Teilchenbewegung in elektrischen und magnetischen Feldern

Präsentation zum Thema: "Teilchenbewegung in elektrischen und magnetischen Feldern"—  Präsentation transkript:

1 Teilchenbewegung in elektrischen und magnetischen Feldern
Elektrisches Feld: Lorentzkraft Magnetfeld: B + in Feldrichtung: rechtsherum linksherum Elektron Ion Teilchenbewegung durch Ueberlagerung von elektrischen und magnetischen Feldern Nur E-Feld: Beschleunigung in Richtung des E-Feldes Nur B-Feld: Lorentz-Kraft senkrecht zu B und v, fuehrt auf Kreisbewegung, keine Beschl. Parallel zum MF E-Felder in Plasmen sind relativ klein (Abschirmung!), aber B-Felder koennen sehr gross sein!

2 Reines (homogenes) Magnetfeld
Gyrationsfrequenz: Zentrifugalkraft = Lorentzkraft Gyrationsfrequenz ergibt sich aus Kompensation der Zentrifugalkraft auf einer Kreisbahn (m omega^2 r) und der Lorentzkraft (q omega r B) -> omega= |q| B/m Frequenz ist positiv, aber Vorzeichen von q entscheidet ueber Drehsinn Elektronenfrequenz >> Ionenfrequenz (Massenverhaeltnis), om_ce[Hz]= ^11 B[T] In Fusionsplasmen: f_ci~30-60 MHz, f_ce~ GHz Gyrationsradius: aus gegebenem omega und v_perp=r omega, ausserdem ½ m v_perp^2=k_B T (2 Freiheitsgrade senkrecht zu B) -> Gyrationsradien in thermischen Plasmen Bsp: Fusionsplasma bei 2T, 1 keV: R_Le=53 mu m, r_Li=2.2mm -> Gyrationsradien viel kleiner als Systemlaenge, d.h magnetisiertes Plasma (Teilchen folgen Feldlinien, wegen endlicher Parallelgeschwindigkeit ist Bewegung auf Schraubenlinie laengs des Magnetfeldes) Teilchenbewegung erzeugt Kreisstrom, der MF erzeugt, das urspruenglichem MF entgegengerichtet ist, d.h. ein Einzelteilchen verhaelt sich Diagmagnetisch (wegen Stromdefinition an Ionenbewegung) . Frequenz positiv, aber Vorzeichen der Ladung entscheidet über Drehsinn

3 Gyration im Magnetfeld
Gyrationsfrequenz: Fusionsplasmen: Ionen: 30 … 60 MHz (Kurzwelle) Elektronen: … 150 GHz (mm-Wellen) Technische Plasmen (0.1 T) Elektronen: GHz (Mikrowelle)

4 Reines (homogenes) Magnetfeld
Gyrationsradius: 2 Freiheitsgrade in Senkrechtbewegung: Gyrationsfrequenz ergibt sich aus Kompensation der Zentrifugalkraft auf einer Kreisbahn (m omega^2 r) und der Lorentzkraft (q omega r B) -> omega= |q| B/m Frequenz ist positiv, aber Vorzeichen von q entscheidet ueber Drehsinn Elektronenfrequenz >> Ionenfrequenz (Massenverhaeltnis), om_ce[Hz]= ^11 B[T] In Fusionsplasmen: f_ci~30-60 MHz, f_ce~ GHz Gyrationsradius: aus gegebenem omega und v_perp=r omega, ausserdem ½ m v_perp^2=k_B T (2 Freiheitsgrade senkrecht zu B) -> Gyrationsradien in thermischen Plasmen Bsp: Fusionsplasma bei 2T, 1 keV: R_Le=53 mu m, r_Li=2.2mm -> Gyrationsradien viel kleiner als Systemlaenge, d.h magnetisiertes Plasma (Teilchen folgen Feldlinien, wegen endlicher Parallelgeschwindigkeit ist Bewegung auf Schraubenlinie laengs des Magnetfeldes) Teilchenbewegung erzeugt Kreisstrom, der MF erzeugt, das urspruenglichem MF entgegengerichtet ist, d.h. ein Einzelteilchen verhaelt sich Diagmagnetisch (wegen Stromdefinition an Ionenbewegung) .

5 Gyration im Magnetfeld
Gyrationsradius: 10 keV Elektron im Erdmagnetfeld ( T): m Sonnenwind-Proton, v=300 km/s, T: 626 km 1 keV He+ ion in Sonnenatmosphäre ( T): m 3.5 MeV He2+ in 8T Fusionsreaktor: cm heutige Fusionsexperimente (2T, 1 keV): Elektronen: 53 mm Ionen: mm

