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Veröffentlicht von:Utz Mundis Geändert vor über 10 Jahren
1
Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2)
2
Organisatorisches Heimübungsblatt 4 Praktikum
Aufgabe 1 wurde ausgetauscht Falls Sie die alte 1 bereits gemacht haben, geben Sie sie mit ab Praktikum Ab dem nächsten Blatt (Blatt 9) fließt nur noch eine Aufgabe der Präsenzübung in die Wertung ein Weitere Aufgaben sind optional
3
Stand der Dinge Gierige Algorithmen Beobachtung
Konstruiere Lösung Schritt für Schritt In jedem Schritt: Optimiere ein einfaches, lokales Kriterium Beobachtung Man kann viele unterschiedliche gierige Algorithmen für ein Problem entwickeln Nicht jeder dieser Algorithmen löst das Problem korrekt
4
Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 2 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3
5
O.b.d.A. Resource steht ab Zeitpunkt 0 zur Verfügung
Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 2 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 O.b.d.A. Resource steht ab Zeitpunkt 0 zur Verfügung
6
Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1
Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 2 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1 Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1
7
Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 2 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Aufgabe 2: Fertig zu Zeitpunkt 3 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1 2 Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1
8
Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 2 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Aufgabe 2: Fertig zu Zeitpunkt 3 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1 2 3 Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1 Aufgabe 3: Fertig zu Zeitpunkt 6
9
Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 2 Länge 1 Alle Aufgaben sind rechtzeitig fertig! Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Aufgabe 2: Fertig zu Zeitpunkt 3 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1 2 3 Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1 Aufgabe 3: Fertig zu Zeitpunkt 6
10
Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3
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Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1
12
Stand der Dinge Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1 2
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Aufgabe 2 wird zu spät beendet
Stand der Dinge Scheduling mit Deadlines Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 wird zu spät beendet Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1 2
14
Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 2
15
Aufgabe 1 wird zu spät beendet
Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 1 wird zu spät beendet Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 2 1
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Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die Deadlines einhalten! Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3
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Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die Deadlines einhalten! Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1
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Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die Deadlines einhalten! Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1 2
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Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die Deadlines einhalten! Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1 2 Aufgabe 2: Verspätung 1
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Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die Deadlines einhalten! Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1 2 3 Aufgabe 2: Verspätung 1
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Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines
Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die Deadlines einhalten! Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1 2 3 Aufgabe 2: Verspätung 1 Aufgabe 3: Verspätung 2
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Minimiere maximale Verspätung
Gierige Algorithmen Scheduling mit Deadlines Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll Ziel: Minimiere maximale Verspätung Deadline 4 Länge 1 Aufgabe 1 1 Deadline 4 Länge 2 Aufgabe 2 2 Länge 3 Deadline 6 Aufgabe 3 3 1 2 3 Aufgabe 2: Verspätung 1 Aufgabe 3: Verspätung 2
23
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6
24
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 1 Keine Verspätung
25
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 1 5 Keine Verspätung
26
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 1 5 3 Keine Verspätung
27
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 1 5 3 4 Keine Verspätung
28
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 1 5 3 4 2 Verspätung 5
29
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 1 5 3 4 2 6 Verspätung 3
30
Maximale Verspätung durch Aufgabe 2
Gierige Algorithmen Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 Maximale Verspätung durch Aufgabe 2 (5 Zeiteinheiten) 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 1 5 3 4 2 6
31
Maximale Verspätung durch Aufgabe 2
Gierige Algorithmen Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität? Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 Maximale Verspätung durch Aufgabe 2 (5 Zeiteinheiten) 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 1 5 3 4 2 6
32
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität? Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 Keine Verspätung
33
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität? Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 Keine Verspätung
34
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität? Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3 Keine Verspätung
35
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität? Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3 4 Verspätung 2
