Zunächst: NKA Matthias: Erweiterung Coupon-Anleihen

Präsentation zum Thema: "Zunächst: NKA Matthias: Erweiterung Coupon-Anleihen"—  Präsentation transkript:

1 Die Kreditrisikoprämie Ableitung mittels der Optionspreistheorie (Merton)
Zunächst: NKA Matthias: Erweiterung Coupon-Anleihen Manfred: Fragen zur Anwendung des Modells Stefan Hirth

2 Interessante Fragestellungen
Im Folgenden wird eine verschuldete Kapitalgesellschaft betrachtet Wie können wir uns die Positionen von Anteilseignern und Gläubigern vorstellen? Welchen Wert haben diese Positionen? Welche Prämie verlangen die Gläubiger für das Risiko, das sie übernehmen? Was passiert, wenn sich die Bestimmungsgrößen verändern? Verschuldungsgrad Restlaufzeit des Fremdkapitals Unternehmensrisiko Welche Grenzfälle können auftreten? Positionen -> Hier kommt die Call-Analogie Zwei Parteien, EK & FK - wichtig: Beschränkte Haftung der Eigentümer Was unterscheidet EK von „EK unverschuldet“, und FK von risikoloser Geldanlage? Wert: Black/Scholes -> auch für FK nützlich Prämie: Risikoübernahme will belohnt werden BestGr.: Von ihnen hängen EK- und FK-Wert ab – Vorgriff: welche sind das? – Schlagwort: Sens.-Anal. Extremfälle: zuerst „normale Firma“, d irgendwo zwischen 0 und 1, dann F = EK und F = risikolos

3 Modell-Voraussetzungen
Eine Unternehmung besitzt zur Zeit t den Wert Vt Dieser Wert entwickelt sich nach einem stochastischen Prozess (dzt ist ein Wiener-Prozess) Der Unternehmenswert ist unabhängig von der Kapitalstruktur Das Fremdkapital besteht aus nur einer Nullcouponanleihe mit Zahlung B zur Zeit T, d.h. nach Zeiteinheiten Es existiert ein vollkommener Kapitalmarkt mit konstantem risikolosem Zins r Prozess entspricht üblicher Annahme für Aktienkursentwicklung Diskret erklären! : V(t+1) = V(t) + a * V(t) + s * V(t) * e V=E+F -> Miller-Mod.; Keine Konkurskosten, unterschiedliche Besteuerung oÄ. Der U.-Wert ist bei jeder Aufteilung zwischen EK und FK gleich vollkommener Kapitalmarkt -> keine TK, keine Steuern, WP teilbar, Anlage/Aufnahmezins gleich

4 Auszahlungen bei Fälligkeit der Anleihe (Zeit T)
Anteilseigner Gläubiger Die Anteilseigner erhalten bei Fälligkeit die Auszahlung einer Kaufoption (mit dem Basispreis B) auf die Unternehmung Es gibt keine weiteren Zahlungen während der Laufzeit der Anleihe JETZT: Positionen – zunächst in T Mit Geo zeigen: Bei B anfangen, links & rechts Wir wissen nicht, bei welchem Unternehmenswert V(T) wir landen! Summe immer V!

5 Positionen heute (Zeit t) (I)
Auch der heutige Wert des Eigenkapitals ist gleich dem Wert dieser Kaufoption Anteilseigner Kaufoption (Basispreis B) Gläubiger Unternehmung Geschriebene Kaufoption (Basispreis B) „Den Gläubigern gehört der Rest!“ PCP -> und weiter!