6 Reines (homogenes) Magnetfeld
Gyrationsfrequenz: Gyrationsradius: Einzelteilchen verhält sich diamagnetisch Gyrationsfrequenz ergibt sich aus Kompensation der Zentrifugalkraft auf einer Kreisbahn (m omega^2 r) und der Lorentzkraft (q omega r B) -> omega= |q| B/m Frequenz ist positiv, aber Vorzeichen von q entscheidet ueber Drehsinn Elektronenfrequenz >> Ionenfrequenz (Massenverhaeltnis), om_ce[Hz]= ^11 B[T] In Fusionsplasmen: f_ci~30-60 MHz, f_ce~ GHz Gyrationsradius: aus gegebenem omega und v_perp=r omega, ausserdem ½ m v_perp^2=k_B T (2 Freiheitsgrade senkrecht zu B) -> Gyrationsradien in thermischen Plasmen Bsp: Fusionsplasma bei 2T, 1 keV: R_Le=53 mu m, r_Li=2.2mm -> Gyrationsradien viel kleiner als Systemlaenge, d.h magnetisiertes Plasma (Teilchen folgen Feldlinien, wegen endlicher Parallelgeschwindigkeit ist Bewegung auf Schraubenlinie laengs des Magnetfeldes) Teilchenbewegung erzeugt Kreisstrom, der MF erzeugt, das urspruenglichem MF entgegengerichtet ist, d.h. ein Einzelteilchen verhaelt sich Diagmagnetisch (wegen Stromdefinition an Ionenbewegung) . Elektron Ion

7 Gyration kann man für Diagnostik und Heizung nutzen
Temperaturmessung: wegen beschleunigter Bewegung Strahlung bei Gyrationsfrequenz Strahlung optisch dick  T aus B(T) Temperatur ~ Intensität Gyration entspricht Beschleunigung der Ladung, daher strahlt Elektron mit Gyrationsfrequenz (und wegen relativistischer Effekte auch bei den Harmonischen) ab Emissivitaet vor allem bei Grundfrequenz und niedrigen Oberwellen sehr hoch, so dass Strahlung oft optisch dick ist, dann kann man aus Absolutintensitaet Wegen B_nu(T) eine Elektronen-Temperatur zuordnen Gyrationsfreqeunz ist bei viel kleineren Werten als Maximum der Planck-Kurve, man kann fuer kleine Frequenzen entwickeln ->Strahlung proportional zu T (entspricht Rayleigh-Jeans-Gesetz) Ort der Temperaturmessung laesst sich im inhomogenen Magnetfeld direkt aus Gyrationsfrequenz (~B) bestimmen Fuer Ionen geht das nicht, da Strahlung wegen geringerer Kreisbeschleunigung viel geringer und daher nicht optisch dick ist Heizung durch Einstrahlung von Wellen an Elektronen- oder Ionen-Zyklotronfrequenz (siehe Plasmawellen)

8 Gyration kann man für Diagnostik und Heizung nutzen
Temperaturmessung: wegen beschleunigter Bewegung Strahlung bei Gyrationsfrequenz Strahlung optisch dick  T aus B(T) Gyration entspricht Beschleunigung der Ladung, daher strahlt Elektron mit Gyrationsfrequenz (und wegen relativistischer Effekte auch bei den Harmonischen) ab Emissivitaet vor allem bei Grundfrequenz und niedrigen Oberwellen sehr hoch, so dass Strahlung oft optisch dick ist, dann kann man aus Absolutintensitaet Wegen B_nu(T) eine Elektronen-Temperatur zuordnen Gyrationsfreqeunz ist bei viel kleineren Werten als Maximum der Planck-Kurve, man kann fuer kleine Frequenzen entwickeln ->Strahlung proportional zu T (entspricht Rayleigh-Jeans-Gesetz) Ort der Temperaturmessung laesst sich im inhomogenen Magnetfeld direkt aus Gyrationsfrequenz (~B) bestimmen Fuer Ionen geht das nicht, da Strahlung wegen geringerer Kreisbeschleunigung viel geringer und daher nicht optisch dick ist Heizung durch Einstrahlung von Wellen an Elektronen- oder Ionen-Zyklotronfrequenz (siehe Plasmawellen) Plasmaheizung: Einstrahlen von Wellen bei ce oder ci (bzw. doppelte Frequenz), siehe Kapitel Plasmawellen

9 Teilchendriften Bewegungsgleichung: “guiding centre” Ansatz
Bei zusätzlicher Kraft F keine einfachen Kreisbahnen mehr “guiding centre” Ansatz (für B(r,t), F(r,t) = const) Zusaetzlich zur Lorentz-Kraft kann weiter Kraft auftreten (z.B. elektrisches Feld). MF beeinflusst nur Dynamik senkrecht zu B Fuer raeumlich und zeitlich konstantes MF und F: guiding centre Ansatz: die durch F verursachte Bewegung wird Gyration ueberlagert -> Bewegung des “Fuehrungszentrums” (r_c) (Kreismittelpunkt) ueberlagert durch Gyration (r_g) um Fuehrungszentrum herum r_g wird genommen mit Betrag des Lamor-Radius, Richtung gewaehlt, so dass Vektor zum Zentrum zeigt

10 Teilchendriften durch Kraft senkrecht zum MF
Bewegungsgleichung für Führungszentrum: Bewegungsgleichung mit v=dr/dt und Bewegungsgleicgung fuer v (vxB)xB=(v B)B-B^2v= B^2 v_|| -B^2 v = -B^2 v_perp Parallele Bewegung gegeben durch m d^2v_||dt^2=F_|| Senkrechte Bewegung ist Drift, denn trotz konstanter Kraft keine Beschleunigung, Nur der Teil der Kraft senkrecht zum MF fuehrt auf Drift