36
Gierige Algorithmen Strategie 1
Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität? Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3 4 1 Keine Verspätung
37
Maximale Verspätung durch Aufgabe 6
Gierige Algorithmen Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität? Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Maximale Verspätung durch Aufgabe 6 (3 Zeiteinheiten) Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3 4 1 6
38
Maximale Verspätung durch Aufgabe 6
Gierige Algorithmen Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität? Problem: Ignoriert Deadlines völlig Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Maximale Verspätung durch Aufgabe 6 (3 Zeiteinheiten) Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3 4 1 6
39
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6
40
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Spielraum 8 Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6
41
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Deadline 9 1 Deadline 4 2 Spielraum 4 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6
42
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Deadline 9 1 Spielraum 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 2
43
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Spielraum 2 Deadline 3 5 Deadline 9 6 2 5
44
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Deadline 9 1 Deadline 4 2 Spielraum 4 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 2 5 3
45
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Spielraum 4 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 2 5 3 4
46
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Spielraum 6 Deadline 9 6 2 5 3 4 6
47
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Spielraum 8 Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 2 5 3 4 6 1
48
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 2 5 3 4 6 1 Verspätung 3
49
Optimal für unsere Eingabe
Gierige Algorithmen Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Optimal für unsere Eingabe Deadline 3 5 Deadline 9 6 2 5 3 4 6 1 Verspätung 3
50
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Optimalität? Spielraum 2 Deadline 3 1 Deadline 9 2 Spielraum 0
51
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Optimalität? Spielraum 2 Deadline 3 1 Deadline 9 2 Spielraum 0 2
52
Gierige Algorithmen Strategie 2
Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Optimalität? Spielraum 2 Deadline 3 1 Deadline 9 2 Spielraum 0 2 1 Verspätung 7
53
Optimale Lösung hat nur Verspätung 1
Gierige Algorithmen Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Optimalität? Spielraum 2 Deadline 3 1 Optimale Lösung hat nur Verspätung 1 Deadline 9 2 Spielraum 0 1 2 Verspätung 1
54
Gierige Algorithmen Strategie 3
Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6
55
Gierige Algorithmen Strategie 3
Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5
56
Gierige Algorithmen Strategie 3
Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2
57
Gierige Algorithmen Strategie 3
Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3
58
Gierige Algorithmen Strategie 3
Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3 4
59
Gierige Algorithmen Strategie 3
Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3 4 6
60
Gierige Algorithmen Strategie 3
Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3 4 6 1 Verspätung 3
61
Gierige Algorithmen Strategie 3
Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Lösung optimal! Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3 4 6 1 Verspätung 3
62
Gierige Algorithmen Strategie 3
Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Algorithmus ist optimal! Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Lösung optimal! Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3 4 6 1 Verspätung 3
63
Komisch, da Strategie unabhängig von der Länge der Aufträge
Gierige Algorithmen Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Algorithmus ist optimal! Komisch, da Strategie unabhängig von der Länge der Aufträge Deadline 9 1 Deadline 4 2 Deadline 6 3 Deadline 6 4 Deadline 3 5 Deadline 9 6 5 2 3 4 6 1 Verspätung 3
64
Gierige Algorithmen Formale Problemformulierung Wichtige Annahme
Problem: Scheduling mit Deadline Eingabe: Felder t und d t[i] enthält Länge des i-ten Intervals d[i] enthält Deadline Ausgabe: Startzeitpunkte der Intervalle Wichtige Annahme Eingabe sortiert nach Deadlines d[1]d[2]…d[n]
65
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 1 2 3
66
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 1 2 3
67
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 1 2 3
68
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 1 2 3 z
69
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 i 1 2 3 z
70
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 i 1 2 3 1 z
71
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 i 1 2 3 1 z
72
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 1 i 2 3 1 z
73
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 1 i 2 3 1 2 z
74
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 1 i 2 3 1 2 z
75
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 1 2 i 3 1 2 z
76
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 1 2 i 3 1 2 3 z
77
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 1 2 i 3 1 2 3 z
78
Gierige Algorithmen LatenessScheduling(t,d) n length[t]
new array A[1..n] z 0 for i 1 to n do A[i] z z z + t[i] return A t 1 4 2 d 3 6 1 2 i 3 1 2 3 z
79
Gierige Algorithmen Beobachtung
Es gibt eine optimale Lösung ohne Leerlaufzeit. 1 2 3 Leerlauf
80
Gierige Algorithmen Lemma 34 Definition
Alle Lösungen ohne Inversionen und Leerlaufzeit haben dieselbe maximale Verzögerung. Definition Lösung hat Inversion, wenn Aufgabe i Mit Deadline d vor Aufgabe j mit Deadline d < d bearbeitet wird. 1 2 3 i j i 1 3 2 j i Inversion
81
Gierige Algorithmen Lemma 34 Beweis
Alle Lösungen ohne Inversionen und Leerlaufzeit haben dieselbe maximale Verzögerung. Beweis Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d.
