Einstieg - Trigonometrie

Präsentation zum Thema: "Einstieg - Trigonometrie"—  Präsentation transkript:

1 Einstieg - Trigonometrie

2 Einstieg 12m 100m

3 Erklärung 1 Für konstanten Anstieg (hier 12 %) ändert sich das Verhältnis von Höhe zu waagrechter Entfernung nicht! D.h. dem Winkel entspricht ein bestimmtes Verhältnis von Höhe zu waagrechter Entfernung – hier 48 / 400 = 12 / 100 = 0,12 48m 12m 100m 400m

4 Erklärung 1 Für konstanten Anstieg ändert sich das Verhältnis von Höhe zu schräger Entfernung nicht! entspricht ein bestimmtes Verhältnis von Höhe zu schräger Entfernung – hier 60 / 800 = 15 / 200 = 0,075 D.h. dem Winkel 800m 60m 200m 15m

5 Erklärung 2 Voraussetzung: Rechtwinkliges Dreieck
Kennt man die schräge Länge und den Höhenunterschied, kann man die waagrechte Entfernung x berechnen. Man erhält: Bezeichnungen: Es gilt: 800m … Hypotenuse 60m … Gegenkathete (gegenüber α) 797,75m … Ankathete (anliegend an α) 800m 60m

6 Erklärung 2 D.h. für den Winkel beträgt das Verhältnis von
Gegenkathete zu Hypotenuse: 15 / 200 = 60 / 800 = 0,075 Ankathete zu Hypotenuse: 199,43 / 200 = 797,75 / 800 = 0,9972 Gegenkathete zu Ankathete: 15 / 199,43 = 60 / 797,75 = 0,0752 … und ist konstant. 800m 60m 200m 15m 199,43m 797,75m

7 Erklärung 3 - Definition
Für den Winkel bezeichnet man das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse: 15 / 200 = 60 / 800 = 0,075 = sin(α) Ankathete zu Hypotenuse: 199,43 / 200 = 797,75 / 800 = 0,9972 = cos(α) Gegenkathete zu Ankathete: 15 / 199,43 = 60 / 797,75 = 0,0752 = tan(α) Diese Verhältnisse sind für gleiche Winkelgrössen konstant. 800m 60m 200m 15m 199,43m 797,75m

8 Erklärung 3 - Definition
sin(α) … SINUS des Winkels α cos(α) … COSINUS des Winkels α tan(α) … TANGENS des Winkels α

9 WH: rechtwinkliges Dreieck

10 ??? … jetzt wird’s praktisch …
Aufgabe: Auf einer Landkarte erkennst du, dass eine Straße eine Steigung von 18% besitzt. Mit deinem Lineal misst du die Strecke zwischen Start- und Zielpunkt. Durch maßstabsgetreues Umrechnen kommst du auf eine Weglänge von 6km. Zeichne die ansteigende Straße maßstabsgetreu (1cm = 1km), berechne den Höhenunterschied und miss den Steigungswinkel! Wie groß ist die waag-rechte Entfernung zwischen Start- und Zielpunkt?

11 Lösung Für den Winkel α misst man ca. 10,2°. WICHTIG!
Durch Messen lässt sich der Winkel α nicht exakt bestimmen. 6000m 18m 100m

12 Lösung Es gilt aber: tan (10,2°) = 0,1799 ≈ 18 / 100
Der exakte Winkel, der dem vorgegebenen Seitenverhältnis entspricht, ist: α = °. Tipp: Den exakten Winkelwert α = ° für den tan – Wert 0,18 erhält man am TR mit 6000m

13 Lösung Um den Höhenunterschied (h) bzw. die waagrechte Entfernung (s)
zu bestimmen, können wir überlegen: sin (10,2°) = h / und: cos(10,2°) = s / 6000 Durch einfaches Umformen erhalten wir: h = 6000 sin(10,2°) = 1062,51m s = 6000 cos(10,2°) = 5905,17m 6000m

14 ??? … jetzt wird’s wieder praktisch …
Aufgabe: Eine Bergstraße verläuft von Adorf (Seehöhe 860m) auf den Höllenkogel (Seehöhe 1450m). Die Länge der Straße beträgt 8,5km. Unter welchem Winkel steigt die Straße im Mittel an? Eine Rampe für Rollstuhlfahrer soll einen Höhenunterschied von 80cm überwinden. Der Steigungswinkel von 4° muss dabei eingehalten werden. Wie lange ist die Rampe?

15 Lösung: Man berechnet den Höhenunterschied h=590m. Die schräge Entfernung beträgt 8500m. Es gilt: sin(α)= 590 / Daraus ermittelt man α=3,97°

16 Lösung: Die schräge Länge s der Rampe berechnet man mit:
sin(4°) = 0,8 / s und daraus: s= 0,8 / sin(4°) = 11,47m

17 ??? … jetzt wird’s noch praktischer …
Aufgabe: An einer Passstraße steht ein Schild an dem du die Höhe von 1300m gegenüber NN (Normal Null) ablesen kannst. Auf dem Tacho hast du abgelesen, dass du 1500m weit gefahren bist. Du willst wissen unter welchem Winkel du bergauf gefahren bist! Selbst bist du bei einer Höhe von 1000m gegenüber NN gestartet.

18 Lösung Am Taschenrechner: 0,2 INV sin bzw: 1500m 300m

19 ??? … und noch praktischer …
Aufgabe: Südlich von Freiburg befindet sich die Schauinslandbahn (erste Umlaufseilbahn der Welt), die Personen von der Höhe 550m auf den Schauinsland (Höhe 1300m) bringt. Aufgaben: Nach 2100m Fahrt bleibt die Gondel der Seilbahn wegen eines Defekts stehen. a) Bei wieviel Meter über Normal-Null blieb die Gondel stehen? b) Welchen Höhenunterschied müssen die Passagiere nun zu Fuß bis zur Bergstation zurücklegen? c) Wie groß ist der Winkel α, unter dem die Seilbahn ansteigt?

20 …zum Abschluss … Auenheim und Froschhausen liegen in derselben Höhe auf verschiedenen Seiten des Drachenkopfs. Ein Sessellift, der von Auenheim zum Gipfel des Drachenkopfs führt, ist 1800m lang und hat einen Neigungswinkel von α=21°. Bürgermeister Klump aus Froschhausen ließ bisher lediglich den Neigungswinkel zum Gipfel des Drachenkopfes mit β=16° messen. Für weitere Berechnungen fehlte im ein kundiger Mathematiker im Gemeinderat. Kannst Du ihm bei der Beantwortung folgender Fragen helfen? a)Welche Länge würde eine Seilbahn von Froschhausen zum Gipfel aufweisen? [2340,26m] b) Wie hoch liegt der Drachenkopf über den Orten? [645,06m] c) Wie teuer würde eine Tunnelverbindung von Auenheim nach Froschhausen kommen, wenn für 100m Tunnel ca. 1,5Mio€ berechnet werden? [Entfernung 3930m, ca. 58,95Mio€]

21 Lösung a) u=1800m. α=21° (bei Auenheim). Daher gilt für h: sin(21°) = h / u, daraus h=645,06m. Für v gilt mit β=16°: sin(16°) = h / v, daraus: v= 2340,26m. b)siehe a) c) w kann man mit Hilfe des Pyth. Lehrsatzes aus h und u bzw. h und v berechnen, ebenso gilt: cos(21°)= w_1 / u und cos(16°)= w_2 / v, daher: w= u∙cos(21°) + v∙cos(16°)= 3930,04m, Tunnelkosten ca. 58,95 Mio €