11 Teilchendriften durch Kraft senkrecht zum MF
Führungszentrum: Umformen mit Vektor-Identität: Bewegungsgleichung mit v=dr/dt und Bewegungsgleicgung fuer v (vxB)xB=(v B)B-B^2v= B^2 v_|| -B^2 v = -B^2 v_perp Parallele Bewegung gegeben durch m d^2v_||dt^2=F_|| Senkrechte Bewegung ist Drift, denn trotz konstanter Kraft keine Beschleunigung, Nur der Teil der Kraft senkrecht zum MF fuehrt auf Drift Kraft senkrecht zum MF führt zu Drift senkrecht zur Kraft und zum MF:

12 ExB-Drift: E  B Ion wird beschleunigt, = größerer Gyroradius Elektron wird gebremst, = kleinerer Bild: Hier angenommmen, dass beide Teilchen: e und I sich parallel zum MF in gleiche Richtung bewegen (das ist bei Bewegung wegen angelegtem E-Feld natuerlich nciht der Fall), Beschl. wegen Def. des E-Feldes (+-> -), graue Pfeile zeigen Driftrichtung (rote und blaube Bewegubgsrichtung) Aenderung des Gyrationsradius wegen Aenderung der Senkrechtgeschw. (E-Feld beschl. in Richtung des Feldes, die ist senkrecht zu B) - Drift ist ladungsunabhaengig und produziert daher keinen Strom Drift verschwindet im mitbewegten System: Lorentz-Transformation: man kann ein neues E-Feld einfuehren: E’= E + v_D x B, das ist das E-Feld fuer mitbewegtes System, E-Feld durch v_DxB zeigt in entgegengesetzte Richtung von E, V_D x B= (ExB) x B/B^2=-B x (ExB)/B^2= - vec(E) ExB-Drift ist für Elektronen und Ionen gleich groß und hat gleiche Richtung!

13 ExB-Drift:  B Drift verschwindet im mitbewegten System E Elektron Ion
wird beschleunigt, = größerer Gyroradius Elektron wird gebremst, = kleinerer Drift verschwindet im mitbewegten System Bild: Hier angenommmen, dass beide Teilchen: e und I sich parallel zum MF in gleiche Richtung bewegen (das ist bei Bewegung wegen angelegtem E-Feld natuerlich nciht der Fall), Beschl. wegen Def. des E-Feldes (+-> -), graue Pfeile zeigen Driftrichtung (rote und blaube Bewegubgsrichtung) Aenderung des Gyrationsradius wegen Aenderung der Senkrechtgeschw. (E-Feld beschl. in Richtung des Feldes, die ist senkrecht zu B) - Drift ist ladungsunabhaengig und produziert daher keinen Strom Drift verschwindet im mitbewegten System: Lorentz-Transformation: man kann ein neues E-Feld einfuehren: E’= E + v_D x B, das ist das E-Feld fuer mitbewegtes System, E-Feld durch v_DxB zeigt in entgegengesetzte Richtung von E, V_D x B= (ExB) x B/B^2=-B x (ExB)/B^2= - vec(E)

14 ExB-Drift: Anwendung: Ionentriebwerk für interplanetare Missionen + -
Bsp: B=1T, H-Plasma, v=1000 km/s, E-Feld?

15 Andere Kräfte senkrecht zum MF:
Beispiele: Schwerkraft: Zentrifugalkraft: Für ladungsunabhängige Kräfte ist Drift von Elektronen und Ionen in entgegengesetzte Richtung und führt zur Ladungstrennung! Beispiel Schwerkraft:

16 Beispiel Schwerkraft:
plasma . B - + g E F

17 Drift im inhomogenen Magnetfeld
“guiding centre” Ansatz problematisch, außer höheres Feld: kleinerer Gyroradius kleineres Feld: größerer Gyroradius grad B - Bisher war vorausgesetzt, dass MF homogen war, guiding centre bleibt guter Ansatz, so lange grad B << B/r_L Eigentlich ist F=grad(mu B), aber Ringstrom durch Gyration erzeugt (wie auf S.1 dieser Vorlesung) magnetisches Moment, das B entgegengerichtet ist, daher F=-mu B Magnetisches Moment: mit Gyro-Bewegung verbundener Kreisstrom mal von Strom umrandeter Flaeche In einem geraden Leiter der Laenge L : I = q v/ L bei Kreisstrom: L = 2 pi r, I = q v /(2 pi r), v=omega/r -> I = q omega/(2 pi) Flaeche des Kreises: pi r_L^2 Setze Gyrationsfrequenz: omega=q B/m ein und r_L = m v_perp/(qB) Kraft auf geladenes Teilchen im inhomogenen MF:

