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Komplexität von Algorithmen und Problemen Klaus Becker 2014.

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1 Komplexität von Algorithmen und Problemen Klaus Becker 2014

2 2 Fallstudie - Primzahlalgorithmen 346088282490851215242960395767413316722628668900238547790489283445006220809834114464364375544153707533 664486747635050186414707093323739706083766904042292657896479937097603584695523190454849100503041498098 185402835071596835622329419680597622813345447397208492609048551927706260549117935903890607959811638387 214329942787636330953774381948448664711249676857988881722120330008214696844649561469971941269212843362 064633138595375772004624420290646813260875582574884704893842439892702368849786430630930044229396033700 105465953863020090730439444822025590974067005973305707995078329631309387398850801984162586351945229130 425629366798595874957210311737477964188950607019417175060019371524300323636319342657985162360474512090 898647074307803622983070381934454864937566479918042587755749738339033157350828910293923593527586171850 199425548346718610745487724398807296062449119400666801128238240958164582617618617466040348020564668231 437182554927847793809917495802552633233265364577438941508489539699028185300578708762293298033382857354 192282590221696026655322108347896020516865460114667379813060562474800550717182503337375022673073441785 129507385943306843408026982289639865627325971753720872956490728302897497713583308679515087108592167432 185229188116706374484964985490944305412774440794079895398574694527721321665808857543604774088429133272 929486968974961416149197398454328358943244736013876096437505146992150326837445270717186840918321709483 693962800611845937461435890688111902531018735953191561073191960711505984880700270887058427496052030631 941911669221061761576093672419481606259890321279847480810753243826320939137964446657006013912783603230 022674342951943256072806612601193787194051514975551875492521342643946459638539649133096977765333294018 221580031828892780723686021289827103066181151189641318936578454002968600124203913769646701839835949541 124845655973124607377987770920717067108245037074572201550158995917662449577680068024829766739203929954 101642247764456712221498036579277084129255555428170455724308463899881299605192273139872912009020608820 607337620758922994736664058974270358117868798756943150786544200556034696253093996539559323104664300391 464658054529650140400194238975526755347682486246319514314931881709059725887801118502811905590736777711 874328140886786742863021082751492584771012964518336519797173751709005056736459646963553313698192960002 673895832892991267383457269803259989559975011766642010428885460856994464428341952329487874884105957501 974387863531192042108558046924605825338329677719469114599019213249849688100211899682849413315731640563 047254808689218234425381995903838524127868408334796114199701017929783556536507553291382986542462253468 272075036067407459569581273837487178259185274731649705820951813129055192427102805730231455547936284990 105092960558497123779789849218399970374158976741548307086291454847245367245726224501314799926816843104 644494390222505048592508347618947888895525278984009881962000148685756402331365091456281271913548582750 83907891469979019426224883789463551

3 3 Teil 1 Fallstudie - Primzahlalgorithmen Praktische Anwendbarkeit von Algorithmen

4 4 Primzahlen Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... Satz: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Beispiel: 260 = 2*2*5*13 Man nennt die Primzahlen, die in einer Produktdarstellung einer gegebenen Zahl vorkommen, auch Primfaktoren der Zahl.

5 5 Primzahltest falls n eine Primzahl ist True False istPrimzahl n natürliche Zahl falls n keine Primzahl ist Das Primzahltestproblem (kurz PRIMES) besteht darin, bei einer vorgegebenen natürlichen Zahl zu überprüfen, ob sie eine Primzahl ist.

6 6 Primzahlerzeugung Primzahl p mit p >= n p erzeugtePrimzahl n natürliche Zahl Das Primzahlerzeugungsproblem besteht darin, eine Primzahl (einer bestimmten Größenordnung) zu erzeugen. Primzahl aus dem Bereich m..n p erzeugtePrimzahl m natürliche Zahl n

7 7 Primfaktorzerlegung / Faktorisierung Das Faktorisierungsproblem (kurz FACTORIZE) besteht darin, eine vorgegebene natürliche Zahl in ein Produkt aus Primfaktoren zu zerlegen. Liste der Primfaktoren von n L primfaktoren n natürliche Zahl [2, 2, 5, 13] primfaktoren 260

8 8 Primzahlalgorithmen Aufgabe: Aus der Primzahleigenschaft ergibt sich direkt ein einfacher Algorithmus, mit dem man bei einer natürlichen Zahl n überprüfen kann, ob es sich um eine Primzahl handelt. Formuliere den Algorithmus in Struktogrammform. Implementiere und teste den Algorithmus. Überlege dir Möglichkeiten zur Verbesserungen des einfachen Algorithmus. Aufgabe: (a) Bei kleineren Zahlen kann man eine Primfaktorzerlegung oft direkt angeben. Bestimme eine Primfaktorzerlegung von n = 48 und n = 100. (b) Bei größeren Zahlen sollte man systematisch vorgehen, um die Primfaktoren zu bestimmen. Bestimme eine Primfaktorzerlegung von n = 221 und n = 585. (c) Entwickle zunächst einen Algorithmus zur Primfaktorzerlegung. Beschreibe in einem ersten Schritt in Worten das Verfahren, das du zur Primfaktorzerlegung von Zahlen benutzt. Beschreibe das Verfahren anschließend mit einem Struktogramm. Entwickle dann ein Programm zur Primfaktordarstellung. Aufgabe: Entwickle einen Algorithmus zur Erzeugung von Primzahlen. Implementiere und teste den Algorithmus.

