Begründung der Kristallphysik (Strena Seu de Nive Sexangula, 1611)

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1 Begründung der Kristallphysik (Strena Seu de Nive Sexangula, 1611)
erneut J. Kepler, der sich Gedanken zur „Sechsstrahligkeit von Schneekristallen“ machte Begründung der Kristallphysik (Strena Seu de Nive Sexangula, 1611) mikroskopische Eigenschaften sind für makroskopische Muster verantwortlich

2 Thermische Ausdehnung
Kristallphysik Thermische Ausdehnung Kristallstab: Länge 𝑙0 → Erwärmen → Länge 𝑙 𝑙− 𝑙 0 𝑙 0 = Δ𝑙 𝑙 0 =𝛼Δ𝑇 𝛼 … linearer Ausdehnungskoeffizient 𝛼 ist abhängig von der Richtung in der Stab aus dem Kristall herausgeschnitten ist Ursache: (anisotrope) Schwingungen der Atome um ihre Gleichgewichtslage Schwingung ist mit Bindungs- stärke verknüpft 0°C … J … 100°C W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010)

3 Thermische Ausdehnung
Kristallphysik Thermische Ausdehnung 𝛼 ∥ = 33⋅ 10 −6 𝐾 −1 Ca(OH)2 [𝑃 3 𝑚1] Schichtstruktur (CdI2-Typ) schwache Bindung ∥𝑐 starke Bindung ⊥𝑐 𝛼 ⊥ =10⋅ 10 −6 𝐾 −1 Anisotropie stark ausgeprägt, wenn die Bindungsverhältnisse (Stärke, Länge) in den Richtungen stark unterschiedlich sind Verhalten wird isotroper, wenn diese Unterschiede abnehmen c

4 Thermische Ausdehnung
Kristallphysik Thermische Ausdehnung Kristall → Kugel mit Radius 𝑟0 herausschneiden → Erwärmen → Kugel wird Ellipsoid wenn 𝛼𝑎,𝛼𝑏,𝛼𝑐 die Ausdehnungskoeffizienten entlang der 3 (zueinander senkrechten) Hauptachsen 𝑎,𝑏,𝑐 sind, dann hat der Ellipsoid die Hauptachsenlängen 𝑙 𝑎 = 𝑟 𝛼 𝑎 Δ𝑇 𝑙 𝑏 = 𝑟 0 (1+ 𝛼 𝑏 Δ𝑇) 𝑙 𝑐 = 𝑟 0 (1+ 𝛼 𝑐 Δ𝑇) Lage von X ändert sich nach X‘ Vektor 𝑟 = 𝑥 𝑥 3 wird zu 𝑟′ = 𝑟 + 𝑢 =( 𝑥 𝑢 2 )+ 𝑥 𝑢 3 damit: 𝑥 2 ′ = 𝑥 𝛼 𝑏 Δ𝑇 → 𝑢 2 = 𝛼 𝑏 Δ𝑇 𝑥 2 𝑥 3 ′ = 𝑥 3 (1+ 𝛼 𝑐 Δ𝑇)→ 𝑢 3 = 𝛼 𝑐 Δ𝑇 𝑥 3 𝑥 1 ′ = 𝑥 𝛼 𝑎 Δ𝑇 → 𝑢 1 = 𝛼 𝑎 Δ𝑇 𝑥 1 𝜀 𝑖 = 𝛼 𝑖 Δ𝑇 (𝑖=𝑎,𝑏,𝑐) W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010)

5 Kristallphysik Thermische Ausdehnung für nichtkubische Kristallsysteme wird das normierte kartesische System der Eigenschaften in seiner Orientierung möglichst sinnvoll auf bestimmte kristallographische Elemente des Kristalls festgelegt

