 € ,12 € 640, ,000 0, ,50 € - 157,73 € ,77 € 650, , ,00 € - € ,00 €

72 Hier gibt es wieder Rekursionsformeln m+1 V x = (D x+m { m V x + P m } – C x+m )/D x+m+1 0 V x = 0 1 V x = (D x+1 *P 1 – C x+1 ) / D x+2 Praxis der Lebensversicherungmathematik72 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

73 Kapitalisation (keine Biometrie) n=t= 40 B=1000 -z= 0,04 ß= 0,08 i= 1,75% v= 0,9828 äxn= 29,0946 Zillmerung= 1.600,00 € Kostenb= 80,00 € ZillmerB= 54,99 € RisikoB= - € SparB= 920,00 € Praxis der Lebensversicherungmathematik73 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

74 BSUMRKW (95%)RKW%BSUM 0Vx= ,00 €0 - € - 680,00 € 920,00 € - €0% 1Vx=- 691,90 € 920,00 € - €0% 228,10 € 1.840,00 € 216,70 €12% 2Vx= 232,09 € 1.840,00 € 220,49 €12% 1.152,09 € 2.760,00 € 1.094,49 €40% 3Vx 1.172,25 € 2.760,00 € 1.113,64 €40% 2.092,25 € 3.680,00 € 1.987,64 €54% 4Vx 2.128,87 € 3.680,00 € 2.022,42 €55% 3.048,87 € 4.600,00 € 2.896,42 €63% 5Vx= 3.102,22 € 4.600,00 € 2.947,11 €64% Praxis der Lebensversicherungmathematik74 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

75 Praxis der Lebensversicherungmathematik75 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

76 Versicherungsmathematische Bilanzgleichung o V A x = - z · t · P A ( m-1 V A x + P A –  m ) · (1+i) = p x+m-1 ·( m V A x + E m ) + q x+m-1 · T m  m V A x = [1+i]·{ m-1 V A x +P A - m )/p x+n-1 – E m – T m · q x+m-1 /p x+m-1 Praxis der Lebensversicherungmathematik76 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

77 Nach P A aufgelöst: P A = v·q x+m-1 ·[T m – m V A x – E m ] + v·E m + v· m V A x – m-1 V A x +  m Riskiertes Kapital = T m – m V A x – E m Risikoprämie= P R = v·q x+m-1 ·[T m – m V A x – E m ] Sparprämie= P S = v·E m + v· m V A x – m-1 V A x Kostenprämie= P K =  m = VS· + ß·PA + … Insgesamt gilt Beitragszerlegung: P A = P R + P S + P K Praxis der Lebensversicherungmathematik77 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

78 Und wo steckt  z ? In der Startposition < 0, also direkt Verbrauch Praxis der Lebensversicherungmathematik78 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

79 51.Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung = vorsichtige Schätzung, so dass diese auskömmlich sind  Ex post: man erkennt welches die „richtigen“ Rechnungsgrundlagen gewesen wären. Diese Werte für i, K und q x bezeichnet man mit i‘, K‘ und q‘ x und nennt sie Rechnungsgrundlagen 2.Ordnung A priori Praxis der Lebensversicherungmathematik79 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

80 Dazu benötigt man eine Analyse der Ergebnisse, also eine Aufteilung des Überschusses nach Gewinnquellen i i‘„Kapitalanlageergebnis“ q x q‘ x „Sterblichkeitsergebnis“ K K‘„Kostenergebnis“ Dies wird für kleine separate Teile des Bestandes gemacht (Bestandsgruppen) und ist der BaFin zu melden. Praxis der Lebensversicherungmathematik80 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

81 Ein paar Worte zur Rechnungslegung Bilanzdeckungsrückstellung Probleme Unterjährig < 0 Praxis der Lebensversicherungmathematik81 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

82 letztes mal Zentrales Hilfsmittel bei Gewinnanalyse ist die Beitragszerlegung => Gewinnanalyse Wichtig für Rechnungslegung und Überschussbeteiligung => Gleichbehandlungsgrundsatz Praxis der Lebensversicherungmathematik82 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

83 Gleichbehandlungsgrundsatz §11(2) VAG: ◦Prämien und Leistungen müssen bei vorliegen gleicher Voraussetzungen „nach gleichen Grundsätzen bemessen sein“ Unisex? Praxis der Lebensversicherungmathematik83 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

84 52.Grundsätze der Gewinnzerlegung Wir brauchen eine Einschätzung, welche Beiträge zum Ergebnis in welcher Höhe bezogen auf i‘, q x ‘ und K‘ entfallen. Diese resultieren aus den vorsichtigen Annahmen der Kalkulation (=> Rohüberschuss Dies auch noch für kleinste Bestands-Gruppen. Praxis der Lebensversicherungmathematik84 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

85 Verordnung über die Berichterstattung von Versicherungsunternehmen gegenüber dem Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen (BerVersV)  Gewinnzerlegung Praxis der Lebensversicherungmathematik85 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