9 9 Teil 2 Ein einfacher Primzahltest

10 10 Primzahltest mit Probedivisionen Übergabe: n = 51 # Probedivisionen n % 2 -> 1 n % 3 -> 0 Rückgabe: False ALGORITHMUS istPrimzahl(n): prim = True k = 2 SOLANGE k*k <= n und prim: WENN n % k == 0: prim = False k = k+1 Rückgabe: prim Übergabe: n = 53 # Probedivisionen n % 2 -> 1 n % 3 -> 2 n % 4 -> 1 n % 5 -> 3 n % 6 -> 5 n % 7 -> 4 Rückgabe: True

11 11 Ein einfaches Testverfahren primzahlen = [ 11, 101, 1009, 10007, 100003, 1000003, 10000019, 100000007, 1000000007, 10000000019, 100000000003, 1000000000039, 10000000000037, 100000000000031, 1000000000000037, 10000000000000061, 100000000000000003, 1000000000000000003, 10000000000000000051, 100000000000000000039, 1000000000000000000117,...] def istPrimzahl(n):... from time import * for p in primzahlen: t1 = clock() ergebnis = primzahl(p) t2 = clock() t = t2 - t1 print("Primzahl: ", p, "Rechenzeit: ", t) Erhöhe systematisch die „Größe“ der Primzahl Mit Probedivisionen

12 12 Laufzeitverhalten >>> Primzahl: 11 Rechenzeit: 5.86666741164e-06 Primzahl: 101 Rechenzeit: 8.3809534452e-06 Primzahl: 1009 Rechenzeit: 1.50857162014e-05 Primzahl: 10007 Rechenzeit: 3.54793695847e-05 Primzahl: 100003 Rechenzeit: 0.000101968266917 Primzahl: 1000003 Rechenzeit: 0.000324342898329 Primzahl: 10000019 Rechenzeit: 0.00104817791088 Primzahl: 100000007 Rechenzeit: 0.00332500359683 Primzahl: 1000000007 Rechenzeit: 0.0105655886432 Primzahl: 10000000019 Rechenzeit: 0.0407208178693 Primzahl: 100000000003 Rechenzeit: 0.140259725747 Primzahl: 1000000000039 Rechenzeit: 0.447675891768 Primzahl: 10000000000037 Rechenzeit: 1.41919042783 Primzahl: 100000000000031 Rechenzeit: 4.55093566361 Primzahl: 1000000000000037 Rechenzeit: 14.3208156344 Primzahl: 10000000000000061 Rechenzeit: 45.2250185429 Primzahl: 100000000000000003 Rechenzeit: 144.197546336... Aufgabe: Schätze ab, wie lange eine Überprüfung einer 100- bzw. 600-stelligen Primzahl mit Hilfe von Probedivisionen in etwa dauert.

13 13 Zusammenhänge >>>... Primzahl: 100000000003 Rechenzeit: 0.140259725747 Primzahl: 1000000000039 Rechenzeit: 0.447675891768 Primzahl: 10000000000037 Rechenzeit: 1.41919042783 Primzahl: 100000000000031 Rechenzeit: 4.55093566361 Primzahl: 1000000000000037 Rechenzeit: 14.3208156344 Primzahl: 10000000000000061 Rechenzeit: 45.2250185429 Primzahl: 100000000000000003 Rechenzeit: 144.197546336... Gesetzmäßigkeit: Wenn man die Anzahl der Stellen der Ausgangszahl um 2 erhöht, dann erhöht sich die Laufzeit etwa um den Faktor 10. Jede zusätzliche Stelle bei der Ausgangszahl führt also dazu, dass die Laufzeit mit dem Faktor √10 multipliziert wird. Es handelt sich hier um ein exponentielles Wachstumsverhalten, das man mathematisch mit einer Exponentialfunktion beschreiben kann: Wenn i die Anzahl der Stellen der Ausgangszahl angibt, dann lässt sich die Laufzeit mit einer Funktion wie folgt beschreiben: L(i) = c*(√10) i ; mit einer Konstanten c

14 14 Prognosen >>>... Primzahl: 100000000003 Rechenzeit: 0.140259725747 Primzahl: 1000000000039 Rechenzeit: 0.447675891768 Primzahl: 10000000000037 Rechenzeit: 1.41919042783 Primzahl: 100000000000031 Rechenzeit: 4.55093566361 Primzahl: 1000000000000037 Rechenzeit: 14.3208156344 Primzahl: 10000000000000061 Rechenzeit: 45.2250185429 Primzahl: 100000000000000003 Rechenzeit: 144.197546336... Prognose: Wenn die Zahl 100 Stellen haben soll, also 88 Stellen mehr als eine 12-stellige Zahl, so benötigt man nach der gefundenen Gesetzmäßigkeit 10 44 -mal so lange wie bei der 12- stelligen Zahl - also etwa 10 44 Sekunden.