18 Drift im inhomogenen Magnetfeld
Magnetisches Moment: - Bisher war vorausgesetzt, dass MF homogen war, guiding centre bleibt guter Ansatz, so lange grad B << B/r_L Eigentlich ist F=grad(mu B), aber Ringstrom durch Gyration erzeugt (wie auf S.1 dieser Vorlesung) magnetisches Moment, das B entgegengerichtet ist, daher F=-mu B Magnetisches Moment: mit Gyro-Bewegung verbundener Kreisstrom mal von Strom umrandeter Flaeche In einem geraden Leiter der Laenge L : I = q v/ L bei Kreisstrom: L = 2 pi r, I = q v /(2 pi r), v=omega/r -> I = q omega/(2 pi) Flaeche des Kreises: pi r_L^2 Setze Gyrationsfrequenz: omega=q B/m ein und r_L = m v_perp/(qB)

19 Drift im inhomogenen Magnetfeld
- Bisher war vorausgesetzt, dass MF homogen war, guiding centre bleibt guter Ansatz, so lange grad B << B/r_L Eigentlich ist F=grad(mu B), aber Ringstrom durch Gyration erzeugt (wie auf S.1 dieser Vorlesung) magnetisches Moment, das B entgegengerichtet ist, daher F=-mu B Magnetisches Moment: mit Gyro-Bewegung verbundener Kreisstrom mal von Strom umrandeter Flaeche In einem geraden Leiter der Laenge L : I = q v/ L bei Kreisstrom: L = 2 pi r, I = q v /(2 pi r), v=omega/r -> I = q omega/(2 pi) Flaeche des Kreises: pi r_L^2 Setze Gyrationsfrequenz: omega=q B/m ein und r_L = m v_perp/(qB)

20 Krümmungsdrift Wegen folgt aus endlichem Gradienten von B auch eine Krümmung Bewegung parallel zu gekrümmten Feldlinien, relevante Kraft: Zentrifugalkraft Lokaler Krümmungsradius, im Vakuum: Anschaulich: eine Verstaerkung des MF bedeutet engere MF-Linien, die dabei natuerlich gekruemmt sind - Relevante Kraft: Zentrifugalkraft : - m om (om x r)= m omega^2 vec( r) (wenn omega perp to r) = m v_||^2/r vec( r) - relevanter Radiusvektor ist lokaler Kruemmungsradius

21 Krümmungsdrift Lokaler Krümmungsradius, im Vakuum: In 2D: Allgemein:
Anschaulich: eine Verstaerkung des MF bedeutet engere MF-Linien, die dabei natuerlich gekruemmt sind - Relevante Kraft: Zentrifugalkraft : - m om (om x r)= m omega^2 vec( r) (wenn omega perp to r) = m v_||^2/r vec( r) - relevanter Radiusvektor ist lokaler Kruemmungsradius Allgemein:

22 Krümmungsdrift Anschaulich: eine Verstaerkung des MF bedeutet engere MF-Linien, die dabei natuerlich gekruemmt sind - Relevante Kraft: Zentrifugalkraft : - m om (om x r)= m omega^2 vec( r) (wenn omega perp to r) = m v_||^2/r vec( r) - relevanter Radiusvektor ist lokaler Kruemmungsradius

23 Reines (homogenes) Magnetfeld
Gyrationsfrequenz: Gyrationsradius: Einzelteilchen verhält sich diamagnetisch Gyrationsfrequenz ergibt sich aus Kompensation der Zentrifugalkraft auf einer Kreisbahn (m omega^2 r) und der Lorentzkraft (q omega r B) -> omega= |q| B/m Frequenz ist positiv, aber Vorzeichen von q entscheidet ueber Drehsinn Elektronenfrequenz >> Ionenfrequenz (Massenverhaeltnis), om_ce[Hz]= ^11 B[T] In Fusionsplasmen: f_ci~30-60 MHz, f_ce~ GHz Gyrationsradius: aus gegebenem omega und v_perp=r omega, ausserdem ½ m v_perp^2=k_B T (2 Freiheitsgrade senkrecht zu B) -> Gyrationsradien in thermischen Plasmen Bsp: Fusionsplasma bei 2T, 1 keV: R_Le=53 mu m, r_Li=2.2mm -> Gyrationsradien viel kleiner als Systemlaenge, d.h magnetisiertes Plasma (Teilchen folgen Feldlinien, wegen endlicher Parallelgeschwindigkeit ist Bewegung auf Schraubenlinie laengs des Magnetfeldes) Teilchenbewegung erzeugt Kreisstrom, der MF erzeugt, das urspruenglichem MF entgegengerichtet ist, d.h. ein Einzelteilchen verhaelt sich Diagmagnetisch (wegen Stromdefinition an Ionenbewegung) . Elektron Ion

24 Teilchendriften Bewegungsgleichung: “guiding centre” Ansatz
Bei zusätzlicher Kraft F keine einfachen Kreisbahnen mehr “guiding centre” Ansatz (für B(r,t), F(r,t) = const) Zusaetzlich zur Lorentz-Kraft kann weiter Kraft auftreten (z.B. elektrisches Feld). MF beeinflusst nur Dynamik senkrecht zu B Fuer raeumlich und zeitlich konstantes MF und F: guiding centre Ansatz: die durch F verursachte Bewegung wird Gyration ueberlagert -> Bewegung des “Fuehrungszentrums” (r_c) (Kreismittelpunkt) ueberlagert durch Gyration (r_g) um Fuehrungszentrum herum r_g wird genommen mit Betrag des Lamor-Radius, Richtung gewaehlt, so dass Vektor zum Zentrum zeigt