6 Kristallphysik Symmetrie physikalischer Eigenschaften Regeln: Neumannsches Prinzip Die der Eigenschaft des Kristalls innewohnende Symmetrie muß auch die Symmetrie des Kristalls wiederspiegeln darf der Symmetrie des Kristalls nicht wiedersprechen Die Symmetrie einer Eigenschaft kann nicht kleiner als die Kristallsymmetrie sein. Bsp.: durch Temperaturänderung darf sich die Kristallklasse (=Punktgruppe) nicht ändern (Ausnahme: Phasenumwandlung) kubisches System: alle Achsen ändern sich identisch tetragonales/hexagonales System: Änderung von a, c und c/a monoklines System: Änderung von a, b, c und b, sowie deren Verhältnissen Tensorkomponenten werden zusätzlich durch das Auftreten von Symmetrieelementen der Kristallklassen bestimmt

7 Symmetrie physikalischer Eigenschaften
Kristallphysik Symmetrie physikalischer Eigenschaften äußere Symmetrie der Eigenschaftstensoren, bestimmt durch die Kristallklasse „Welche Form hat eine aus dem Kristall herausgeschnittene Kugel nach Erwärmen?“ Hauptachsensystem beliebige Lage des Ellipsoids gegen kristallographische Achsen Lage des Ellipsoids nur durch eine kristallographische Achsen definiert W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010) Ellipsoid invariant gegen kristallographische Achsen 2 gleich lange Hauptachsen

8 Symmetrie physikalischer Eigenschaften - Tensordarstellung
Kristallphysik Symmetrie physikalischer Eigenschaften - Tensordarstellung Komponenten eines Tensors 2. Stufe → quadratische Form (Hauptachsensystem): allg. Gleichung eines Ellipsoids: die Halbmesser des Ellipsoids sind damit: 𝑖,𝑗 𝜆 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 = 𝜆 11 𝑥 𝜆 22 𝑥 𝜆 33 𝑥 3 2 =1 𝑥 1 𝑎 𝑥 2 𝑏 𝑥 3 𝑐 2 =1 1 𝜆 𝑏𝑧𝑤 𝜆 𝑎 1 𝜆 𝑏𝑧𝑤 𝜆 𝑏 1 𝜆 𝑏𝑧𝑤 𝜆 𝑐 𝜆 𝑎 , 𝜆 𝑏 , 𝜆 𝑐 >0 W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010)

9 𝐺 𝑖 =𝐺⋅ cos 𝜌 𝑖 Kristallphysik
Symmetrie physikalischer Eigenschaften - Tensordarstellung Richtungskosinusse Winkel eines Vektors mit den Achsen des Koordinatensystems c 𝐺 = 𝐺 𝑎 𝐺 𝑏 𝐺 𝑐 Gc 𝐺 𝐺 =𝐺= 𝐺 𝑎 2 + 𝐺 𝑏 2 + 𝐺 𝑐 2 rc 𝜌 𝑎 =∠ 𝐺 ,𝑎 𝜌 𝑏 =∠( 𝐺 ,𝑏) 𝜌 𝑐 =∠( 𝐺 ,𝑐) ra rb Gb b Ga a 𝐺 𝑖 =𝐺⋅ cos 𝜌 𝑖

10 Kristallphysik Symmetrie physikalischer Eigenschaften - Tensordarstellung mit den Richtungskosinussen: 𝑖,𝑗 𝜆 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 = 𝑖,𝑗 𝜆 𝑖𝑗 𝑟 2 cos 𝜌 𝑖 cos 𝜌 𝑗 𝑟 … Ortsvektor, welcher die Tensorfläche charakterisiert 𝜆 𝑟 = 𝑟 −2 𝜆𝑟 für alle 0…𝜌𝑖…360° → Indexfläche Indexfläche genügt den Symmetriebedingungen des Tensors → repräsentative Fläche

11 Kristallphysik andere richtungsabhängige Eigenschaften Wärme- und Temperaturleitfähigkeit elektrische Leitfähigkeit dielektrische Suszeptibilität Piezoelektrizität Doppelbrechung mechanische Eigenschaften …