15 15 Teil 3 Eine Komplexitätanalyse

16 16 Problematik von Laufzeitmessungen Laufzeitmessungen werden in der Praxis durchgeführt, um das Laufzeitverhalten eines Programms unter Realbedingungen zu ermitteln. Aus systematisch durchgeführten Laufzeitmessungen kann man oft Gesetzmäßigkeiten erschließen, wie die Laufzeit von den zu verarbeitenden Daten abhängt. Bei Laufzeitmessungen muss man aber sehr genau darauf achten, dass sie unter gleichen Bedingungen erfolgen. Ein Wechsel des Rechners führt in der Regel zu anderen Ergebnissen. Auch Änderungen in der Implementierung wirken sich in der Regel auf die Messergebnisse aus. Selbst bei ein und demselben Rechner und derselben Implementierung können sich die Bedingungen ändern, da oft mehrere Prozesse gleichzeitig ablaufen. Ergebnisse von Laufzeitmessungen sind also kaum auf andere Systeme (andere Rechner, andere Programmiersprachen) übertragbar. Um diese Schwierigkeit zu überwinden, soll im Folgenden ein anderer Weg zur Beschreibung der Berechnungskomplexität beschritten werden.

17 17 Kostenabschätzung Bei der Ausführung des Algorithmus (bei einer vorgegebenen natürlichen Zahl) spielt es eine Rolle, wie viele Operationen ausgeführt werden müssen. Im dargestellten Algorithmus werden u.a. folgende Operationen ausgeführt: n % k (Probedivision) k*k (Produkt) … <= n (Vergleich) … und … (logische Operation) k+1 (Inkrementieren) Bei der Festlegung eines Kostenmaßes müssen Annahmen über den Aufwand der verschiedenen auszuführenden Operationen gemacht werden. Zwei ganz unterschiedliche Wege kann man dabei bestreiten. Ein Weg besteht darin, unterschiedliche Aufwände von Operationen möglichst genau zu erfassen und im Kostenmaß zu berücksichtigen. Ein anderer Weg beschränkt sich darauf, dominante Operationen auszuwählen und die Kosten nur grob zuzuschätzen. Wir werden hier nur den zweiten Weg beschreiten. ALGORITHMUS istPrimzahl(n): prim = True k = 2 SOLANGE k*k <= n und prim: WENN n % k == 0: prim = False k = k+1 Rückgabe: prim

18 18 Fachkonzept Kostenfunktion Die Problemgröße ist eine präzise Beschreibung des Umfangs der zu verarbeitenden Daten, von dem das Zeit- bzw. Speicherverhalten von Lösungalgorithmen maßgeblich beeinflusst wird. Bei der Beschreibung der Zeitkomplexität mit Hilfe einer Kostenfunktion werden in der Regel eine Reihe von Vereinfachungen vorgenommen sowie Annahmen gemacht. Die Festlegung einer Kostenfunktion kann somit als eine Form der Modellierung angesehen werden, weil hier ein Berechnungsmodell entwickelt werden muss, das den Berechnungsaufwand vereinfachend beschreibt. Wie bei jeder Modellierung kann das entwickelte Modell mehr oder auch weniger geeignet sein, um die zu beschreibende Wirklichkeit darzustellen. Bei der Modellierung der Zeitkomplexität kommt es darauf an, sinnvolle Annahmen über den Aufwand bestimmter, im Algorithmus vorkommender Operationen zu machen. Ein Kostenmaß legt fest, in welchem Maße welche Operationen bei der Aufwandsbestimmung berücksichtigt werden. Eine Kostenfunktion ordnet der Problemgröße i die vom Algorithmus benötigten Gesamtkosten K(i) bzgl. des vorgegebenen Kostenmaßes zu.

19 19 Problemgröße / Kosten Problemgröße i: Anzahl der Stellen der Ausgangszahl n (als Maß für die Länge von n) Kosten K: Anzahl der durchzuführenden Probedivisionen ALGORITHMUS istPrimzahl(n): prim = True k = 2 SOLANGE k*k <= n und prim: WENN n % k == 0: prim = False k = k+1 Rückgabe: prim Übergabe: n = 541 Anzahl der Stellen: 3 Probedivisionen n % 2 > 0 n % 3 > 0 … n % 23 > 0 Rückgabe: True Anzahl der Probedivisionen: 22

20 20 Kostenabschätzung Aufgabe: Für welche Zahlen benötigt man die wenigsten Probedivisionen, für welche die meisten? Aufgabe: Betrachte den Fall, dass n eine Primzahl mit i = 3, 4, … Stellen ist. Wie viele Probedivisionen benötigt man mindestens / höchstens, um das mit dem gegebenen Algorithmus festzustellen?