6 Positionen heute (Zeit t) (II)
Auch der heutige Wert des Eigenkapitals ist gleich dem Wert dieser Kaufoption Anteilseigner Kaufoption (Basispreis B) Unternehmung Verkaufsoption (Basispreis B) (–B) in T (sicher) Put/Call-Parität Gläubiger Unternehmung Geschriebene Kaufoption (Basispreis B) (+B) in T (sicher) Geschriebene Verkaufsoption (Basispreis B) Start: PCP EK hat Put zum Glattstellen FK: Risiko im Modell NICHT Ausfall, sondern short Put (Erwähnen, dass eu und am Kaufoption gleich sind) Hier schon Interpretation: „Put = beschränkte Haftung“? Problem: Auch der heutige Wert der Optionen ist unbekannt

7 Der Wert des Eigenkapitals nach Black/Scholes
Grundidee: Duplikation des Eigenkapitals durch ein Portfolio Portfolio Unverschuldete Unternehmung mit identischen Aktiva Geldanlage zum risikolosen Zins Das Eigenkapital unterliegt der selben Risikoquelle dz wie die Unternehmung selbst Die Bewertungsformel für das EK Bezeichnungen hier und im Original V (U.-Wert) S (Aktienpreis) B (Nennwert des FK) X (Basispreis) x d1 Problem: Auch der heutige Wert der Optionen ist unbekannt Grundidee: Duplikation des Eigenkapitals (der Kaufoption) durch ein Portfolio Varianten: B/S: Aktie und Option zusammen, s.d. risikolos -> risk-free rate (Merton: alle drei Anlagen, s.d. kein Einsatz -> keine Wertänderung) Hier: Aktie und risikolose Anlage, s.d. Option dupliziert -> Option hat gleichen Wert !!!!! Annahme: unverschuldete U. ex. !!!!! Selbe Risikoquelle: Im Modell mit Umweltzuständen hätten wir l.a. Größen Interpretation BSE: Erinnern an max (V-B,0) Erwartungswert der Auszahlung mit bestimmten W‘keiten, abgezinst. Es ex. Parallelwelt mit anderen W‘keiten, dafür dürfen die Erwartungswerte mit rf abgezinst werden. Der errechnete Wert gilt auch in der realen Welt. ACHTUNG: FRAGEN!

8 Das Fremdkapital als Duplikationsportfolio (I)
Bisher: Duplikation des Eigenkapitals Et Jetzt: Duplikation des (gesamten) Fremdkapitals Ft = (Vt – Et) Auch das Fremdkapital unterliegt der selben Risikoquelle dz wie die Unternehmung selbst Die Gläubiger können also auch ihre komplette Position, das Fremdkapital, duplizieren durch ein Portfolio. g Portfolio Wertanteil Unverschuldete Unternehmung mit identischen Aktiva g Geldanlage zum risikolosen Zins (1 – g) Gesamt, weil FK zusammengesetzt aus EK und V Komplettes PF: Nur den Call zu duplizieren, würde dem FK nichts bringen, da es dann die voll riskante und ungedeckte Position –V übrig hätte! (1 – g)

9 Das Fremdkapital als Duplikationsportfolio (II)
1. Ziel: Duplikation einer bestehenden Fremdkapital- Position Dann müssen die Gläubiger g wählen als (g wird auch als relatives Risiko des Fremdkapitals bezeichnet) 2. Ziel: Investition mit einer bestimmten Risikopräferenz Die Investoren können jede Kombination zwischen g = 0 und g = 1 wählen, ihre erwartete Rendite ist dann Portfolio Wertanteil Unverschuldete Unternehmung mit identischen Aktiva g Geldanlage zum risikolosen Zins (1 – g) „Die gleiche Anlage noch mal“, z.B. wenn U. vier mal so riskant Ändert sich (natürlich) zeitlich und muß stetig angepaßt werden! Betrachtung von g als Risikomaß ist zulässig, da korreliert -> Sigma beschreibt Reaktivität auf die *selbe* Risikoquelle, andere gibt es für die beiden nicht „Künstliches Fremdkapital“ Gewichtete PF-Rendite Fälle g=0 und g=1 erklären! Zweiter Teil ist von der Idee her wie beim CAPM (LK aus rf und Risiko) – allerdings hier kein MPF, sondern nur Aktien einer einzigen Firma! Schluss aus der Rendite – Achtung: Hier ist eine subjektive Erwartung (alpha) enthalten. Der Risikozins R ist dagegen begründet durch die Duplikation Wie kann ich alpha und R verbinden – größer, kleiner? Antwort: lieber gar nicht!

