Wahrscheinlichkeitstheorie

Präsentation zum Thema: "Wahrscheinlichkeitstheorie"—  Präsentation transkript:

1 Wahrscheinlichkeitstheorie
Seminar Evaluation- und Forschungsstrategien 02. Juli 2019 Vortrag von Dennis Schäfer, Mona Clauter, Zeynep Fürstenfeld Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Agenda Wofür brauchen wir das eigentlich? Grundbegriffe
Definition der Wahrscheinlichkeit LaPlace Mises Kolmogoroff (Axiomatik) Additionstheorem Bedingte Wahrscheinlichkeit Multiplikationstheorem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Satz von Bayes

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wofür brauchen wir das eigentlich? Wann wird ein Deich brechen, wenn er einem konstanten hohen Druck von x- Bar ausgesetzt ist? Wie viele von denen, die einen Eignungstest bestehen, sind auch wirklich fur den Beruf geeignet? Um etwas ¨ uber ¨ zufallige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit lernen zu k ¨ onnen, m ¨ ussen die betrachteten ¨ Ereignisse zwei Bedingungen erfullen:

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5 Zufallsexperiment Beispiel
Zufallsexperiment (Ξ): Ein 6-seitiger fairer Würfel ist 1x zu werfen. Trial: Der einmalige Wurf des Würfels Ergebnisse: Die möglichen Augenzahlen (1, 2, 3, 4, 5, 6) – Was kann gewürfelt werden Ereignisse: „1 oder 6“, „Augenzahl ≤ 3“, „ungerade Zahl“, „irgendeine Zahl“ – Kombination von Ergebnissen Spielregeln sehen in dem Zufallsexperiment wie folgt aus: Ein 6-seitiger fairer Würfel ist 1x zu werfen Ergebnis ist das was alles gewürfelt werden kann – und eine konkrete Beobachtung Ereignis ist eine beliebige Zusammenfassung von Ergebnissen, 1 oder 6, 6 oder 1, die Reihenfolge Spielt keine Rolle

6 Definition der Wahrscheinlichkeit
Laplace: Wahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse sind gleich Mises: statistischer Grenzwertsatz (keine a priori Annahmen) Nach von Mieses definiert P(A) := lim n!1 nA n dieWahrscheinlichkeit eines Ereignisses A. Hierbei ist n die Gesamtzahl der Versuche und nA ist die Gesamtzahl der Versuche, bei denen A beobachtet wurde.Wird n gr¨oßer, so w¨achst auch nA entsprechend an, der Quotient nA/n strebt dabei gegen einen Grenzwert P(A). Man nennt diese Definition auch die statistische Wahrscheinlichkeitsdefinition (oder a-posteriori Definition), da keine a-priori Annahmen ¨uber die Ereignisse gemacht werden,

7 Bedingungskomplex Ereignisse A, B und Verknüpfungen von A und B
𝐴⊂𝐵 aus A folgt immer B 𝐵⊂𝐴 aus B folgt immer A 𝐴∩𝐵 A und B treten gleichzeitig auf 𝐴∪𝐵 A oder B treten auf, oder beide 𝐴= 𝐵 A tritt dann ein, wenn B nicht eintritt

8 Axiomatik Kolmogoroff (1933) mengentheoretisch begründeter Wahrscheinlichkeitsbegriff
Wahrscheinlichkeit P(A) ist eine Funktion des Ereignisses A Eigenschaften: Fundamentale Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten formal und frei von a-priori Eigenschaften der Elementarereignisse A1 P(A) ≥ 0 A2 P(Ω) = 1 A3 P (A ∪𝑩)=𝑷(𝑨)+𝑷(𝑩) Mathematischer Umgang mit Wahrscheinlichkeiten jedem Ereignis A, das einer Ereignisalgebra angeh¨ort, eine wohlbestimmte Wahrscheinlichkeit P (A) zugewiesen werden kann. Die Wahrscheinlichkeit P (A) ist eine auf der Ereignisalgebra A definierte Funktion des Ereignisses A. Diese Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