21 21 Kostenanalyse best case (bester Fall): der Fall, in dem bei der Ausführung des Algorithmus die wenigsten Kosten anfallen best case: n ist eine gerade Zahl (mit i Stellen) Beispiel: n = 998; i = 3 Probedivisionen n % 2 = 0 Rückgabe: False Anzahl der Probedivisionen: 1 Es gilt: K(i) = 1 „gar kein“ Wachstum

22 22 Kostenanalyse Worst case: n ist die größte Primzahl mit i Stellen Beispiel: n = 997; i = 3 Probedivisionen: n % 2 > 0 n % 3 > 0 n % 4 > 0 … z % 31 > 0 (Beachte: √997 = 31....) Rückgabe: True Anzahl der Probedivisionen: 30 Beachte: 10 i-1 < n < 10 i Es gilt: √(10 i-1 )-1 < K(i) < √(10 i )-1 Also: (√10) i-1 -1 < K(i) < (√10) i – 1 exponentielles Wachstum worst case (schlechtester Fall): der Fall, in dem bei der Ausführung des Algorithmus die meisten Kosten anfallen

23 23 Klassifikation von Kostenfunktionen Eine (Kosten-) Funktion f wächst schneller als eine (Kosten-) Funktion g, wenn der Quotient f(i)/g(i) mit wachsendem i gegen unendlich strebt. Eine (Kosten-) Funktion f wächst langsamer als eine (Kosten-) Funktion g, wenn der Quotient f(i)/g(i) mit wachsendem i gegen 0 strebt. Eine (Kosten-) Funktion f wächst genauso schnell wie eine (Kosten-) Funktion g, wenn der Quotient f(i)/g(i) mit wachsendem n gegen eine Konstante c strebt. Eine (Kosten-) Funktion f wächst höchstens so schnell wie eine (Kosten-) Funktion g, wenn f genauso schnell oder langsamer als g wächst. Eine (Kosten-) Funktion f wächst mindestens so schnell wie eine (Kosten-) Funktion g, wenn f genauso schnell oder schneller als g wächst. Die Klasse aller Funktionen, die nicht höchstens so schnell wachsen wie eine vorgegebene (Kosten-) Funktion f, wird mit O(f) bezeichnet. Man liest das so: "Groß O von f". Die Klasse aller Funktionen, die nicht mindestens so schnell wachsen wie eine vorgegebene (Kosten-) Funktion f, wird mit Ω(f) bezeichnet. Man liest das so: "Groß Omega von f".

24 24 Wachstumsverhalten Im worst case (d.h. n ist eine Primzahl) wächst die Kostenfunktion, die die maximale Anzahl von Probedivisionen einer i-stelligen Zahl beschreibt, genauso schnell wie die Exponentialfunktion g(i) = (√10) i. Es gilt: (√10) i-1 -1 < K(i) < (√10) i – 1 Also: ((√10) i-1 -1) / (√10) i < K(i) / (√10) i < ((√10) i – 1) / (√10) i Also: (1/√10) - 1/(√10) i < K(i) / (√10) i < 1 - 1/(√10) i Für i gegen unendlich konvergiert K(i) / (√10) i gegen eine Zahl : 1/√10 < lim (K(i) / (√10) i ) < 1

25 25 Wachstumsprototypen Prototyp Grundeigenschaft logarithmisches Wachstum: f(n) = log(n) Wenn n sich verdoppelt, dann wächst f(n) um einen konstanten Betrag. lineares Wachstum: f(n) = n Wenn n sich verdoppelt, dann verdoppelt sich f(n) ebenfalls. logarithmisch-lineares Wachstum f(n) = n*log(n) quadratisches Wachstum: f(n) = n 2 Wenn n sich verdoppelt, dann vervierfacht sich f(n). kubisches Wachstum: f(n) = n 3 Wenn n sich verdoppelt, dann verachtfacht sich f(n). polynomiales Wachstum f(n) = n k Wenn n sich verdoppelt, dann vervielfacht sich f(n) mit 2 k. exponentielles Wachstum: f(n) = b n Wenn n sich um 1 erhöht, dann vervielfacht sich f(n) mit b.

26 26 Praktische Anwendbarkeit aus: P. Breuer: Praktische Grenzen der Berechenbarkeit. Wir nehmen hier an, dass zur Verarbeitung einer Kosteneinheit eine Millisekunde benötigt wird. Algorithmen, deren Zeitkomplexität durch eine Kostenfunktion beschrieben wird, die exponentiell oder noch schneller wächst, gelten als praktisch nicht anwendbar.

