Jamshid Azizi: Folie 1 07.06.2000 Isomorphietest Jamshid Azizi 07.06.2000.

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1 Jamshid Azizi: Folie 1 07.06.2000 Isomorphietest Jamshid Azizi jamshid.azizi@gmx.de 07.06.2000

2 Jamshid Azizi: Folie 2 07.06.2000 Flußdiagramm des Algorithmus Start Vergleich gewisser charakteristischer Größen : - Anzahl der Knoten eines gewissen Grades - Maximaler und minimaler Grad - Anzahl der Teilgraphen eines gewissen Typs Die beiden Graphen könnten isomorph sein Nicht isomorphisomorph Isomorphietestalgorithmus Verwenden, um zu überprüfen. Nicht isomorph nicht gleichgleich

3 Jamshid Azizi: Folie 3 07.06.2000 Die Schritte zum Implementieren des Algorithmus Die Bäume erzeugen Die Anzahl der Knoten bestimmen Die Adjanzenmatrix als Eingabe bestimmen Blätter der Bäumen bestimmen Die Wurzeln bestimmen Sortieren Vergleichen (die Tupels)

4 Jamshid Azizi: Folie 4 07.06.2000 Bäume erzeugen 7 5 2 1 3 4 6 9 8 11 1012 1 2, 3 2, 4 2, 2 5, 6 5, 5 7, 9 7, 8 9, 11 9, 10 11, 12 11 2 A = 7911 nnnn 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5

5 Jamshid Azizi: Folie 5 07.06.2000 Bäume erzeugen Bäume und Wurzel bestimmen 7 5 2 1 3 4 6 9 8 11 1012 1 2, 3 2, 4 2, 2 5, 6 5, 5 7, 9 7, 8 9, 11 9, 10 11, 12 11 2 A = 7911 nnnn 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5 Wurzel 1 Blätter - für Blätter ist Grad d(x) =1 - x ist ein Kanten - Der Grad d(x) eines Knotens x im Graphen X = (V, E) ist die Anzahl der mit x inzidenten kanten. - Der Grad d(x) ist die Summe der Elementen in der Zeile von x in der Adjanzenmatrix ( Anzahl der Einser).

6 Jamshid Azizi: Folie 6 07.06.2000 Isomorphietest-Algorithmus Ebene 0 Ebene 1 Ebene 2 Ebene 3

7 Jamshid Azizi: Folie 7 07.06.2000 b 04 b 03 b 02 b 01 b 14 b 13 b 12 b 11 Ebene 0 Ebene 1 Ebene 2 b 11 b 01 b 02 b 03 b 04 b 12 b 13 b 14 Ebene 3 Ordne allen Blättern von T 1 und T 2 die 0 zu. 00 00 00 000 000 00 0 0 L 1 ={b 01, b 02, b 03, b 04 } L 2 ={b 01, b 02, b 03, b 04 }

8 Jamshid Azizi: Folie 8 07.06.2000 b 04 b 03 b 02 b 01 v 12 v 11 b 14 b 13 b 12 b 11 Ebene 0 Ebene 1 Ebene 2 v 11 v 12 b 11 b 01 b 02 b 03 b 04 b 12 b 13 b 14 Ebene 3 00 00 00 000 000 00 0 0 L 1 ={b 01, b 02, b 03, b 04 }L 2 ={b 01, b 02, b 03, b 04 } S 1 ={ (0,0), ( 0,0) } S 2 ={ (0,0), ( 0,0) } v 11 = (0,0) v 12 = (0,0) (0,0) v 11 = (0,0) v 12 = (0,0) Man ordnet den Knoten (keinen Blätter) von T 1 auf der Ebene i einen Tupel von Zahlen durch das Absuchen der Liste L 1 von links nach rechts zu.

9 Jamshid Azizi: Folie 9 07.06.2000 b 04 b 03 b 02 b 01 v 12 v 11 b 14 b 13 b 12 b 11 Ebene 0 Ebene 1 Ebene 2 v 11 v 12 b 11 b 01 b 02 b 03 b 04 b 12 b 13 b 14 Ebene 3 00 00 00 000 000 00 0 0 L 1 ={b 01, b 02, b 03, b 04 }L 2 ={b 01, b 02, b 03, b 04 } S 1 ={ (0,0), ( 0,0) } S 2 ={ (0,0), ( 0,0) } v 11 = (0,0) v 12 = (0,0) 1 (0,0) 1 (0,0) 1 (0,0) 1 (0,0) Man sortiert S 1 und S 2, daraus folgt S´ 1 und S´ 2, sie sind die Bezeichnungen für die folge von Tupel auf der Ebene i=1. S 1 Folge von Tupels S´ 1 sortierte Folge von S 1 S 2 Folge von Tupels S´ 2 sortierte Folge von S 2 v 11 = (0,0) v 12 = (0,0)