86 Praxis der Lebensversicherungmathematik86 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Gesamtbestand des LVUAltbestand Abrechnungs- Verbände Neubestand Bestands-gruppen

87 Abrechnungsverbände des Altbestandes Einzelkapital- versicherung Großleben VBG-Versicherungen Gruppen-Kapitalvers. Nach Sondertf Rentenversich. BU/EU Bausparrisiko Fondsgebundene Pflege Sonstige Praxis der Lebensversicherungmathematik87 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

88 Bestandsgruppen 100 Inlandsgeschäft (einschließlich Dienstleistungsgeschäft) 3) 110 Einzelversicherung mit Überschussbeteiligung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird 111 Kapitalbildende Lebensversicherung (einschließlich vermögensbildende Lebensversicherungen) mit überwiegendem Todesfallcharakter 112 Risikoversicherung 113 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem Erlebensfallcharakter 114 Berufsunfähigkeitsversicherung (einschließlich Berufsunfähigkeits-Zusatzversicherungen) 4) 115 Pflegerentenversicherung (einschließlich Pflegerenten-Zusatzversicherungen) 4) 116 Übrige Tarife, aber ohne Sonstige Lebensversicherung (130) 117 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem Erlebensfallcharakter nach dem AltZertG Praxis der Lebensversicherungmathematik88 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

89 Bestandsgruppen (Fortsetzung) 120 Kollektivversicherung mit Überschussbeteiligung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird 121 Kapitalversicherung ohne eigene Vertragsabrechnung mit überwiegendem Todesfallcharakter (ohne 122 und 123) 122 Bausparrisikoversicherung 123 Restschuldversicherung 124 Kollektivversicherung mit eigener Vertragsabrechnung 125 Übrige Tarife ohne eigene Vertragsabrechnung, aber ohne Sonstige Lebensversicherung (130) 126 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem Erlebensfallcharakter nach dem AltZertG 130 Sonstige Lebensversicherung 131 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird 132 Lebensversicherung ohne Überschussbeteiligung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird 133 Tontinenversicherung 134 Kapitalisierungsgeschäfte 135 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird, nach dem AltZertG Praxis der Lebensversicherungmathematik89 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

90 Bestandsgruppen (Fortsetzung) 130 Sonstige Lebensversicherung 131 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird 132 Lebensversicherung ohne Überschussbeteiligung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird 133 Tontinenversicherung 134 Kapitalisierungsgeschäfte 135 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird, nach dem AltZertG 140 Eigenkapital und sonstige Dienstleistungen einschließlich des Geschäfts der Verwaltung von Versorgungseinrichtungen 200 Auslandsgeschäft (Niederlassungsgeschäft) Praxis der Lebensversicherungmathematik90 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

91 61.Überschussbeteiligung (grundsätzlich) Praxis der Lebensversicherungmathematik91 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Rohüber- schuss Risikoergebnis Kapitalanlage- ergebnis KostenergebnisWeitere Quellen

92 62.Überschussermittlung Risikoergebnis + Risikobeiträge./. Aufwendungen für Leistungsfälle + freiwerdendes DK Risikoergebnis Praxis der Lebensversicherungmathematik92 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

93 Kapitalanlageergebnis + Erträge aus Kapitalanlagen./. Rechnungsmäßige Zinsen./. Aufwendungen Kapitalanlageergebnis - ordentliche/außerord. Erträge - Mischung & Streuung Praxis der Lebensversicherungmathematik93 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

94 Verwaltungskostenergebnis./. Tatsächliche Abschlusskosten + rechnungsmäßige Abschlusskosten./. Tatsächliche Verwaltungskosten + rechnungsmäßige Verwaltungskosten Verwaltungskostenergebnis Praxis der Lebensversicherungmathematik94 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

95 Weitere Quellen Rückversicherungsergebnis Stornoergebnis Sonstiges Ergebnis Praxis der Lebensversicherungmathematik95 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

96 Wir erinnern uns an die Beitragszerlegung: P A = P R + P S + P K Hier nun die Kontributionsformel: E m – A m = 0 (wg Äquivalenzprinzip) aber: g x.m = E‘ m – A‘ m = [E‘ m – E m ]- [A‘ m –A m ] = g x,m,q + g x,m,i + g x,m,K Kontributionsformel # Hierbei ist ◦ g x,m,q das Risikoergebnis ◦ g x,m,i das Kapitaslanlageergebnis ◦ g x,m,K das Kostenergebnis Praxis der Lebensversicherungmathematik96 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

97 Dabei g x,m,q = [T x,m –E xm – m-1 V x A ]·{q‘ x+m-1 - q x+m-1 } g x,m,i = [ m-1 V x A +P B m -K x,m ] ·{i‘- i} g x,m,K = [(P B m – NP m ) – K x,m ] ·{1 + i} Praxis der Lebensversicherungmathematik97 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

98 Gewinnbeteiligung/Überschussbeteili gung Praxis der Lebensversicherungmathematik98 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Ge- winn- betei- ligung Lfd Über- schuss- betei- ligung Schluss- über- schuss- Betei- ligung Lei- stungs- fall- bonus