27 27 Teil 4 Die Komplexität des Primzahltestproblems

28 28 Komplexität von Problemen Zur Beschreibung der Komplexität eines Problems muss man folglich Aussagen über alle möglichen Algorithmen zur Lösung des Problems machen. Man zeigt, dass ein bestimmter Ressourcenverbrauch bei all diesen Algorithmen erforderlich ist und von keinem Algorithmus unterschritten werden kann. Die Schwierigkeit beim Nachweis solcher Aussagen besteht darin, dass man den Nachweis über alle denkbaren - d.h. bis jetzt gefundenen und auch noch nicht bekannten - Algorithmen führen muss. Die (Zeit-)Komplexität eines Problems beschreibt man durch eine Komplexitätsklasse, die eine untere Schranken für die Komplexität aller Algorithmen, die das Problem lösen, bilden.

29 29 Komplexität des Primzahltestproblems Der Primzahltest mit Probedivisionen ist ein Algorithmus mit exponentieller Zeitkomplexität. Dieser Algorithmus ist für große Ausgangszahlen praktisch nicht anwendbar. Entsprechendes gilt für andere naheliegende Algorithmen, z.B. für das Verfahren mit dem Sieb des Eratosthenes (mit einer passend gewählten Kostenmodellierung). Es stellt sich die Frage, ob alle Primzahltest-Algorithmen eine exponentielle Zeitkomplexität haben bzw., ob es Primzahltest-Algorithmen mit einer nicht-exponentiellen Zeitkomplexität gibt. Lange Zeit gab es hierauf keine positive oder negative Antwort.

30 30 AKS-Primzahltest Der AKS-Primzahltest wurde im Jahr 2002 von den drei indischen Wissenschaftlern Manindra Agrawal, Neeraj Kayal und Nitin Saxena ein Primzahltest entwickelt. ALGORITHMUS istPrimzahl(n): 1. if n ist eine reine Potenz: 2. return ZUSAMMENGESETZT 3. finde das kleinste r mit o_r(n) > log(n) 2 4. if 1 < ggT(a,n) < n für ein a ≤ r: 5. return ZUSAMMENGESETZT 6. if n ≤ r: 7. return PRIM 8. for a=1 to sqrt(phi(r))*log(n) do 9. if (x+a) n ≠ x n +a (mod (x r -1,n)): 10. return ZUSAMMENGESETZT 11. return PRIM Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/AKS-Primzahltest

31 31 AKS-Primzahltest Info: Der AKS-Primzahltest hat eine Zeitkomplexität, die nicht schneller als die Potenzfunktion g(i) = i 12 wächst. Folgerung: PRIMES gehört zur Klasse P. P bezeichnet die Klasse der Probleme, die mit einem Algorithmus mit polynomialer Zeitkomplexität gelöst werden können.

32 32 Probabilistische Testverfahren Für praktische Zwecke ist der AKS-Primzahltest wenig geeignet. Das Laufzeitverhalten des AKS-Primzahltest ist für große Primzahlen immer noch sehr schlecht. In der Praxis benutzt man heute oft probabilistische Testverfahren, da sie sehr effizient arbeiten. Probabilistischen Testverfahren funktionieren nach dem folgenden Prinzip: Bei Übergabe einer natürlichen Zahl n erhält man als Rückgabe entweder "n ist keine Primzahl" oder "n ist wahrscheinlich eine Primzahl". Diese Testverfahren liefern also keine absolute Gewissheit, wenn sie das Ergebnis "n ist wahrscheinlich eine Primzahl" produzieren. Die übergebene Zahl n kann mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auch keine Primzahl sein. Allerdings ist diese Wahrscheinlichkeit sehr gering, so dass man die Unsicherheit oft in Kauf nimmt. falls n wahrscheinlich eine Primzahl ist True False istWahrscheinlichPrimzahl n natürliche Zahl falls n keine Primzahl ist

33 33 Miller-Rabin-Test import random def miller_rabin_pass(a, n): d = n - 1 s = 0 while d % 2 == 0: d = d >> 1 s = s + 1 a_to_power = pow(a, d, n) if a_to_power == 1: return True for i in range(s-1): if a_to_power == n - 1: return True a_to_power = (a_to_power * a_to_power) % n return a_to_power == n - 1 def miller_rabin_test(n): for repeat in range(20): a = 0 while a == 0: a = random.randrange(n) if not miller_rabin_pass(a, n): return False return True

34 34 Miller-Rabin-Test Eines der probabilistischer Testverfahren ist das Miller-Rabin-Verfahren. Beachte, dass die Wiederholungszahl 20 (s.uo) die Fehlerwahrscheinlichkeit beeinflusst. Setzt man diese Wiederholungszahl auf einen größeren Wert, so nimmt die Fehlerwahrscheinlichkeit ab. Info: Der Miller-Rabin-Test hat eine Zeitkomplexität, die nicht schneller als die Potenzfunktion g(i) = k*i 3 wächst. Die Konstante k beschreibt hier die Anzahl der durchgeführten Wiederholungen.