10 Der Quasi-Verschuldungs-Koeffizient d in der „Bilanz“ (wertmäßig)
Aktiva Passiva „quasi“ wertmäßig Unter- nehmens- wert Vt U.-Wert ohne Barwert von B Eigen- kapital ohne beschränkte Haftung Pt ist der Wert der beschränkten Haftung Put/Call-Parität Barwert von B Pt Verschuldung! – Pos. Des FK in U. - Koeff. Warum „Quasi“? Normalerweise würde man einheitlich entweder Nominalwerte (Bilanzwerte) oder Marktwerte rechnen Neue Bezeichnung! „d“ Im Folgenden wird deutlich, welche Pos. EK und FK im Vergleich zu EK-unv. und risikoloser Anlage haben! Aus PCP ohne P ergibt sich EK (unbeschränkt) = V – B exp(-rT) = U.-Wert ohne Barwert B ohne P wäre das EK nur das Unternehmen und eine sichere Zahlungsverpflichtung! FK-Wert wäre damit gerade der Barwert von B Fälle d=1 und d>1 andeuten Frage ans Publikum: Was liegt bei d=1 vor? (E=P) -> ab hier aufwärts kann das EK nicht mehr auf den vorhandenen Wert, sondern nur noch auf Risiko setzen! (hohes Risiko ohne Eigenhaftung kann die Endauszahlung wieder positiv werden lassen) Überleitung: betonen, dass d entscheidet, ob Differenz V-B pos. oder neg. ist!  d entscheidet über EK-Wert ohne b.H. HEUTE HEUTE SCHON ETWAS „ESSBAR“? EK wird im Modell nie zahlungsunfähig, sondern der Konkursfall entsteht durch Ausüben des Puts. Dann +/- 0 für EK (glattstellen) Fremd- kapital

11 Der Quasi-Verschuldungs-Koeffizient d – Übersicht
Vermögen der Anteilseigner Liquidation möglich? d < 1 Et wäre sogar ohne beschränkte Haftung positiv „Heute schon konsumierbar“ d = 1 Et = Pt d > 1 Et wäre ohne die beschränkte Haftung negativ „Die Anteilseigner haben nichts zu verlieren“ Pt ist der Wert der beschränkten Haftung Put/Call-Parität  Unternehmung verkaufen und Geld auf die Bank legen für‘s FK ( = Risiko-/Haftungs-Übernahme). Bleibt etwas übrig? d>1: niemand will Haftung übernehmen! Bei Bedarf noch mal an Gl. erklären: d<1 => V – BarwertB > 0, etc. Die Konkurswahrscheinlichkeit wächst in d

12 Der Wert des Fremdkapitals
Aus den beiden Gleichungen und folgt der Wert des Fremdkapitals als Damit unterscheidet sich das risikobehaftete Fremdkapital von einer risikolosen Anleihe gerade durch den Risikodiskontfaktor D Bestimmungsgrößen des FK-Wertes EK-Wert in „Bilanzgl.“ einsetzen  FK-Wert Pfeil von geschw. Klammer nach D? Interpretation FK: risikolose Anleihe, Wert wird durch Korrekturfaktor < 1 hinten geschmälert D Element [0,1] Der Wert des Fremdkapitals ist also

13 Der Risikodiskontfaktor und die Kreditrisikoprämie
Um den heutigen Wert des Fremdkapitals F auf den Betrag B aufzuzinsen, müsste der Zinssatz R angewandt werden. Dann ist Als Kreditrisikoprämie definieren wir Diese lässt sich einfach angeben als Der Risikodiskontfaktor D lässt sich interpretieren als heutiges Preisverhältnis von riskanten zu sicheren zukünftigen Zahlungen Bestimmungsgrößen der Kreditrisikoprämie Interpretation FK: risikolose Anleihe, Wert wird durch Korrekturfaktor < 1 hinten geschmälert D: Vergleichbar machen zukünftiger Zahlungen durch Diskontieren auf den selben Zeitpunkt (heute) Klar, dass Zukunft schlechter ist als heute, aber interessant ist der Effekt des Risikos dabei! Noch mal deutlich z.B. D=0,5 in die FK-Formel einsetzen -> FK ist nur halb so viel wert wie sichere zuk. Zahlung (z.B. 1DM heute: 40 Pf und 80 Pf) Betonen: (FK < Barwert B) und (PI > 0) PI: griffige Formel!

