Mathematisches Seminar

Präsentation zum Thema: "Mathematisches Seminar"—  Präsentation transkript:

1 Mathematisches Seminar
Ronny Heinitz

2 Thema Voronoi-Mosaike Struktur und Ordnungsmodell

3 Gliederung Einführung Voronoi-Mosaike
Vollständige und unvollständige Mosaike Voronoi-Mosaike Beispiel Anwendungsgebiete

4 Einführung Dirichlet und Voronoi betrachten reguläre Mosaike zur Untersuchung von zahlentheoretischen Problemen Für Modellierung realer Mosaike werden oft Poisson-Voronoi-Mosaike verwendet

5 Mosaik-Arten Vollständige Mosaike Unvollständige Mosaike
Vollständige Voronoi-Mosaike Unvollständige Voronoi-Mosaike

6 Vollständige Mosaike Voraussetzung:
1) Zellen sind nichtleer, offen und paarweise disjunkt 2) Raum = Addition aller Zellen 3) Ist Raum beschränkt = Menge der Zellen ist endlich

7 Unvollständige Mosaike
Voraussetzungen: 1) und 3) treffen zu. 2) trifft nicht zu (der Raum weißt noch zellfreie Zonen auf)

8 Vollständige Voronoi-Mosaike
Voraussetzung: Punktprozess Punkte zi (i=1,2,…) eines Punktprozesses im Raum Rd definiert alle Punkte x aus Rd, die der Beziehung ||x-zi||<||x-zj|| für i<>j (i ungleich j) genügen, bilden die von zi erzeugte Zelle

9 2-dimensionale Darstellung eines Voronoi-Mosaikes

10 Beispiel – Wachstumsprozess 1
Am Anfang Punkte (Minizellen mit Zellkern) Die Zellen wachsen bis sie anfangen sich an einzelnen Stellen zu berühren Bemerkung: Solange es nur ein Berührungspunkt zwischen 2 Kugeln gibt könnte man von Kugelpackungen sprechen

11 Beispiel – Wachstumsprozess 2
Die Zellen wachsen weiter, bis auf die Zellränder, die bereits mit einer anderen Zelle Kontakt haben. All diese Wachstumsmomente sind unvollständige Voronoi-Mosaike

12 Beispiel – Wachstumsprozess 3
Wenn sämtliche freien Stelle in dem Raum Rd gefüllt sind, spricht man von vollständigen Voronoi-Mosaiken

13 Ordnung von Mosaiken 37 Glaskugeln 61 Glaskugeln

14 Anwendungsgebiete Astrophysik: Meteorologie:
zu Studien der Massenteilung im Universum Meteorologie: ebene Voronoi-Mosaike für Mengen von Niederschlag

15 Weitere Anwendungsgebiete
Geographie Geologie Kristallographie Metallographie Zellbiologie

16 Abschluss Die Bedeutung zufällige Mosaike steigt an
Trotz seiner Einfachheit gibt es bis jetzt immer noch eine Reihe von Problemen, die noch nicht befriedigend analytisch gelöst worden sind.