25 Zusammenfassung Teilchendriften
Kraft senkrecht zum MF führt zu Drift senkrecht zur Kraft und zum MF: ExB-Drift ist für Elektronen und Ionen gleich groß und hat gleiche Richtung! Drift im inhomogenen Magnetfeld Krümmungsdrift

26 Anwendung: Driften in ringförmigen Magnetfeldern
B- und Krümmungsdrift: Man muss die entstehenden E-Felder kurzschliessen, d.h. MF-Linein muessen Komponente von unten nach oben haben, d.h. endliche Steigung Der MF-Linien noetig (im Tokamak fliesst daher Plasmastrom) Ladungstrennung durch B- und Krümmungsdrift führt auf E-Feld, ExB-Drift transportiert Teilchen nach außen

27 Adiabatische Invarianten
Wiederholung aus Mechanik: Invarianten bei periodischer Bewegung p und q: kanonisch konjugierter Impuls und Ort nach periodischer Bewegung Energieänderung =0: Invariante der Bewegung: Fuer periodische Bewegungen neben Energie, Impuls- Drehimpulserhaltung weitere Invarianten der Bewegung,dabei Sind p und q kanonisch konjugierter Ort und Impuls. Hier haben wir es bei der Gyration mit einer fast perioischen Bewegung zu tun, wenn sich MF raeumlich und zeitlich nur langsam aendert Fuer kanonisch konjugierte Koordinaten gilt: H=sum_i (q_i p_i )-L, q_i, p_I: kanonisch konjugierter ort und Impuls H=E_kin+E_pot, L=E_kin-E_pot Fuer periodische Bewegung gilt int(delta H)=int(delta L)= int (p del q) =0 (nach einer periodischen Bewegung ist Energieaenderung verschwunden Kanonisch konjugierter Impuyls und ort fuer Elektron im elektromagnetischen Feld aus theoretischer Mechanik In Zylinderkoord. Mit homogenem MF in z-Richtung -> Rotation mit endlichem Radius r in phi-Richtung -> dq_phi=v_phi dt Homogenes B_z-Feld findet man aus z-Komponente von rot A_phi=1/r(d/dr(r A_phi))=const (alle anderen Komponenten von rot A_phi=0), Man kann zeigen dass rot A_phi =B ist r_g=m v_phi/(e B) -> e A_phi=m/2 v_phi v_phi dt = r_g d phi Mit r_g = m v_phi/(q B) folgt: (3/2) 2 pi m^2 v_phi^2/(q B) Mit mu= m/2 v_phi^2 /B _> 6 pi m/q Gyration ist fast periodische Bewegung, wenn

28 Adiabatische Invarianten
Aus Mechanik findet man für periodische Bewegung: Gyration ist fast periodische Bewegung, wenn Elektron im elektromagnetischen Feld: Verwende Zylinderkoordinaten (r,,z) und : Fuer periodische Bewegungen neben Energie, Impuls- Drehimpulserhaltung weitere Invarianten der Bewegung,dabei Sind p und q kanonisch konjugierter Ort und Impuls. Hier haben wir es bei der Gyration mit einer fast perioischen Bewegung zu tun, wenn sich MF raeumlich und zeitlich nur langsam aendert Fuer kanonisch konjugierte Koordinaten gilt: H=sum_i (q_i p_i )-L, q_i, p_I: kanonisch konjugierter ort und Impuls H=E_kin+E_pot, L=E_kin-E_pot Fuer periodische Bewegung gilt int(delta H)=int(delta L)= int (p del q) =0 (nach einer periodischen Bewegung ist Energieaenderung verschwunden Kanonisch konjugierter Impuyls und ort fuer Elektron im elektromagnetischen Feld aus theoretischer Mechanik In Zylinderkoord. Mit homogenem MF in z-Richtung -> Rotation mit endlichem Radius r in phi-Richtung -> dq_phi=v_phi dt Homogenes B_z-Feld findet man aus z-Komponente von rot A_phi=1/r(d/dr(r A_phi))=const (alle anderen Komponenten von rot A_phi=0), Man kann zeigen dass rot A_phi =B ist r_g=m v_phi/(e B) -> e A_phi=m/2 v_phi v_phi dt = r_g d phi Mit r_g = m v_phi/(q B) folgt: (3/2) 2 pi m^2 v_phi^2/(q B) Mit mu= m/2 v_phi^2 /B _> 6 pi m/q