82
Gierige Algorithmen Lemma 34 Beweis
Alle Lösungen ohne Inversionen und Leerlaufzeit haben dieselbe maximale Verzögerung. Beweis Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d. In beiden Schedules werden alle Aufgaben mit Deadline d nacheinander ausgeführt.
83
Gierige Algorithmen Lemma 34 Beweis
Alle Lösungen ohne Inversionen und Leerlaufzeit haben dieselbe maximale Verzögerung. Beweis Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d. In beiden Schedules werden alle Aufgaben mit Deadline d nacheinander ausgeführt. Unter den Aufgaben mit Deadline d hat die letzte die größte Verzögerung und diese hängt nicht von der Reihenfolge der Aufgaben ab.
84
Gierige Algorithmen Lemma 34 Beweis
Alle Lösungen ohne Inversionen und Leerlaufzeit haben dieselbe maximale Verzögerung. Beweis Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d. In beiden Schedules werden alle Aufgaben mit Deadline d nacheinander ausgeführt. Unter den Aufgaben mit Deadline d hat die letzte die größte Verzögerung und diese hängt nicht von der Reihenfolge der Aufgaben ab.
85
Gierige Algorithmen Lemma 35
Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. 1 2 3 1 2 3
86
Ohne Inversionen und Leerlauf:
Gierige Algorithmen Lemma 35 Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. 1 2 3 Ohne Inversionen und Leerlauf: Also optimal! 1 2 3
87
Gierige Algorithmen Lemma 35 Beweis a b
Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. Beweis Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so dass j direkt nach i auftritt und d < d ist. (D.h. eine Inversion von aufeinanderfolgenden Aufgaben) j i Deadline 9 Deadline 5 a b Deadline 9
88
Gierige Algorithmen Lemma 35 Beweis a b
Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. Beweis Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so dass j direkt nach i auftritt und d < d ist. (D.h. eine Inversion von aufeinanderfolgenden Aufgaben) j i Deadline 9 Deadline 5 a b Deadline 9
89
Gierige Algorithmen Lemma 35 Beweis a b
Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. Beweis Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so dass j direkt nach i auftritt und d < d ist. (D.h. eine Inversion von aufeinanderfolgenden Aufgaben) j i Deadline 9 Deadline 5 a b Spätestens hier Inversion von aufeinander folgenden Aufgaben
90
Gierige Algorithmen Lemma 35 Beweis a b
Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. Beweis Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so dass j direkt nach i auftritt und d < d ist. (D.h. eine Inversion von aufeinanderfolgenden Aufgaben) j i Deadline 9 Deadline 5 a b Spätestens hier Inversion von aufeinander folgenden Aufgaben
91
Gierige Algorithmen Lemma 35 Beweis
Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. Beweis Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst (b) Nach dem Austauschen von einer benachbarten Inversion i und j erhalten wir ein Schedule mit einer Inversion weniger. Es wird die Inversion von i und j durch das Vertauschen aufgehoben und es wird keine neue Inversion wird erzeugt.
92
Gierige Algorithmen Lemma 35 Beweis d d i j
Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. Beweis Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung. d j d i i j Aufeinander folgende Inversion (i,j)
93
Verzögerung von j wird kleiner
Gierige Algorithmen Lemma 35 Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. Beweis Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung. Verzögerung von j wird kleiner d j d i j i Vertausche i und j
94
Verzögerung von i wird größer!
