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1 Wahrscheinlichkeits- rechnung Eine Einführung nach der Historie.

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Präsentation zum Thema: "1 Wahrscheinlichkeits- rechnung Eine Einführung nach der Historie."—  Präsentation transkript:

1 1 Wahrscheinlichkeits- rechnung Eine Einführung nach der Historie

2 2 Der große Plan Der anrüchige Start Laplace-Wahrscheinlichkeiten 6 aus 49 Das Geburtstagsproblem Bedingte Wahrscheinlichkeiten Kolmogoroffs Befreiungsschlag Was ist Zufall? Würfeln und Zufall Wir stoppen nach spätestens 90 Minuten, wir werden weiter über das Thema reden

3 3 Worüber Sie nichts erfahren Gausssche Normalverteilung Dichtefunktion

4 4 Der Start: Würfeln Würfeln mit einem fairen Würfel Problem A: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln? Problem B: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 oder eine 1 zu würfeln? Problem C: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln?

5 5 Einige Bezeichnungen Zufallsexperiment:Würfeln Ergebnismenge M:{1,2,3,4,5,6} Zufälliges Ereignis: A = {6} B = {6,1} Wahrscheinlichkeit:P(A) =1/6 P(B) =2/6

6 6 Noch einige Bezeichnungen Gegenereignis zu A: Anzahl der Elemente einer Menge X:|X|, z.B. |A| = 1 |B|= 2

7 7 Pierre Simon Laplace 1749 – 1827 Physiker und Mathematiker Mechanik, Kosmologie 1812: Théorie analytique des probabilités

8 8 Laplace-Wahrscheinlichkeiten

9 9 Voraussetzungen: Faire Würfel Man kann schmerzfrei dividieren, also M ist endlich Sie hatten bis jetzt sicher keine Probleme!

10 10 Eine wichtige Eigenschaft P({keine 6}) = 1 – P({eine 6}) = 5/6 Allgemein:

11 11 Eine neue Aufgabe Zweimal würfeln, natürlich fair. A = {mindestens eine 6} P(A) = 2/6?

12 12 Lösung M = {(1,1), (1,2), ….., (6,5), (6,6)} |M| = 36 A = {(1,6), (2,6), …, (6,6), (6,5), …, (6,1)}, also: |A| = 11 und damit: P(A) = 11/36 < 2/6 Kennen Sie eine andere richtige Lösungsmethode?

13 13 Eine Alternative

14 14 Laplace-Wahrscheinlichkeiten Einfaches Konzept Strikte Voraussetzungen Probleme: Wie ermittelt man |M|? Wie ermittelt man |A|? Da fängt der Ärger an, damit fing es an!

15 15 Antoine de Gomband, Chevalier de Méré Ein Zocker, weit besser als sein Ruf Kein Bild verfügbar Er hatte ein Problem (Wette 1, Wette 2) Damit wandte er sich an Pascal, dieser konsultierte Fermat, beide lösten das Problem Dies wurde zur Geburtsstunde der WR.

16 16 Pascal 1623 – 1662 Theologe, Philosoph, Mathematiker, Physiker Einer der Riesen, auf dessen Schultern wir stehen

17 17 Pierre de Fermat 1601 – 1665 First Class Mathematiker, ein Superstar Zahlentheorie, ohne ihn gäbe es keine asymmetrischen Verfahren in der Kryptologie Der große Fermat: Ende der 80ger Jahre bewiesen

18 18 Wette 1 De Méré: Viermal würfeln. A = {mindestens eine 6} Darauf setze ich. Und dies tat er mit Erfolg!

19 19 Wette 1: Die Lösung |M| = 6·6·6·6 = 6 4 A ist kompliziert. Besser:

20 20 Wette 2 De Méré: 24-mal würfeln mit zwei Würfeln B = {mindestens eine Doppelsechs} Darauf setze ich. Und dabei verlor er!