9 Schlussfolgerungen 0≤𝑃(𝐴)≤1
𝑃 𝐴 +𝑃( 𝐴 )= 1  Wahrscheinlichkeit des Komplements 𝑃( 𝐴 ) = 1- P(A) weitere im Skript..

10 Aufgabe 1

11 Additionstheorem Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, dass sich aus der Vereinigung zweier anderer Ereignisse ergibt 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃(𝐴∩𝐵) nicht disjunkt 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 disjunkt P von A oder B 𝑃 𝐴∩𝐵 =0 P 𝐴 1 ∪𝐴 2 ∪…∪𝐴 𝑘 =𝑃( 𝐴 1 )+…+𝑃(𝐴 𝑘 )

12 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B, unter der Bedingung, dass schon ein anderes Ereignis A eingetreten ist 𝑃 𝐵 𝐴 = P A∩B P A 𝑃 𝐴 >0 Erklärung Wahrscheinlichkeit ändert sich für B, durch das Eintreten von A z.B. ziehen ohne zurücklegen  Omega wird kleiner 𝐴∩𝐵 𝐴∪𝐵

13 Multiplikationstheorem
Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens von A und B 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐴)∙𝑃(𝐵|𝐴) Unabhängigkeit der Ereignisse 𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵) Die Kenntnis dass A eingetreten ist, ist ohne Konsequenz für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B

14 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
Unbedingte Wahrscheinlichkeit von B wird mit seinen bedingten Wahrscheinlichkeiten in Bezug gesetzt 𝑃 𝐵 =𝑃 𝐵 𝐴 ⋅𝑃 𝐴 +𝑃(𝐵| 𝐴 )⋅𝑃( 𝐴 ) ! Partitionierung: Zerlegung der Menge der Elementarereignisse Ω in A und 𝐴 A Ereignis B 𝐴

15 B 𝐵 A 𝐴 B 𝐵 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐴)∙𝑃(𝐵|𝐴) 𝑃 𝐴∩ 𝐵 =𝑃(𝐴)∙𝑃( 𝐵 |𝐴)
𝑃 𝐴∩ 𝐵 =𝑃(𝐴)∙𝑃( 𝐵 |𝐴) 𝑃 𝐴 ∩𝐵 =𝑃( 𝐴 )∙𝑃(𝐵| 𝐴 ) 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =𝑃( 𝐴 )∙𝑃( 𝐵 | 𝐴 ) B 𝐵 A 𝐴 B 𝐵

16 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

17 B 𝐵 A1 B A2 Aj B 𝐵 . 𝑃 𝐴1∩𝐵 =𝑃(𝐴1)∙𝑃(𝐵|𝐴1) 𝑃 𝐴1∩ 𝐵 =𝑃(𝐴1)∙𝑃( 𝐵 |𝐴1)
𝑃 𝐴1∩ 𝐵 =𝑃(𝐴1)∙𝑃( 𝐵 |𝐴1) 𝑃 𝐴2∩𝐵 =𝑃(𝐴2)∙𝑃(𝐵|𝐴2) 𝑃 𝐴2∩ 𝐵 =𝑃 𝐴2 ∙𝑃 𝐵 𝐴2 . 𝑃 𝐴𝑗∩𝐵 =𝑃(𝐴𝑗)∙𝑃(𝐵|𝐴𝑗) 𝑃 𝐴𝑗∩ 𝐵 =𝑃(𝐴𝑗)∙𝑃( 𝐵 |𝐴𝑗) A1 A2 . Aj B B 𝐵

18 Theorem von Bayes 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐵|𝐴)⋅𝑃(𝐴) 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐴|𝐵)⋅𝑃(𝐵) 𝑃(𝐵|𝐴)⋅𝑃(𝐴) =𝑃(𝐴|𝐵)⋅𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐵|𝐴)⋅𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵)

19 Theorem von Bayes 𝑃 𝐵 =𝑃 𝐵 𝐴 ⋅𝑃 𝐴 +𝑃(𝐵| 𝐴 )⋅𝑃( 𝐴 ) (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐵|𝐴)⋅𝑃(𝐴) 𝑃 𝐵 𝐴 ⋅𝑃 𝐴 +𝑃(𝐵| 𝐴 )⋅𝑃( 𝐴 )

20 Aufgabe 2

21 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!