35 35 Teil 5 Primzahlerzeugung

36 36 Ein einfaches Verfahren ALGORITHMUS primzahl(m, n): gefunden = False SOLANGE nicht gefunden: erzeuge eine Zufallszahl k aus dem Bereich m..n WENN istPrimzahl(k): gefunden = True Rückgabe: k Primzahl aus dem Bereich m..n p erzeugtePrimzahl m natürliche Zahl n

37 37 Test des Verfahrens Aufgabe: Implementiere und teste das Verfahren. Benutze einen schnellen Primzahltest (z.B. den Miller- Rabin-Test).

38 38 Beurteilung des Verfahrens Aufgabe: Wie lange dauert es durchschnittlich, bis man eine Primzahl im vorgegebenen Bereich gefunden hat?

39 39 Verteilung der Primzahlen Die Funktion π(x) beschreibe die Anzahl der Primzahlen, die kleiner oder gleich x sind. Primzahlsatz: Die Funktionen π(x) und g(x) = x/ln(x) sind asymptotisch äquivalent. Für große x gilt: π(x) ist ungefähr gleich x/ln(x). Genauer: Für x >= 11 gilt: x/ln(x) <= π(x) <= x/ln(x)*(1+3/(2ln(x))) Blau: π(x) Grün: x(ln(x)

40 40 Verteilung der Primzahlen Aufgabe: Schätze ab, wie viele Primzahlen es im Bereich 100000..999999 gibt. Wie viele Zahlen muss man im Durchschnitt testen, um eine Primzahl im angegebenen Bereich zu erhalten? >>> from math import log >>>... Aufgabe: Beim RSA-Verfahren (1024-Bit-Schlüssel) benutzt man Primzahlen aus dem Bereich 2 1023.. 2 1024 (das sind Zahlen mit etwa 308 bzw. 309 Stellen). Wie viele Primzahlen gibt es in diesem Bereich? Wie viele Zahlen muss man im Durchschnitt testen, um eine Primzahl im angegebenen Bereich zu erhalten?

41 41 Teil 6 Primfaktorzerlegung

42 42 Ein einfaches Verfahren ALGORITHMUS primfaktoren(n): faktoren = [] z = n SOLANGE z > 1: bestimme den kleinsten Primfaktor p von z mit Probedivisionen füge p in die Liste faktoren ein z = z // p Rückgabe: faktoren Liste der Primfaktoren von n L primfaktoren n natürliche Zahl

43 43 Ein einfaches Faktorisierungsverfahren # Übergabe: n = 51 # Initialisierung faktoren = [] {faktoren -> []} z = n {z -> 51} # Probedivisionen z % 2 -> 1 z % 3 -> 0 # Aktualisierung p = z {p -> 3} faktoren = faktoren + [p] {faktoren -> [3]} z = z // p {z -> 17} # Probedivisionen z % 2 -> 1 z % 3 -> 2 z % 4 -> 1 z % 5 -> 2 # Aktualisierung p = z {p -> 17} faktoren = faktoren + [p] {faktoren -> [3, 17]} z = z // p {z -> 1} # Rückgabe: [3, 17] ALGORITHMUS primfaktoren(n): initialisiere die Liste faktoren: faktoren = [] initialisiere die Hilfsvariable z: z = n SOLANGE z > 1: bestimme den kleinsten Primfaktor p von z mit Probedivisionen füge p in die Liste faktoren ein z = z // p Rückgabe: faktoren

44 def primfaktoren(n): """ >>> primfaktoren(24) [2, 2, 2, 3] """ faktoren = [] z = n while z > 1: # bestimme die kleinsten Primfaktor p von z i = 2 gefunden = False while i*i <= n and not gefunden: if z % i == 0: gefunden = True p = i else: i = i + 1 if not gefunden: p = z # füge p in die Liste der Faktoren ein faktoren = faktoren + [p] z = z // p return faktoren 44 Eine Implementierung

45 45 Systematische Laufzeitmessungen Aufgabe: Führe die Messungen durch. Kannst du anhand der Zahlen erste Zusammenhänge erkennen? Kannst du Prognosen erstellen, wie lange man wohl bis zum nächsten Ergebnis warten muss? testzahlen = [ 11, 101, 1009, 10007, 100003, 1000003, 10000019, 100000007, 1000000007, 10000000019, 100000000003, 1000000000039, 10000000000037, 100000000000031, 1000000000000037, 10000000000000061, 100000000000000003, 1000000000000000003, 10000000000000000051, 100000000000000000039,...] from faktorisierung import primfaktoren from time import * testzahlen = [...] for z in testzahlen: t1 = clock() ergebnis = primfaktoren(z) t2 = clock() t = t2 - t1 print("Zahl: ", z) print("Primfaktoren:", ergebnis) print("Rechenzeit: ", t) print()