21 21 De Mérés Argument Würfeln mit einem Würfel: C = {eine Sechs}, P(C) = 1/6 Würfeln mit 2 Würfeln D = {Doppelsechs}, P(D) =1/36 P(D) = 1/6P(C). Bei C genügen vier Würfe zum Gewinnen, bei D genügen dann 64 = 24 Würfe.

22 22 Wette 2: Die Lösung |M| = B ist kompliziert. Besser:

23 23 Eine Verallgemeinerung Zweimal Würfeln. Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit p =0,69 mindestens eine Doppelsechs zu erhalten?

24 24 Lösung

25 25 P(A n ) Frage: Warum die vielen Fehleinschätzungen? nP 190,38 200,41 210,44 220,48 230,51 240,54 250,57 260,60 270,63

26 26 P(A n ) allgemein

27 27 P(A n ) De Méré war nahe am Gewinnpunkt nP(An) 200, , , , , , , , ,546

28 28 Historische Note: Samuel Pepys 1633 – 1705 Berühmter Tagebuch- schreiber Wandte sich 1693 mit de Mérés Problem an Newton War mit der richtigen Antwort unzufrieden

29 29 Eine Frage am Ende des Würfelns: Nichtunterscheidbare Würfel Zweimal würfeln. Unterscheidbare Würfel: |M| = 6·6 = 36 P(Doppelsechs) = 1/36 Nicht unterscheidbar: |M| = 21 P(Doppelsechs) = 1/21

30 30 Das Problem: Gibt es nicht unter- scheidbare Würfel? Und wie entscheidet man, welche Annahme richtig ist?

31 31 Das Geburtstagsparadoxon Ein erstaunliches Ergebnis. Vereinfachende Annahmen: Es gibt keine Schaltjahre. Jeder Tag hat als Geburtstag die gleiche Wahrscheinlichkeit.

32 32 Ein einfaches Problem Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass jemand am 1. Januar Geburtstag hat? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit q, dass jemand nicht am 1. Januar Geburtstag hat?

33 33 Lösung p = 1/365 = 0,0027 Im zweiten Fall: q = 364/365 = 1-p = 0,9973

34 34 Eine Verallgemeinerung Gegeben sind n Personen. A n = {mindestens einer hat am 1. Januar Geburtstag} Gesucht: P(A n )

35 35 Lösung Es ist günstig, das Gegenereignis zu betrachten: Ā n = {keiner hat am 1.1. Geburtstag} |M| = 365 n, |Ā n | = 364 n Man erhält: P(A n ) =1-P(Ā n ) = 1-(364/365) n

36 36 Frage: Ab welcher Personenzahl würden Sie darauf wetten, dass mindestens eine Person am 1.1. Geburtstag hat?

37 37 P(A n )

38 38 Geburtstagsproblem 5 Personen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben?

39 39 Lösung Es ist günstig, das Gegenereignis zu betrachten: Ā = {keine zwei haben am gleichen Tag Geburtstag} |M| = | Ā | = Man erhält: P(A) =1-P(Ā) = 0,027

40 40 Das allgemeine Problem: n Personen A n ={mindestens zwei haben am gleichen Tag Geburtstag} Wie groß muss n sein, damit P(A n ) > ½?

41 41 Berechnung von P(A n )

42 42 P(A n )

43 43 Geburtstagsparadox in der Kryptologie Wichtig bei Man in the Middle- Angriffen, wichtig für die Länge von Hashfunktionen bei digitaler Signatur

44 44 Eine Prosavariante des Paradoxons Lincoln-Kennedy- Misterium Erstaunliche Parallelen im Leben Verschwörung? Erklärung: In jeder genügend großen Personengruppe gibt es überraschende Übereinstimmungen Hinweis: Ockhams Messer

45 45 Ockham Prinzip der einfachsten Erklärung Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem (Eine spätere Formulierung)

46 46 Ziehung der Lottozahlen A = {mindestens 4 Richtige} B = {1. gezogene Zahl ist falsch} P(A) 0,001