Gierige Algorithmen Lemma 35 Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. Beweis Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung. Verzögerung von i wird größer! d j d i j i Vertausche i und j
95
Ist aber kleiner als Verzögerung von j vor Vertauschung!
Gierige Algorithmen Lemma 35 Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. Beweis Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung. Ist aber kleiner als Verzögerung von j vor Vertauschung! d j d i j i Vertausche i und j
96
Ist aber kleiner als Verzögerung von j vor Vertauschung!
Gierige Algorithmen Lemma 35 Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. Beweis Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung. Ist aber kleiner als Verzögerung von j vor Vertauschung! d j d i j i Vertausche i und j
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Gierige Algorithmen Formaler Beweis von (c) d r
Notation für O: Aufgabe r wird im Invervall [s(r),f(r)] ausgeführt und hat Verzögerung l(r). Sei L = max l(r) die maximale Verzögerung dieses Schedules. Notation für das Schedule O* nach Austauschen: s*(r), f*(r), l*(r) und L* mit der entsprechenden Bedeutung wie oben. s(r), s*(r) heißt Startzeit f(r), f*(r) heißt Abarbeitungszeit d r l(r) r s(r) f(r)
98
Gierige Algorithmen Formaler Beweis von (c) d d i j
Betrachten wir nun die benachbarte Inversion von i und j. Die Abarbeitungszeit f(j) von j vor dem Austauschen ist gleich der Abarbeitungszeit f*(i) von i nach dem Austauschen. Daher haben alle anderen Aufgaben vor und nach dem Tauschen dieselbe Abarbeitungszeit. d j d i f(i) f(j) i j Aufeinander folgende Inversion (i,j)
99
Gierige Algorithmen Formaler Beweis von (c) d d j i
Betrachten wir nun die benachbarte Inversion von i und j. Die Abarbeitungszeit f(j) von j vor dem Austauschen ist gleich der Abarbeitungszeit f*(i) von i nach dem Austauschen. Daher haben alle anderen Aufgaben vor und nach dem Tauschen dieselbe Abarbeitungszeit. Für Aufgabe j ist das neue Schedule besser, d.h. f*(j)<f(j). d j f*(j) f*(i) d i f(i) f(j) j i Aufeinander folgende Inversion (i,j)
100
Gierige Algorithmen Formaler Beweis von (c) d d j i
Betrachte nur Aufgabe i: Nach dem Tauschen ist die Verzögerung l*(i) = f*(i)-d . i d j f*(j) f*(i) d i f(i) f(j) j i l*(i)
101
Gierige Algorithmen Formaler Beweis von (c) d d j i
Betrachte nur Aufgabe i: Nach dem Tauschen ist die Verzögerung l*(i) = f*(i)-d . Wegen d > d folgt l*(i) = f(j) - d < f(j) - d = l(j). Damit wird die maximale Verzögerung nicht erhöht. i i j i j d j f*(j) f*(i) d i f(i) f(j) j i l*(i)
102
Gierige Algorithmen Lemma 35 Beweis
Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit. Beweis (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so dass j direkt nach i auftritt und d < d ist. (b) Nach dem Austauschen von einer benachbarten Inversion i und j erhalten wir ein Schedule mit einer Inversion weniger. (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung. Die Anzahl Inversionen ist zu Beginn höchstens ( ).Wir können (a)-(c) solange anwenden, bis keine Inversionen mehr vorhanden sind. j i n 2
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Gierige Algorithmen Satz 36 Beweis
Die Lösung A, die von Algorithmus LatenessScheduling berechnet wird, hat optimale (d.h. minimale) maximale Verzögerung. Beweis Aus dem ersten Lemma folgt, dass es ein optimales Schedule ohne Inversionen gibt. Aus dem zweiten Lemma folgt, dass alle Schedules ohne Inversionen dieselbe maximale Verzögerung haben. Damit ist die Lösung des gierigen Algorithmus optimal.