46 46 Zusammenhänge und Prognosen Gesetzmäßigkeit: Wenn man die Anzahl der Stellen der Ausgangszahl um 2 erhöht, dann erhöht sich die Laufzeit um den Faktor 10. Jede zusätzliche Stelle bei der Ausgangszahl führt also dazu, dass die Laufzeit mit dem Faktor √10 multipliziert wird. Es handelt sich hier um ein exponentielles Wachstumsverhalten, das man mathematisch mit einer Exponentialfunktion beschreiben kann: Wenn k die Anzahl der Stellen der Ausgangszahl angibt, dann erhält man eine Laufzeit vom Typ L(k) = c*(√10) k mit einer Konstanten c. Prognose: Wenn die Zahl 100 Stellen haben soll, also 88 Stellen mehr als eine 12-stellige Zahl, so benötigt man nach der gefundenen Gesetzmäßigkeit 10 44 -mal so lange wie bei der 12-stelligen Zahl - also etwa 10 44 Sekunden.... Zahl: 1000000000039 Primfaktoren: [1000000000039] Rechenzeit: 0.906267137304 Zahl: 10000000000037 Primfaktoren: [10000000000037] Rechenzeit: 2.88270213114 Zahl: 100000000000031 Primfaktoren: [100000000000031] Rechenzeit: 9.1279123464 Zahl: 1000000000000037 Primfaktoren: [1000000000000037] Rechenzeit: 28.5701070946 Zahl: 10000000000000061 Primfaktoren: [10000000000000061] Rechenzeit: 91.2736900919...

47 47 Kostenanalyse worst case: n ist die größte Primzahl mit i Stellen Beispiel: n = 983; i = 3 Beachte: 10 i-1 < n < 10 i Probedivisionen: z = n z % 2 > 0 z % 3 > 0... z % 31 > 0; Beachte: √983 = 31.35... -> z ist Primzahl Anzahl der Probedivisionen: 31 > √100 = (√10) 2 best case: n ist eine Zweierpotenz mit i Stellen Beispiel: n = 2 9 = 512; i = 3 Beachte: 10 < 2 4 ; n < 10 i < 2 4*i Probedivisionen: z = n z % 2 = 0 p = z; faktoren = faktoren + [p]; z = z//2 z % 2 = 0 p = z; faktoren = faktoren + [p]; z = z//2... Anzahl der Probedivisionen: 9 < 4*3 best case (bester Fall): der Fall, in dem bei der Ausführung des Algorithmus die wenigsten Kosten anfallen worst case (schlechtester Fall): der Fall, in dem bei der Ausführung des Algorithmus die meisten Kosten anfallen average case (durchschnittlicher Fall): eine Mittelung der Kosten über alle Fälle (√10) i-1 -1< = K(i) <= (√10) i -1K(i) <= 4*i

48 48 Wachstumsverhalten (√10) i-1 <= K(i) <= (√10) i K(i) <= 4*i best case (bester Fall): der Fall, in dem bei der Ausführung des Algorithmus die wenigsten Kosten anfallen worst case (schlechtester Fall): der Fall, in dem bei der Ausführung des Algorithmus die meisten Kosten anfallen lineares Wachstum exponentielles Wachstum Wenn man die Problemgröße um 1 erhöht, dann wachsen die Kosten den festen Betrag 4. Wenn man die Problemgröße um 1 erhöht, dann wachsen die Kosten mit dem Faktor √10. Wenn man die Problemgröße um 2 erhöht, dann wachsen die Kosten mit dem Faktor √10*√10, also mit den Faktor 10. f(i) = 4*if(i) = (√10) i

49 49 Anwendbarkeit des Faktorisierungsalg. Angenommen, der Rechenaufwand beträgt bei 10 Stellen 1 Zeiteinheit. Dann beträgt der Rechenaufwand bei 100 Stellen 10 45 Zeiteiheiten. Wenn sich die Rechnergeschwindigkeit um den Faktor 1000 verbessert, dann beträgt der Rechenaufwand immer noch 10 42 Zeiteiheiten. Der unten dargestellte Faktorisierungsalgorithmus ist praktisch nicht anwendbar. ALGORITHMUS primfaktoren(n): initialisiere die Liste faktoren: faktoren = [] initialisiere die Hilfsvariable z: z = n SOLANGE z > 1: bestimme den kleinsten Primfaktor p von z mit Probedivisionen füge p in die Liste faktoren ein z = z // p Rückgabe: faktoren

50 50 Komplexität d. Faktorisierungsproblems Problem: Gibt es „schnelle“ Algorithmen zur Primfaktorzerlegung? Es gibt eine Vielzahl an Faktorisierungsalgorithmen. Bis jetzt ist es nicht gelungen, einen Algorithmus zur Primfaktorzerlegung zu entwickeln, der eine nicht-exponentielle Zeitkomplexität hat.

