Die drei überstehenden Dreiecke sind Pythagoräische (3, 4, 5)-Dreiecke

Präsentation zum Thema: "Die drei überstehenden Dreiecke sind Pythagoräische (3, 4, 5)-Dreiecke"—  Präsentation transkript:

1 Die drei überstehenden Dreiecke sind Pythagoräische (3, 4, 5)-Dreiecke
Der Satz von Haga Satz: Faltet man in einem Quadrat eine Ecke auf die gegenüberliegende Seitenmitte so gilt: Die drei überstehenden Dreiecke sind Pythagoräische (3, 4, 5)-Dreiecke Horst Steibl

2 Das (3,4,5)-Dreieck auf dem Geobrett
Das (5, 10, 11)Dreieck wird durch die Höhe (zweite 11-er-Linie) in zwei zum Ausgangdreieck ähnliche Dreiecke geteilt. Die Katheten stehen in allen drei (blau, lila, lila-blau) Dreiecken im Verhältnis : 2. Damit ergibt sich für das lila und das blaue Dreieck 1 : 2 = 2 : 4. Die eine 11-Linie wird also im Verhältnis 1: 4, die andere im Verhältnis 2 : 3 geteilt. Die Hypotenuse des grünen Dreiecks ist damit 5 solcher Einheiten lang 3 1 4 2 Damit ist gezeigt, dass das grüne Dreieck ein ägyptisches (3,4,5)-Dreieck ist Horst Steibl

3 Die Winkel im ägyptischen Dreieck
Den spitzesten Winkel im (5,10,11)-Dreieck nennen wir Tom (o) , den spitzen Winkel im(5,11,14)-Dreieck nennen wir Tim (i). o o î + o = 45° R = o + i + i + o o i i Damit gilt: Genau dann ist ein rechtwinkliges Dreieck ein ägyptisches Dreieck, wenn ein spitzer Winkel ein oo-Winkel oder ein ii-Winkel ist o Ein gestreckter Winkel kann zerlegt werden in oiiooiio bzw. iooiiooi. Gestreckter Winkel heißt also 4 o + 4 i. Ein rechter Winkel hat immer 2 o und 2 i Winkel. Die Winkelsumme im Dreieck immer 4 o und 4 i. Horst Steibl

4 Trigonometrische Einsichten
Im blauen Dreieck gilt: o = arc tan( ½ ) = 26,6.. Im lila Dreieck gilt: oo = arc tan ( 4/3 ) = 53,1.. Damit ist auch gezeigt: 2 * arc tan ( ½ ) = arc tan ( 4/3 ) Horst Steibl

5 Der Satz von Haga Falte die Mittelparallele des Quadrates (C auf D). Öffne und falte B auf F. Öffne und falte E auf Z. Du hast im rechten Doppelquadrat (bzw Halbquadtrat) die Diagonale und deren Mittelsenkrechte gefaltet. Öffne und falte wieder B auf F. Knicke die überstehenden Dreiecke um und wieder zurück. Begründe die Winkelangaben in der Reihenfolge ihres Erscheinens oo ii ii o o oo iio oii ii ooiioo ii oii o oo iio oo Horst Steibl

6 Begründung oo ii ii o o oo iio oii ii ii oii o oo iio oo Alles klar?
Der spitzeste Winkel im (5,10,11)-Dreieck laut Definition o Durch Faltung o = o ii rechter Winkel im blauen Viereck oo ii ii o o ii rechter Winkel rechten Doppelquadrat oo oo Winkel im rechtwinkligen Dreieck iio oii oo rechter Winkel im linken Doppelquadrat ii Winkel im rechtwinkligen Dreieck ii ii Scheitelwinkel ooiioo ii oo 2. Winkel im rechtwinkligen Dreieck oii o oo iio ooiioo gestreckter Winkel oo iio oii Winkelsumme im stumpfwinkligen Dreieck oii Winkelsumme im blauen Viereck oo Scheitelwinkel Alles klar? iio gestreckter Winkel Horst Steibl

7 Längen der Abschnitte auf den Quadratseiten
Wir gehen von einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 aus. Wie lang sind die Seiten der ägyptischen Dreiecke? Oder: Wie teilen E, G und J die Quadratseiten? CE = ? ¼ * ½ *3 = 3/8 1/3 * ½ * 4 = 2/3 DG = ? GJ =? 1/8 * 1/3 * 5 = 5 / 24 JA = ? 1/8 * 1/3 * 3 = 3 / 24 = 1/8 Begründe die Rechnung!!! Horst Steibl

8 Begründung der Berechnung
CE = ? FC sind 4 Einheiten. Eine Einheit ist also ¼ * ½ . Davon muss ich 3 Einheiten für CE haben ¼ * ½ *3 = 3/8 DG = ? DF entspricht 3 Einheiten. Eine Einheit ist also 1/3 * ½ . Für DG brauche ich 4 davon . 1/3 * ½ * 4 = 2/3 Die Dreiecke GKJ und AHJ sind kongruent. Der Strecke GA entsprechen also = 8 Einheiten. GA ist 1/3. GJ somit 5/8 * 1/3 und JA somit 3/8 * 1/3 . Horst Steibl

9 Noch ein ägyptisches Dreieck!!!
Faltet man die zwei überstehenden großen ägyptischen Dreiecke nach innen, so setzen sich diese zu einem weiteren ägyptischen Dreieck zusammen. Der spitze Winkel bei E berechnet sich iio – oo ~ 10,2... °, der stumpfe Winkel bei G mit ooiioo – ii = oooo = 106,5..°, der Winkel bei J ist oii = 63,.. °. Damit ergibt sich die Winkelsumme im blauen Dreieck iiooooii Berechne die Seitenlängen des Dreiecks GEF Horst Steibl

10 Berechnung der Seitenlängen des Dreiecks GEF
EF sind 5 Einheiten von den 4 Einheiten von FC EF = EB = 5 * 1/4 * ½ = 5/8 L FL == ½ GL = DG = 2/3 EL = EC =3/8 FG =5 * 1/3 * ½ = = 5/6 GE = 2/3 + 3/8 = 25/24 Horst Steibl