99 Wir haben das letzte mal gelernt Wie der Beitrag zerlegt wird Wie die Deckungsrückstellung zerlegt und fortgeschrieben wird (Kontributionsformel) Wie der Rohüberschuss ermittelt wird Welche Eigenschaften die Überschussbeteiligung haben muss Welche Rolle die RfB dabei spielt Praxis der Lebensversicherungmathematik99 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

100 Gewinnbeteiligung soll Zeitnah ausschütten Verursachungsgerecht Gleichbehandlung Möglichst ausgeglichen  RfB (Rückstellung für Beitragsrückerstattung Praxis der Lebensversicherungmathematik100 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

101 Gewinnbeteiligung/Überschussbeteili gung Praxis der Lebensversicherungmathematik101 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Ge-winn- betei-ligung Lfd Über-sc huss-b etei-lig ung Schluss- über- schuss- Betei- ligung Lei-stung s-fall- bonus

102 Praxis der Lebensversicherungmathematik102 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr RfB ◦Freie ◦Gebundene ◦SÜA-Fond Interessant Beschränkungen gegen zu fette RfB - steuerlich 4% Rendite auf Stammkapital < letzte 2 Zuführungen - BaFin

103 Aufsichtsrechtliche Beschränkungen der RfB … 1984 RQV -> 1996 ZRQuotenV -> 2006 MindestZV (Neubestand) ◦Mindestbet Risiko/Kosten/Kapitalanl/sonst. Ergebnis ◦ 75% 50% 90% 50%  Berücksichtigung BWR ◦Gilt für „normale“ LVU ◦Ausnahmen §56a(3) VAG  Unvorhersehbare Verluste  Erhöhung der Deckungsrückstellung Praxis der Lebensversicherungmathematik103 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

104 Praxis der Lebensversicherungmathematik104 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr 63. Beteiligung der Versicherungsnehmer Ereignisorientierte Übbet Stichtagsorientierte Übbet Periodenorientierte Übbet Direktgutschrift….

105 VN –Guthaben DK + BonusDK + Ansammlungsguthaben Zinsüberschussanteile Schlussüberschuss-Anteile Leistungsfallbonus Beitragvorwegabzug Bonusrente Gewinnrente Misch-System … wie‘s geht? -> Tafel Praxis der Lebensversicherungmathematik105 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

106 Direktgutschrift ◦Bezugsgröße VN-Guthaben/Deckungskapital ◦Kein Umweg über RfB ◦Vorteil:  anrechenbar auf Zinsüb/..  Annechenbar auf MindestZV Aber :  Obergrenze (i+DG < ??) Koppelungen ◦ z.B. Leistungsfallbonus  Beitragsvorwegabzug (Achtung DK!) Praxis der Lebensversicherungmathematik106 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

107 71.Vertragsänderungen Der Kunde hat nach VVG (§§ 165 ff) das Recht zum Ende der Versicherungsperiode seinen Versicherungsvertrag beitragsfrei zu stellen oder ganz zu beenden. Rückkaufswert/bfr. Versicherungssumme sind nach den „anerkannten Regeln der Versicherungsmathematik“ zu bestimmen Praxis der Lebensversicherungmathematik107 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

108 Was also erhält der Kunde als Rückkaufswert? {Theorie} Mögliche Antwort (Diskussion darüber ist noch im Gange: ◦Handelswert./. Stornoabschlag Für Stornoabschlag sind folgende Gründe berücksichtbar: ◦Kleinerer Bestand => erhöhtes Schwankungsrisiko ◦Fehlende Tilgung alpha-g-Kosten ◦Verteilung Fixkosten ◦Auflösung von Kaypitalanlagen zur Unzeit ◦Gegenauslese/Antiselektion Praxis der Lebensversicherungmathematikn108 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

109 Was also erhält der Kunde als Rückkaufswert? [Praxis: vereinbart & angemessen] Max{ m V x · (1 – g 1 ) – [VS – m V x ] ·g 2 ; Max[0 ; (5 – m)/5] · t · P a · α z } + m V x Bonus + Ansammlungsguthaben Praxis der Lebensversicherungmathematik109 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

110 72 Kündigung Praxis der Lebensversicherungmathematik110 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

111 … Praxis der Lebensversicherungmathematik111 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

112 … Praxis der Lebensversicherungmathematik112 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

113 … Praxis der Lebensversicherungmathematik113 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

114 … Praxis der Lebensversicherungmathematik114 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

115 … Praxis der Lebensversicherungmathematik115 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

116 … Praxis der Lebensversicherungmathematik116 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

117 … Praxis der Lebensversicherungmathematik117 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

118 … Praxis der Lebensversicherungmathematik118 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

119 … Praxis der Lebensversicherungmathematik119 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

120 … Praxis der Lebensversicherungmathematik120 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

121 … Praxis der Lebensversicherungmathematik121 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr


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