47 47 Lotto: A = {mindestens 4 Richtige} B = {1. gezogene Zahl ist falsch} P(A) 0,001 P(A|B) = Wahrscheinlichkeit für A, wenn B eingetreten ist. Bedingte Wahrscheinlichkeit

48 48 Lotto: A = {mindestens 4 Richtige} B = {1. gezogene Zahl ist falsch} P(A) 0,001 P(A|B)0,0004 P(A|nicht B) 0,005 Bedingte Wahrscheinlichkeit

49 49 Bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A|B) = Wahrscheinlichkeit für A, wenn B eingetreten ist. Berechnung:

50 50 Eine Aufgabe: Zwei Urnen: U 1 und U 2. U 1 : 6 rote Kugeln, 6 blaue Kugeln U 2 : 4 rote Kugeln, 8 blaue Kugeln Eine Urne wird zufällig ausgewählt: P(U 1 ) =1/3, P(U 2 ) = 2/3 Aus der gewählten Urne wird eine Kugel entnommen. P(blau) = ?

51 51 Lösung

52 52 Eine Baumdarstellung:

53 53 Die berühmte Umkehrung Thomas Bayes 1702 – Essay towards solving a problem in the doctrine of chances

54 54 P(A|B) = ?

55 55 Satz von Bayes

56 56 Peter Gauweiler Kantiger Politiker, empfahl Anfang in den achtziger Jahren einen flächendeckenden Aidstest

57 57 Eine Anwendung A = positiv B = Test sagt positiv P(A) =0,0001 P(B|A)=0,999 P(B|Ā)=0,01 P(A|B) =?

58 58 Überrascht?

59 59 Die Grenzen der Laplace- Methode: Voraussetzungen: 1.Fairness 2.|M| <

60 60 Kolmogoroffs neue Sicht Andrey N. Kolmogoroff 1903 – : Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeits- rechnung

61 61 Axiome für Wahrscheinlichkeiten Gegeben ist ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge M. E sei die Menge aller zufälligen Ereignisse. Eine Wahrscheinlichkeit P ist eine Abbildung P: E R mit:

62 62 Axiome:

63 63 Bedeutung: Beginn der modernen Wahrscheinlichkeits- rechnung Beginn der modernen Statistik Einige Protagonisten: Richard von Mises, Paul Lévy, Boris Gnedenko, William Feller,

64 64 Neue Probleme: Mathematisch: –Was sind zufällige Ereignisse? –Oder welche Mengen sind messbar? –Stochastische Prozesse (zeitliche Zufallsabläufe)?

65 65 Neue Probleme: Ks Axiome sagen, wie man mit Wahrscheinlichkeiten rechnet, wenn man sie hat. Sie sagen nicht, wie man sie bestimmt.

66 66 Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten: Die a-priori-Methode Die statistische Methode Die Methode der subjektiven Wahr- scheinlichkeiten

67 67 Viele offene Fragen Grundsätzlich: Was ist Zufall? Grundsätzlich: Was macht Würfeln zufällig? Psychologisch: Woher die vielen Fehleinschätzungen, die Paradoxa? Und: Warum ist die Glockenkurve so wichtig?

68 68 Haben Sie noch Fragen?

69 69 Es gibt noch viel zu berichten: Wie ist es beim Lotto? (Kombinatorik) Wie erzeugt man Zufallszahlen? Und was hat es mit dem Ziegenproblem auf sich?

70 70 Literaturtipps Von Randow: Das Ziegenproblem rororo ,90 Monk u.a.: Gewinnen mit Wahrscheinlichkeit rororo 2002Vergriffen Basieux:Die Welt als Roulette rororo 19958,50 Büchter/HennElementare Stochastik Springer ,95 Szekely:Paradoxa Harri Deutsch ,80

71 71 Wenn Sie mehr wissen wollen : Da werden Sie geholfen. Geschichte der Mathematik:

72 72 Weiter im September: Mit Kombinatorik Für die Lange Nacht suchen wir Mitstreiter

73 73 Zum Ende eine CD-Rom Mit den Tholeyer Vorträgen Mit nützlichen Programmen


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