51 51 Ein nichtdeterministischer Algorithmen ALGORITHMUS primfaktoren Übergabe: natürliche Zahl n primfaktoren = [] z = n SOLANGE z > 1: i = Anzahl der Stellen von z # rate eine natürliche Zahl k mit i Stellen (als potentieller Primfaktor) k = 0 WIEDERHOLE i mal: k = k * 10 z = 0 | z = 1 | z = 2 | z = 3 | z = 4 | z = 5 | z = 6 | z = 7 | z = 8 | z = 9 k = k + z # überprüfe, ob k tatsächlich Primfaktor von z ist WENN k > 1 und k < z und z%k == 0 und istPrimzahl(k): primfaktoren = primfaktoren + [k] z = z // k SONST: primfaktoren = primfaktoren + [z] z = 1 Rückgabe: primfaktoren nichtdeterministisch Orakel „Jetzt eine 5“ Der Algorithmen liefert die Liste der Primfaktoren, wenn das Orakel jeweils die „richtige“ Ziffer liefert.

52 52 Ein nichtdeterministischer Algorithmen ALGORITHMUS primfaktoren Übergabe: natürliche Zahl n primfaktoren = [] z = n SOLANGE z > 1: i = Anzahl der Stellen von z # rate eine natürliche Zahl k mit i Stellen (als potentieller Primfaktor) k = 0 WIEDERHOLE i mal: k = k * 10 z = 0 | z = 1 | z = 2 | z = 3 | z = 4 | z = 5 | z = 6 | z = 7 | z = 8 | z = 9 k = k + z # überprüfe, ob k tatsächlich Primfaktor von z ist WENN k > 1 und k < z und z%k == 0 und istPrimzahl(k): primfaktoren = primfaktoren + [k] z = z // k SONST: primfaktoren = primfaktoren + [z] z = 1 Rückgabe: primfaktoren nichtdeterministisch Der nichtdeterministische Algorithmus hat eine polynomiale Zeitkomplexität.

53 53 Die Klassen P und NP Zur Klasse P gehört das Problem des Primzahltests („PRIMES“). P bezeichnet die Klasse der Probleme, die mit einem Algorithmus mit polynomialer Zeitkomplexität gelöst werden können. Jedes Problem aus P gehört auch zu NP. Zur Klasse NP gehört auch das Problem der Primfaktorzerlegung („FACTORIZE“). NP bezeichnet die Klasse der Probleme, die mit einem nichtdeterministischen Algorithmus mit polynomialer Zeitkomplexität gelöst werden können.

54 54 NP-vollständige Probleme Ein Problem p* heißt NP-vollständig genau dann, wenn es in der Komplexitätsklasse NP liegt (d.h. mit einem nichtdeterministischen Algorithmus mit polynomialer Komplexität gelöst werden kann) und wenn jedes Problem p aus NP auf p* polynomial reduzierbar ist. NP-vollständige Probleme spielen bei der Klärung der Frage P=NP? eine zentrale Rolle. Wenn es gelingt, ein NP-vollständiges Problem p* mit einem Algorithmus mit polynomialer Komplexität zu lösen, dann ist die Aussage P=NP bewiesen. Denn, NP-Vollständigkeit bedeutet ja, dass jedes Problem p aus NP auf p* polynomial reduzierbar ist. Aus einem polynomialen Algorithmus für p* lässt sich dann ein polynomialer Algorithmus für jedes p aus NP erzeugen. Zur Klärung der Frage P=NP? konzentriert man sich also auf das Lösen NP-vollständiger Probleme. NP p* p p p <=

55 55 Ein NP-vollständiges Problem Hamilton-Problem: Gegeben ist ein Graph mit seinen Knoten und Kanten. Gesucht ist eine Rundreise durch den Graphen, in der jeder Knoten genau einmal vorkommt - nur Start- und Zielknoten kommen genau zweimal vor. Eine solche Rundreise wird auch Hamiltonkreis genannt.

56 56 P = NP? Es gibt inzwischen eine Vielzahl von Problemen, die als NP-vollständig nachgewiesen sind. Zu diesen Problemen gehört das Hamilton-Problem. Alle Versuche, ein NP-vollständiges Problem mit einem polynomialen Algorithmus zu lösen, sind bisher fehlgeschlagen. Die NP-vollständigen Probleme erweisen sich also als "harte Nüsse" und gelten als schwer lösbare Probleme. Aufgrund der vielen fehlgeschlagenen Versuche, einen polynomialen Lösungsalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem zu finden, vermutet man, dass die Frage P=NP? negativ zu beantworten ist. Sollte es dennoch gelingen, ein NP-vollständiges Problem mit einem polynomialen Algorithmus zu lösen, so lässt sich jedes andere Problem aus deer Klasse NP (als auch das Faktorisierungsproblem) mit einem polynomialen Algorithmus lösen.


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