Zahlen I Von den natürlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen

Präsentation zum Thema: "Zahlen I Von den natürlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen"—  Präsentation transkript:

1 Zahlen I Von den natürlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen
und darüber hinaus. Heute: Bis zu den reellen Zahlen

2 Der Hintergrund: Fraktale

3 Wo sind die wunderbaren, auch farbigen Bilder?

4 Oder

5 Nichts geht ohne Kenntnis der komplexen Zahlen
Also: ein Vortrag über Zahlen am 7.Juli, so richtig mathematisch, unverständlich. Erscheinen Sie pünktlich!

6 Leopold Kronecker 1823 – 1891, bedeutender Zahlentheoretiker:
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk

7 Richard Dedekind 1831 – 1916, u.a. Zahlentheoretiker 1887:
Was sind und was sollen die Zahlen?

8 Dedekinds Standpunkt Zahlen sind freie Schöpfungen des
menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen

9 Zahlen: Der Plan Natürliche Zahlen, Peano Von N zu Z Rationale Zahlen
Die schwierigen reellen Zahlen C: Eulers kühnes Vorgehen Rechnen in C Größere Zahlbereiche

10 Natürliche Zahlen: N 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… Oder 0, 1, 2, 3, 4, 5, …..
Geschmacksfrage!

11 Guiseppe Peano 1858 – 1932 Einfach genial, Grundlagen der Mathematik,
Analysis, …. Schaffte den lieben Gott ab.

12 Peanos N N ist eine Menge mit (P1) 1 ist eine natürliche Zahl
(P2) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger (n+1) (P3) 1 ist kein Nachfolger (P4) Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger !

13 Peanos N (P5) M sei eine Teilmenge von N mit (1) 1 ist Element von M
(2) Gehört eine Zahl zu M, dann auch deren Nachfolger. Dann gilt

14 (P5)

15 Peanos N (P5) M sei eine Teilmenge von N mit (1) 1 ist Element von M
(2) Gehört eine Zahl zu M, dann auch der Nachfolger. Dann gilt M = N. Prinzip der vollständigen Induktion!

16 Peanos N, allgemeiner N ist eine Menge mit
(P1) Es gibt ein Element a in N (P2) Jedes Element hat einen Nachfolger (P3) a ist kein Nachfolger (a ist erstes Element) (P4) Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger !

17 Peanos N, allgemeiner (P5) M sei eine Teilmenge von N mit
(1) a ist Element von M (2) Gehört eine Zahl zu M, dann auch deren Nachfolger. Dann gilt M = N. Prinzip der vollständigen Induktion!

18 Unendliche viele Modelle von N
1, 2, 3, 4, 5, ….. 0, 1, 2, 3, 4, …… -3, -2, -1, 0, …. 42, 43, 44, 45, ….. Entscheidend: Es gibt einen Anfang. Bei uns heißt der Anfang 1.

19 Eigenschaften von N N ist eindeutig (bis auf „Isomorphie“).
Es gibt eine Addition „+“ und eine Multiplikation „•“ N ist die kleinste unendliche Menge

20 John von Neumann 1903 – 1957, genialer Mathematiker,
Arbeitsgebiete u.a.: Funktionalanalysis, Informatik

21 Von Neumanns Modell von N
0 = |{}| 1 = |{0}| 2 = |{0,1}| 3 = |{0,1,2}| 4 = …. Eigentlich viel komplizierter: Erinnern Sie sich der Häuptlingsmethode?

22 Erster Beweis mit vollständiger Induktion
Francisco Maurolico 1494 – 1575 Sein Beispiel folgt.

23 Beweise mit vollständiger Induktion
Blaise Pascal 1623 – 1662 Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks.

24 Eine Beobachtung 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16
= 25

25 Eine Vermutung Die Summe der n ersten ungeraden Zahlen ist gleich n2.
…. + (2n-1) = n2. Dies gilt für jede natürliche Zahl n.

26 (P5)

27 Der Beweis Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2. Beweis:
Induktionsverankerung: n = 1 (2 – 1) = 12. Das stimmt.

28 Der Beweis Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2. Der Schluss von n auf n+1:
Vor.: …+ (2n-1) = n2 Beh.: …+ (2n-1) + (2n+1) = (n+1)2 Bew.:

29 Der Beweis Beh.: 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n2. Der Schluss von n auf n+1:
Vor.: …+ (2n-1) = n2 Beh.: …+ (2n-1) + (2n+1) = (n+1)2 Bew.: …+ (2n-1) + (2n+1) = n2 + (2n+1) = (n +1)2. Fertig!