29 Adiabatische Invarianten
Elektron im elektromagnetischen Feld: Zylinderkoordinaten (r,,z) und : homogenes Bz-Feld:  Fuer periodische Bewegungen neben Energie, Impuls- Drehimpulserhaltung weitere Invarianten der Bewegung,dabei Sind p und q kanonisch konjugierter Ort und Impuls. Hier haben wir es bei der Gyration mit einer fast perioischen Bewegung zu tun, wenn sich MF raeumlich und zeitlich nur langsam aendert Fuer kanonisch konjugierte Koordinaten gilt: H=sum_i (q_i p_i )-L, q_i, p_I: kanonisch konjugierter ort und Impuls H=E_kin+E_pot, L=E_kin-E_pot Fuer periodische Bewegung gilt int(delta H)=int(delta L)= int (p del q) =0 (nach einer periodischen Bewegung ist Energieaenderung verschwunden Kanonisch konjugierter Impuyls und ort fuer Elektron im elektromagnetischen Feld aus theoretischer Mechanik In Zylinderkoord. Mit homogenem MF in z-Richtung -> Rotation mit endlichem Radius r in phi-Richtung -> dq_phi=v_phi dt Homogenes B_z-Feld findet man aus z-Komponente von rot A_phi=1/r(d/dr(r A_phi))=const (alle anderen Komponenten von rot A_phi=0), Man kann zeigen dass rot A_phi =B ist r_g=m v_phi/(e B) -> e A_phi=m/2 v_phi v_phi dt = r_g d phi Mit r_g = m v_phi/(q B) folgt: (3/2) 2 pi m^2 v_phi^2/(q B) Mit mu= m/2 v_phi^2 /B _> 6 pi m/q

30 Adiabatische Invarianten
Elektron im elektromagnetischen Feld: Fuer periodische Bewegungen neben Energie, Impuls- Drehimpulserhaltung weitere Invarianten der Bewegung,dabei Sind p und q kanonisch konjugierter Ort und Impuls. Hier haben wir es bei der Gyration mit einer fast perioischen Bewegung zu tun, wenn sich MF raeumlich und zeitlich nur langsam aendert Fuer kanonisch konjugierte Koordinaten gilt: H=sum_i (q_i p_i )-L, q_i, p_I: kanonisch konjugierter ort und Impuls H=E_kin+E_pot, L=E_kin-E_pot Fuer periodische Bewegung gilt int(delta H)=int(delta L)= int (p del q) =0 (nach einer periodischen Bewegung ist Energieaenderung verschwunden Kanonisch konjugierter Impuyls und ort fuer Elektron im elektromagnetischen Feld aus theoretischer Mechanik In Zylinderkoord. Mit homogenem MF in z-Richtung -> Rotation mit endlichem Radius r in phi-Richtung -> dq_phi=v_phi dt Homogenes B_z-Feld findet man aus z-Komponente von rot A_phi=1/r(d/dr(r A_phi))=const (alle anderen Komponenten von rot A_phi=0), Man kann zeigen dass rot A_phi =B ist r_g=m v_phi/(e B) -> e A_phi=m/2 v_phi v_phi dt = r_g d phi Mit r_g = m v_phi/(q B) folgt: (3/2) 2 pi m^2 v_phi^2/(q B) Mit mu= m/2 v_phi^2 /B _> 6 pi m/q  Magnetisches Moment ist adiabatische Invariante!

31 Magnetischer Spiegel Reflexion eines Teilchens im Gebiet höheren Magnetfeldes Invarianz des magnetischen Moments: bei gleichzeitiger Energieerhaltung führt zu sinkender Parallel-Energie bei Bewegung in Gebiete mit steigendem B, bis zu v||=0 (Reflektion) Laeuft Teilchen in Gebiet mit hoeherem MF, nimmt seine Senkrechtenergie zu (prop to B), weil aber gleichzeitig Energieerhaltung gilt, Muss Parallelenergie abnehmen -> Teilchen wandelt Parallel- in Senkrechtenergie um Ds kann gehen bis v_|| = 0, dann wird Teilchen reflektiert

32 Magnetischer Spiegel Spiegelbedingung:
Aus Erhaltung des magnetischen Moments folgt: Spiegelbedingung: Energie bei Durchlauf durch B-Minimum: m/2 (v_perp(0)^2 + v_||^2) muss kleiner sein als m/2 v_perp(max)^2 v_perp(max)^2/v_perp(0)^2 = B_max/B_min -> m/2 (v_perp(0)^2 + v_||^2) < m/2 B_max/B_min v_perp(0)^2

33 B >> B Magnetischer Spiegel Spiegelbedingung: Spiegelmaschine
max min Aus Erhaltung des magnetischen Moments folgt: Spiegelbedingung: Energie bei Durchlauf durch B-Minimum: m/2 (v_perp(0)^2 + v_||^2) muss kleiner sein als m/2 v_perp(max)^2 v_perp(max)^2/v_perp(0)^2 = B_max/B_min -> m/2 (v_perp(0)^2 + v_||^2) < m/2 B_max/B_min v_perp(0)^2 u.U. Reflektion ! Spiegelmaschine

34 Spiegelmaschinen zum Einschluß heißer Plasmen?
Teilchen mit hoher Parallelenergie gehen verloren! (im thermischen Plasma wird “Verlustkegel” durch Stöße immer wieder aufgefüllt) Spiegelbedingung unabhängig von Masse und Ladung, aber Elektronen haben höhere Stoßfrequenz -> Elektronen gehen schneller verloren

35 Magnetischer Spiegel zur Oberflächenbehandlung
Teilchenbeschuss von Oberflaechen: (primär geht die Parallelbewegung in die Elektronen, diese ziehen dann aber die Ionen wegen der Quasineutralitätsbedingung mit!) die in Heizzone den Elektronen zugeführte Senkrechtenergie wird vollständig (B1>>B2) in Parallelenergie der Ionen umgesetzt.