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Gierige Algorithmen Zusammenfassung Algorithmische Entwurfsmethoden
Löse globales Optimierungsproblem durch lokale Optimierungsstrategie Liefert häufig recht einfache Algorithmen Funktioniert leider nicht immer und es ist manchmal nicht ganz einfach, die ‚richtige‘ Strategie zu finden Algorithmische Entwurfsmethoden Teile & Herrsche Dynamische Programmierung Gierige Algorithmen
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Datenstrukturen Was ist eine Datenstruktur?
Eine Datenstruktur ist eine Anordnung von Daten, die effizienten Zugriff auf die Daten ermöglicht Datenstrukturen für viele unterschiedliche Anfragen vorstellbar
106
Datenstrukturen Ein grundlegendes Datenbank-Problem Beispiel
Speicherung von Datensätzen Beispiel Kundendaten (Name, Adresse, Wohnort, Kundennummer, offene Rechnungen, offene Bestellungen,…) Anforderungen Schneller Zugriff Einfügen neuer Datensätze Löschen bestehender Datensätze
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Datenstrukturen Zugriff auf Daten Beispiel
Jedes Datum (Objekt) hat einen Schlüssel Eingabe des Schlüssels liefert Datensatz Schlüssel sind vergleichbar (es gibt totale Ordnung der Schlüssel) Beispiel Kundendaten (Name, Adresse, Kundennummer) Schlüssel: Name Totale Ordnung: Lexikographische Ordnung
108
Datenstrukturen Zugriff auf Daten Beispiel:
Jedes Datum (Objekt) hat einen Schlüssel Eingabe des Schlüssels liefert Datensatz Schlüssel sind vergleichbar (es gibt totale Ordnung der Schlüssel) Beispiel: Kundendaten (Name, Adresse, Kundennummer) Schlüssel: Kundennummer Totale Ordnung: ‚‘
109
Datenstrukturen Problem: Operationen:
Gegeben sind n Objekte O ,.., O mit zugehörigen Schlüsseln s(O ) Operationen: Suche(x); Ausgabe O mit Schlüssel s(O) =x; nil, falls kein Objekt mit Schlüssel x in Datenbank Einfügen(O); Einfügen von Objekt O in Datenbank Löschen(O); Löschen von Objekt O mit aus der Datenbank 1 n i
110
Datenstrukturen Vereinfachung: Analyse von Datenstrukturen
Schlüssel sind natürliche Zahlen Eingabe nur aus Schlüsseln Analyse von Datenstrukturen Platzbedarf in Q- bzw. O-Notation Laufzeit der Operationen in Q- bzw. O-Notation
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Datenstrukturen Einfaches Feld n Feld A[1,…,max] Integer n, 1 n max
n bezeichnet Anzahl Elemente in Datenstruktur 13 7 11 6 4 nil n
112
Datenstrukturen Einfügen(s)
if n=max then Ausgabe „Fehler: Kein Platz in Datenstruktur“ else n n+1 A[n] s 13 7 11 6 4 nil n
113
Datenstrukturen Einfügen(s)
if n=max then Ausgabe „Fehler: Kein Platz in Datenstruktur“ else n n+1 A[n] s 13 7 11 6 4 nil n Einfügen(2)
114
Datenstrukturen Einfügen(s)
if n=max then Ausgabe „Fehler: Kein Platz in Datenstruktur“ else n n+1 A[n] s 13 7 11 6 4 2 nil n Einfügen(2)
115
Datenstrukturen Suche(x) n for i 1 to n do if A[i] = x then return i