30 Eine Bewertung Eine sichere Beweismethode. Aber:
Man braucht eine Behauptung. Der Beweis fördert kaum die Einsicht.

31 Definition durch vollst. Induktion
Beispiel: A(n) wird festgelegt durch: A(1) = 1, A(n+1) = A(n)+2n+1, n natürl. Zahl

32 Berechnung der A(n) A(1) = 1, A(n+1) = A(n)+2n+1, n natürl. Zahl

33 Was Sie längst wussten:
A(n) = n2 Hintergrund: (n+1)2 = n2+2n+1 A(n+1) = A(n)+2n+1

34 Die berühmteste Definition
Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci 1170 – 1250 Fulminanter Mathematiker

35 Fibonacci Zahlen F(1) = 1 F(2) = 1
F(n+1) = F(n) + F(n-1), n = 2,3,4,.. Lösung des „Kanickelvermehrungsproblems“

36 Fibonacci-Zahlen F(1) = 1 F(2) = 1 F(3) = 2 F(4) = 3 F(5) = 5 F(6) = 8

37 Eine Formel für F(n)

38 Ergänzungen Verallgemeinerung: Lucas-Folgen Lektüre:
Fibonacci Quarterly Ribenboim: My Numbers my Friends

39 Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen
Bedarf: Man kann in N nicht beliebig subtrahieren: 13 – 10 geht, 13 – 20 geht nicht.

40 Eigenschaften von Z Z = …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Wichtig:
Z ist abzählbar, Z ist linear geordnet, Die Ordnung verträglich mit +, •, Z ist ein Ring. Die Mathematik von Z: Zahlentheorie

41 Konstruktion von Z aus N
Die Idee: (3,5), (12,14),..,(n,n+2) steht für -2 Genauer: -2 = {(n,n+2)| n natürliche Zahl}

42 Für ExpertInnen Man definiert in NxN: (a,b)~(c,d) bedeutet: a+d=c+b.
Dies ist eine Äquivalenzrelation, die Äquivalenzklassen bilden Z.

43 Q: Die rationalen Zahlen
Bedarf: Man kann in Z nicht beliebig dividieren. -12/3 geht, -12/13 geht nicht.

44 Definition von Q

45 Eigenschaften von Q Wichtig: Q ist abzählbar. Q ist linear geordnet.
Die Ordnung verträglich mit +, •. Q ist ein „Körper“. Q liegt dicht auf der Zahlengeraden.

46 Die Dichte von Q

47 Die Dichte von Q:

48 Konstruktion von Q aus Z
Die Idee: (2,3), (4,6),..,(2z,3z) steht für 2/3 Genauer: 2/3 = {(2z,3z)| z ganze Zahl, nicht 0}

49 Für ExpertInnen Man definiert in Zx(Z\{0}):
(a,b)~(c,d) bedeutet: ad=cb. Dies ist eine Äquivalenzrelation, die Äquivalenzklassen bilden Q.

50 Die rationale Welt des Pythagoras
569– 475 v.Chr. Mathematiker, Philosoph, Zahlenmystiker.

51 Es gibt Zahlen, die keine Brüche sind

52 Indirekte Beweise Um zu beweisen, dass eine Behauptung stimmt, zeigt man, dass ihr Gegenteil falsch ist. Dies können nur Nichtbayern verstehen!

53 Der Hintergrund: Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten
Eine Behauptung ist entweder wahr oder falsch. Ist das Gegenteil einer Behauptung falsch, muss sie wahr sein. Doppelte Verneinung ist das Ursprüngliche. Anders in Bayern!

54

55

56

57 Reelle Zahlen: R

58 Eigenschaften von R Wichtig: R ist Körper. R ist linear geordnet.
Die Ordnung ist mit „+“ und „•“ verträglich. R ist „vollständig“. R ist nicht abzählbar.

59 Konstruktion von R aus Q
Man muss die Löcher auf der Zahlengeraden stopfen: „Vervollständigung“ Methoden: Cauchy-Folgen, Intervallschachtelungen, Dedekind-Schnitte.

60 Cauchy (1789 – 1857) Schuf die Grundlagen der modernen
Grenzwerttheorie, mit vielen Irrungen und Wirrungen. „Cauchy-Folgen“

61 Dedekind (1831 – 1916) Brachte den Begriff „reelle Zahl“ zu
einem vorläufigen Abschluss. 1887: Was sind und was sollen die Zahlen. „Dedekind-Schnitte“

62 Konstruktion von R Edmund Landau, 1877 – 1938 Analytische
Zahlentheorie „Grundlagen der Analysis“, 134 S.

63 Hilberts Ideen David Hilbert, 1862 – 1943 Setzte die axiomatische
Methode durch.

64 Axiome für R 11 Körperaxiome 3 Anordnungsaxiome
Das archimedische Axiom Das Vollständigkeitsaxiom R ist durch diese Axiome eindeutig (bis auf „Isomorphie“) festgelegt.

65 Unser Stand

66 R ist nicht perfekt:

67 Über R hinaus: C Die Entstehung der komplexen Zahlen: Wildwestmathematik Erste Konsolidierung: Euler Geometrische Interpretation durch Gauß und Riemann Moderne Sicht

68 Wenn Sie mehr wissen wollen
Da werden Sie geholfen. Zur Geschichte der Mathematik: The MacTutor History of Mathematics archive

69 Danach Im September die komplexen Zahlen, danach die bunten Bilder,
Ihr Herz wird erfreut sein. Mathe in Tholey wird weiter gehen!