36 Van-Allen-Gürtel Eine zur Spiegelmaschine analoge Konfiguration produziert das MF der Erde Feldstaerke nimmt zu den Polen hin zu Energiereiche Teilchen aus dem Sonnenwind koennen in diesem Feld durch Stoesse eingefangen werden Diese pendeln (wenn v_perp/v_|| ausreichend gross ist) zwischen Polen hin und her

37 „Faszination Polarlicht“
Die in dem van-Allen-Guertel gespeicherten Teilchen koennen durch Stoesse in den Verlustkegel geraten und auf die Erde stroemen, dort verursachen sie Polarlichter „Faszination Polarlicht“

38 Formen- und Farbenvielfalt
bewegende „Wolken“ ruhiger Bogen Formen- und Farbenvielfalt Vorhang Bänder

39 Van-Allen-Gürtel Erdmagnetfeld: T, B ~ 1/r3 am Äquator (Dipolfeld) B-Drift der Elektronen und Ionen BxB B Eine zur Spiegelmaschine analoge Konfiguration produziert das MF der Erde Feldstaerke nimmt zu den Polen hin zu Energiereiche Teilchen aus dem Sonnenwind koennen in diesem Feld durch Stoesse eingefangen werden Diese pendeln (wenn v_perp/v_|| ausreichend gross ist) zwischen Polen hin und her Elektronen ostwärts B Ionen westwärts

40 Van-Allen-Gürtel Erdmagnetfeld: T, B ~ 1/r3 am Äquator (Dipolfeld) isotrope Verteilung von 1keV Protonen und 30 keV Elektronen n=107m-3 an r=5 Rerde B-Drift der Elektronen und Ionen (Krümmungsdrift hier vernachlässigt, aber eigentlich auch relevant) R=6380 km Eine zur Spiegelmaschine analoge Konfiguration produziert das MF der Erde Feldstaerke nimmt zu den Polen hin zu Energiereiche Teilchen aus dem Sonnenwind koennen in diesem Feld durch Stoesse eingefangen werden Diese pendeln (wenn v_perp/v_|| ausreichend gross ist) zwischen Polen hin und her Elektronen umrunden Erde in ca. 5 Stunden, Stromdichte: A/m2

41 Höhere adiabatische Invarianten
mittlere Parallelgeschindigkeit in einem (geschlossenen) magnetischen Spiegel ist konstant Bsp: Drift im Erdmagnetfeld, Magnetfeld ist nicht streng axisymmetrisch (Sonnenwind)! 3. Adiabatische Invariante ist wichtig, weil sie beweist, dass im axialsymmetrischen Tokamak die Teilchen eingeschlossen bleiben

42 Sonnenwind und Erdmagnetfeld  Magnetosphäre
Teilchenbewegungen im Magnetfeld und elektrischen Feld Bugstoß- welle Sonnenwind Sonnen- wind Plasmaschicht Hier sieht man, wie sich MF der Erde durch Sonnenwind modifiziert Teilchenstrahlung aus Sonnenkorona Elektronen, Protonen 86%, Heliumkerne 13% Zeitlich stark variabel

43 Höhere adiabatische Invarianten
Frage: Kommt ein im Magnetfeld der Erde gefangenes Teilchen zwischen Umkehrpunkten wieder an die gleiche Stelle, obwohl Feld nicht exakt axisymmetrisch ist? wegen Energieerhaltung (v2=const) und m=const. (v2/B=const) am Umkehrpunkt B= const. Da wegen J=const. die Länge der Feldlinien zwischen 2 Umkehrpunkten gleich bleibt, muss Teilchen immer wieder an gleichen Ort zurückkehren

44 Höhere adiabatische Invarianten
In Axialsymmetrie bleibt verallgemeinerter Impuls erhalten Beispiel: Drift im Erdmagnetfeld: Fluss umschlossen von Teilchenbahn bleibt konstant im axisymmetrischen Tokamak können Teilchen stoßfrei nicht verloren gehen 3. Adiabatische Invariante ist wichtig, weil sie beweist, dass im axialsymmetrischen Tokamak die Teilchen eingeschlossen bleiben

45 Bahnkurven energiereicher Teilchen
“Störmer-Bahnen” Bei hohen Teilchenenergien wird Gyro-Radius vergleichbar mit Kruemmungsradius der Feldliniien, dann geht “guiding”-centre-Ansatz nicht mehr -> Teilchenbahnen muessen berechnet werden aus Integration der Bewegungsgleichungen “guiding-centre”-Ansatz nicht mehr gerechtfertigt (Gyrationsradius nicht mehr klein gegen Krümmungsradius der Feldlinien)