14 Anwendung des Modells: Einschränkungen
Benötigte Parameter (als Eingabegrößen für die Bewertung) Unternehmenswert V Varianzrate σ2 des U.-Wertes Absicherung der Gläubiger Modellannahme: Duplikation von Eigen- und Fremdkapital ist möglich Dafür müsste aber eine unverschuldete Unternehmung mit identischen Aktiva existieren. Da die Gläubiger also ihr Risiko nicht vollständig eliminieren können, werden sie eine höhere Prämie verlangen. U.-Wert und Varianzrate müssen geschätzt werden Driftrate alpha ist nicht bewertungsrelevant Duplikation: unv. U. entspr. Aktie bei B/S – FK muss zur Absicherung etwas finden, was sich möglichst ähnlich verhält wie die Unternehmung

15 Kreditvergabe (Zeit 0) – Zahlungsströme
Interpretation Kaufoption Unternehmung (Wert V) Anteils- Eigner Gläubiger Kaufoption zu B + Ausgleichszahlung Put/Call-Parität Interpretation Verkaufsoption Sichere Zahlung von B in T Anteils- Eigner Gläubiger Betrachtungs-Reihenfolge: T  t  0 T bekannt (Call-Auszahlungen) t berechnet 0: wie kommt es zu t? Kreditvergabe als „Tauschhandel“ zwischen EK und FK! PCP: „statt dessen können AE auch bekommen: ...“ Kaufoption – „Unternehmen verleihen mit Rückkaufrecht“ – schlechter als V Bzw. Put (beschränkte Haftung) schlechter als (echt!) sichere Zahlung von B Deshalb bekommen Anteilseigner Ausgleichszahlung Verkaufsoption zu B + Ausgleichszahlung

16 Kreditvergabe (Zeit 0) – Abbildung in der „Bilanz“
Der Unternehmenswert bleibt unverändert Die Anteilseigner erwarten eine Ausgleichszahlung für ihren Wertverlust Aktiva Passiva vorher nachher Unter- nehmens- wert V Eigen- kapital Eigen- kapital ohne beschränkte Haftung Pt U-Wert unverändert!!!! (Annahme: unbeschränkte Haftung. Dann wäre EK-Wert = V – BarwertB und FK-Wert = BarwertB) Call: U-Wert verwandelt sich in Call  Verlust von F Put: EK gibt BarwertB ab, erhält dafür P  Verlust von F Fremd- kapital

17 Interpretation der Kreditrisikoprämie
Bei der Kreditvergabe (zur Zeit t = 0) Die Prämie ergibt sich aus der Ausgleichszahlung (= dem Wert des zukünftigen Fremdkapitals) und der versprochenen Rückzahlung B Je unsicherer die Rückzahlung, desto geringer der Wert des Fremdkapitals und desto höher die geforderte Verzinsung Während der Laufzeit Steigende Kreditrisikoprämie ist schlecht für das FK Grund: Die Höhe der versprochenen Zahlung B hat sich nicht geändert. Sie ist nur unsicherer geworden, was den heutigen FK-Wert gemindert hat. Dadurch ist rechnerisch die „Prämie“ gestiegen. (Interpretation der Höhe!) Also: zur Zeit 0 kann man die Höhe von PI nicht generell für positiv oder negativ halten, sie wird „fair“ ausgehandelt, und ob die Gläubiger mit ihrem Ausfallrisiko zufrieden sind, hängt von ihrer Risikopräferenz ab. Weniger (oder mehr) U.-Risiko könnten sie im Modell „FK als Dupl.-PF“ nehmen. Während der Laufzeit jedoch ist definitiv ein Steigen der Verzinsung schlecht für die Gläubiger!  Heute wäre FK billiger! Hierfür erhalten die Gläubiger keinen Ausgleich.