10 Jamshid Azizi: Folie 10 07.06.2000 b 04 b 03 b 02 b 01 v 12 v 11 b 14 b 13 b 12 b 11 v 22 v 21 Ebene 0 Ebene 1 Ebene 2 v 11 v 12 b 11 b 01 b 02 b 03 b 04 v 22 b 12 b 13 b 14 v 21 Ebene 3 00 00 00 000 000 00 0 0 L 1 ={ b 11, b 12, b 13, (v 11 ), b 14, (v 12 ) } S 1 ={ (0,0,0), ( 0,1,1) } S 2 ={ (0, 1, 1), (0, 0, 0) } v 21 = (0,0,0) v 22 = ( 1,0,1) 1 (0,0) 1 (0,0) 1 (0,0) 1 (0,0) S 1 Folge von Tupels S´ 1 sortierte Folge von S 1 S 2 Folge von Tupels S´ 2 sortierte Folge von S 2 v 21 = (1, 1, 0) v 22 = (0, 0, 0) Wenn S´ 1 und S´ 2 nicht identisch sind, dann folgt: die Bäume sind nicht isomorph. Sonst ordnet man die 1 zu den Knoten von T 1 auf der Ebene i=1 zu, die durch den ersten verschiedenen Tupel auf S´ 1 abgebildet sind, ordnet man die 2 den Knoten zu, welche durch den zweiten verschiedenen Tupel dargestellt sind, usw.. (0, 0, 0) (1, 1, 0)(1, 0, 1) sortiert L 2 ={ (v 11 ), (v 12 ), b 11, b 12, b 13, b 14 } sortiert

11 Jamshid Azizi: Folie 11 07.06.2000 b 04 b 03 b 02 b 01 v 12 v 11 b 14 b 13 b 12 b 11 v 22 v 21 Ebene 0 Ebene 1 Ebene 2 v 11 v 12 b 11 b 01 b 02 b 03 b 04 v 22 b 12 b 13 b 14 v 21 Ebene 3 00 00 00 000 000 00 0 0 L 1 ={ b 11, b 12, b 13, (v 11 ), b 14, (v 12 ) } S 1 ={ (0,0,0), ( 0,1,1) } S 2 ={ (0, 1, 1), (0, 0, 0) } v 21 = (0,0,0) v 22 = ( 1,0,1) 1 (0,0) 1 (0,0) 1 (0,0) 1 (0,0) S 1 Folge von Tupels S´ 1 sortierte Folge von S 1 S 2 Folge von Tupels S´ 2 sortierte Folge von S 2 v 21 = (1, 1, 0) v 22 = (0, 0, 0) sortiert L 2 ={ (v 11 ), (v 12 ), b 11, b 12, b 13, b 14 } sortiert S´ 1 ={ (0,0,0), ( 0,1,1) }S´ 2 ={ (0, 0, 0), (0, 1, 1) } 1 (0, 0, 0) 2 (1, 0, 1) 2 (1, 1, 0) 1 (0, 0, 0) Wenn S´ 1 und S´ 2 nicht identisch sind, dann folgt: die Bäume sind nicht isomorph. Sonst ordnet man die 1 zu den Knoten von T 1 auf der Ebene i=1 zu, die durch den ersten verschiedenen Tupel auf S´ 1 abgebildet sind, ordnet man die 2 den Knoten zu, welche durch den zweiten verschiedenen Tupel dargestellt sind, usw..

12 Jamshid Azizi: Folie 12 07.06.2000 w1w1 w2w2 b 04 b 03 b 02 b 01 v 12 v 11 b 14 b 13 b 12 b 11 v 22 v 21 Ebene 0 Ebene 1 Ebene 2 v 11 v 12 b 11 b 01 b 02 b 03 b 04 v 22 b 12 b 13 b 14 v 21 Ebene 3 00 00 00 000 000 00 0 0 L 1 ={ (v 21 ), (v 22 ) } S 1 ={ ( 1, 2) } S 2 ={ (1, 2) } w 1 = (1, 2) 1 (0,0) 1 (0,0) 1 (0,0) 1 (0,0) S 1 Folge von Tupels S´ 1 sortierte Folge von S 1 S 2 Folge von Tupels S´ 2 sortierte Folge von S 2 w 2 = (2, 1) sortiert L 2 ={ (v 21 ), (v 22 ) } sortiert 1 (0, 0, 0) 2 (1, 0, 1) 2 (1, 1, 0) 1 (0, 0, 0) Wenn die Wurzeln von T1 und T2 der gleichen Zahl zugeordnet werden, sind T1 und T2 isomorph (1, 2)(2, 1)

13 Jamshid Azizi: Folie 13 07.06.2000 w1w1 w2w2 b 04 b 03 b 02 b 01 v 12 v 11 b 14 b 13 b 12 b 11 v 22 v 21 Ebene 0 Ebene 1 Ebene 2 v 11 v 12 b 11 b 01 b 02 b 03 b 04 v 22 b 12 b 13 b 14 v 21 Ebene 3 00 00 00 000 000 00 0 0 L 1 ={ (v 21 ), (v 22 ) } S 1 ={ ( 1, 2) } S 2 ={ (1, 2) } w 1 = (1, 2) 1 (0,0) 1 (0,0) 1 (0,0) 1 (0,0) S 1 Folge von Tupels S´ 1 sortierte Folge von S 1 S 2 Folge von Tupels S´ 2 sortierte Folge von S 2 w 2 = (2, 1) sortiert L 2 ={ (v 21 ), (v 22 ) } sortiert S´ 1 ={ ( 1, 2) }S´ 2 ={ (1, 2) } 1 (0, 0, 0) 2 (1, 0, 1) 2 (1, 1, 0) 1 (0, 0, 0) 1 (1, 2) 1 (1, 2) sortiert Wenn eine Ungleichung auf jeder Ebene auftritt, können die Bäume nicht isomorph sein und der Algorithmus wird mit der Erklärung des Nicht-Isomorphismus beendet.