return nil 13 7 11 6 4 2 nil n
116
Datenstrukturen Löschen(i) n Annahme:
Wir bekommen Index i des zu löschenden Objekts Löschen(i) A[i] A[n] A[n] nil n n-1 13 7 11 6 4 2 nil n
117
Datenstrukturen Löschen(i) n A[i] A[n] A[n] nil n n-1 13 7 11 6
4 2 nil n Löschen(2)
118
Datenstrukturen Löschen(i) n A[i] A[n] A[n] nil n n-1 13 2 11 6
4 nil n Löschen(2)
119
Datenstrukturen Datenstruktur Feld Vorteile Nachteile
Platzbedarf Q(max) Laufzeit Suche: Q(n) Laufzeit Einfügen/Löschen: Q(1) Vorteile Schnelles Einfügen und Löschen Nachteile Speicherbedarf abhängig von max (nicht vorhersagbar) Hohe Laufzeit für Suche
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Datenstrukturen Datenstruktur „sortiertes Feld“ A
Sortiertes Feld A[1,…,max] Integer n, 1 n max n bezeichnet Anzahl Elemente in Datenstruktur 2 4 6 7 11 13 nil A n
121
Datenstrukturen Einfügen(s) n n+1 i n while s < A[i-1] do
A[i] A[i-1] i i -1 A[i] s 2 4 6 7 11 13 nil n Einfügen(10)
122
Datenstrukturen Einfügen(s) n n+1 i n while s < A[i-1] do
A[i] A[i-1] i i -1 A[i] s 2 4 6 7 11 13 nil n Einfügen(10)
123
Datenstrukturen Einfügen(s) n n+1 i n while s < A[i-1] do
A[i] A[i-1] i i -1 A[i] s 2 4 6 7 11 13 nil n Einfügen(10)
124
Datenstrukturen Einfügen(s) n n+1 i n while s < A[i-1] do
A[i] A[i-1] i i -1 A[i] s 2 4 6 7 11 13 nil n Einfügen(10)
125
Datenstrukturen Einfügen(s) n n+1 i n while s < A[i-1] do
A[i] A[i-1] i i -1 A[i] s Laufzeit O(n) 2 4 6 7 10 11 13 nil n Einfügen(10)
126
Datenstrukturen Löschen(i)
Parameter ist der Index des zu löschenden Objekts Löschen(i) for j i to n-1 do A[j] A[j+1] A[n] nil n n-1 2 4 6 7 11 13 nil n
127
Datenstrukturen Löschen(i)
Parameter ist der Index des zu löschenden Objekts Löschen(i) for j i to n-1 do A[j] A[j+1] A[n] nil n n-1 2 4 6 7 11 13 nil n Löschen(2)
128
Datenstrukturen Löschen(i)
Parameter ist der Index des zu löschenden Objekts Löschen(i) for j i to n-1 do A[j] A[j+1] A[n] nil n n-1 i 2 4 6 7 11 13 nil n Löschen(2)
129
Datenstrukturen Löschen(i) for j i to n-1 do A[j] A[j+1]
A[n] nil n n-1 i 2 4 6 7 11 13 nil n Löschen(2)
130
Datenstrukturen Löschen(i) for j i to n-1 do A[j] A[j+1]
A[n] nil n n-1 i 2 6 7 11 13 nil n Löschen(2)
131
Datenstrukturen Löschen(i) for j i to n-1 do A[j] A[j+1]
A[n] nil n n-1 i 2 6 7 11 13 nil n Löschen(2)
132
Datenstrukturen Löschen(i) for j i to n-1 do A[j] A[j+1]
A[n] nil n n-1 i 2 6 7 11 13 nil n Löschen(2)
133
Datenstrukturen Suchen(x) Binäre Suche Laufzeit O(log n) i 2 6 7 11 13
nil n Löschen(2)
134
Datenstrukturen Datenstruktur sortiertes Feld Vorteile Nachteile
Platzbedarf Q(max) Laufzeit Suche: Q(log n) Laufzeit Einfügen/Löschen: Q(n) Vorteile Schnelles Suchen Nachteile Speicherbedarf abhängig von max (nicht vorhersagbar) Hohe Laufzeit für Einfügen/Löschen
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