46 Polarisationsdrift Betrachte zeitlich variierendes
(Zeitänderung langsam gegen Gyrationsfrequenz ) Bewegungsgleichung in x-Richtung: E-Feld darf sich nur langsam gegen Gyro-Frequenz aendern, sonst gilt Gyro-Zentrumsnaeherung nicht Wegen m dv_D/dt erfaaehrt Teilchen eine Beschleunigungskraft, die senkrecht zu B ist (wenn E senkrecht zu B), das bewirkt wieder eine Drift Anschaulich: eigentlich Drift nach oben, aber waehrend jeder Gyration wird E-Feld in x-Richtung groesser -> Teilchen werden mehr als bei zeitlich konstantem E-feld beschleunigt auf dem Weg in x-Richtung udn abgebremst auf Dem Weg in negative x-Richtung -> Gryrationsradien wandern langsma in x-Richtung

47 Polarisationsdrift Betrachte zeitlich variierendes
(Zeitänderung langsam gegen Gyrationsfrequenz ) Bewegungsgleichung in x-Richtung: E-Feld darf sich nur langsam gegen Gyro-Frequenz aendern, sonst gilt Gyro-Zentrumsnaeherung nicht Wegen m dv_D/dt erfaaehrt Teilchen eine Beschleunigungskraft, die senkrecht zu B ist (wenn E senkrecht zu B), das bewirkt wieder eine Drift Anschaulich: eigentlich Drift nach oben, aber waehrend jeder Gyration wird E-Feld in x-Richtung groesser -> Teilchen werden mehr als bei zeitlich konstantem E-feld beschleunigt auf dem Weg in x-Richtung udn abgebremst auf Dem Weg in negative x-Richtung -> Gryrationsradien wandern langsma in x-Richtung Mittelung über Gyrationsbewegung:

48 Polarisationsdrift Betrachte zeitlich variierendes
(Zeitänderung langsam gegen Gyrationsfrequenz ) E-Feld darf sich nur langsam gegen Gyro-Frequenz aendern, sonst gilt Gyro-Zentrumsnaeherung nicht Wegen m dv_D/dt erfaaehrt Teilchen eine Beschleunigungskraft, die senkrecht zu B ist (wenn E senkrecht zu B), das bewirkt wieder eine Drift Anschaulich: eigentlich Drift nach oben, aber waehrend jeder Gyration wird E-Feld in x-Richtung groesser -> Teilchen werden mehr als bei zeitlich konstantem E-feld beschleunigt auf dem Weg in x-Richtung udn abgebremst auf Dem Weg in negative x-Richtung -> Gryrationsradien wandern langsma in x-Richtung Polarisationsdrift: bewirkt Polarisationsstrom (entgegengesetzte Drift für Elektronen und Ionen)

49 Dielekrizitätskonstante eines magnetisierten Plasmas
Betrachte: Kondensator mit magnetisiertem Plasma gefüllt Polarisation verringert E-Feld Maxwell-Gleichung: jgeb:Polarisationsstrom

50 Dielekrizitätskonstante eines magnetisierten Plasmas
jgeb:Polarisationsstrom Freier Strom=Gesamtstrom für D=0 E Polarisationsstrom Mit folgt:

51 Dielekrizitätskonstante eines magnetisierten Plasmas
wegen c>>vA: elektrische Felder in Plasmen sehr gut abgeschirmt Ausnahme: Felder mit hohen Frequenzen

52 Diamagnetische Drift Kraft auf Teilchen hervorgerufen durch endlichen Druckgradienten: - Anschaulich: mehr Teilchen rechts als links -> dort wo Gyrationsbahnen sicht treffen, bewegen sich mehr Teilchen nach oben als Nach unten -> keine Massenbewegung! Trotzdem gibt es einen Strom, weil Ionen in entgegengesetzte Richtung gyrieren - Aehnlicher Effekt ergibt sich wenn T von links nach rechts zunimmt: dann ist rechts die Geschwindigkeit der Einzelteilchen nach oben Groesser (fuer Ionen nach unten) -> es folgt wieder ein Strom - Im Bild einer Kraft: auf Volumenelement wirkt eine Kraft, wenn es einen Druckgradienten gibt: - Betrachte Kraft auf Fluessigkeitselement mit Volumen delta V: F/delta V = - grad p im Volumen gibt es delta N = n delta V Teilchen -> Kraft pro Teilchen: F/delta N = F/(n delta V) =-grad p/n Drift ist zwar keine Massenebwegung, aber sie ist von Ladung abhaengig und erzeugt daher einen Strom Keine Massenbewegung, aber Strom:

53 -Pinch “diamagnetischer” Strom reduziert von außen angelegtes Magnetfeld

54 Diamagnetische Ströme
B Elektronen-Nettobewegung nach unten T e = const n r j dia B Elektronen-Nettobewegung nach unten n e = const T r j dia Gyro-Radius ~ T1/2 Druckgradient erzeugt Ströme senkrecht zum MF

55 -Pinch Plasmaeinschluss:

56 Kaum Änderung des von außen angelegten Feldes “niedrig-ß”-Fall
Starke Änderung des von außen angelegten Feldes “hoch-ß”-Fall (ß=1 falls B=0) p(r) B(r) p(r) B(r) r