12 spontane Polarisation/Pyroelektrizität Anwendungen:
Kristallphysik spontane Polarisation/Pyroelektrizität Anwendungen: => hervorrufen einer Spannung bei sehr geringen Δ𝑇 Temperaturfühler Mikrowellendetektoren Infrarotbewegungsmelder Erzeugung hoher Spannungen (~ 100 kV) auf kleinem Raum Miniaturröntgenquellen (Beschleunigung von e- durch Feld des pyroelektrischen Kristalls) „pyroelektrische Fusion“ (Beeinflussung von 1 2 𝐻 )

13 mechanische Energie → elektrische Energie
Kristallphysik Piezoelektrizität Oberflächen eines piezoelektrischen Kristalls laden sich bei einachsiger Belastung auf mechanische Energie → elektrische Energie Esoterik (Kristallheilung…)

14 + - - + + - Kristallphysik Piezoelektrizität
Oberflächen eines piezoelektrischen Kristalls laden sich bei einachsiger Belastung auf Abstraktion der Dipolmomente + - - + + - Quarz [001]-Projektion

15 Kristallphysik Piezoelektrizität
Oberflächen eines piezoelektrischen Kristalls laden sich bei einachsiger Belastung auf X … [100] elektrische Achse Y … [120] mechanische Achse Z … [001] Blickrichtung X Eigenschafts- koordinatensystem Y Quarz: 1 𝑃𝑎→ 𝑄 = 2.3∙ 10 −12 𝐴𝑠/𝑚2

16 Kristallphysik Piezoelektrizität
Oberflächen eines piezoelektrischen Kristalls laden sich bei einachsiger Belastung auf X … [100] elektrische Achse Y … [120] mechanische Achse Z … [001] Blickrichtung longitudinal Scherung transversal

17 Quarzkristall als Schwingungsgeber einer Uhr (𝑓 = 32.768 𝑘𝐻𝑧)
Kristallphysik Piezoelektrizität Oberflächen eines piezoelektrischen Kristalls laden sich bei einachsiger Belastung auf Effekt ist umkehrbar Quarzkristall als Schwingungsgeber einer Uhr (𝑓 = 𝑘𝐻𝑧)

18 Kristallphysik Piezoelektrizität AT-cut optimiert X … [100] Z (001)
Kristallphysik Piezoelektrizität W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010) AT-cut optimiert X … [100] elektrische Achse Y … [120] mechanische Achse Z … [001] Blickrichtung Z (001) R (101) x (2 1 0) r (101) m (100)

19 Kristallphysik Piezoelektrizität Deformation bzw. äußere Spannung sind symmetrische Tensoren 2. Stufe Deformation erzeugt Polarisation: = Tensor 1. Stufe (= Vektor) (Richtung der Ladungsverschiebung) Polarisation ist i. Allg. lineare Funktion der Komponenten des Spannungstensors 𝑃 𝑖 = 𝑗,𝑘 𝑑 𝑖𝑗𝑘 𝜎 𝑗𝑘 𝑑𝑖𝑗𝑘 … piezoelektrische Moduln Materialkonstanten lineare Verbindung zwischen Tensor 2. und Tensor 1. Stufe 27 Komponenten: Tensor 3. Stufe da 𝜎 𝑖𝑗 = 𝜎 𝑗𝑖 ist 𝑑 𝑖𝑗𝑘 = 𝑑 𝑖𝑘𝑗 18 unabhängige Komponenten Symmetriebetrachtung: für alle Kristallklassen mit Inversionszentrum & 432 : 𝑑 𝑖𝑗𝑘 =0 => kein piezoelektrischer Effekt verbleibende 20 Kristallklassen können Piezoeffekt zeigen 𝑃 1 &= 𝑑 111 𝜎 11 + 𝑑 112 𝜎 12 + 𝑑 113 𝜎 13 &+ 𝑑 121 𝜎 21 + 𝑑 122 𝜎 22 + 𝑑 123 𝜎 23 &+ 𝑑 131 𝜎 31 + 𝑑 132 𝜎 32 + 𝑑 133 𝜎 33 𝑃 2 &= 𝑑 211 𝜎 11 + 𝑑 212 𝜎 12 + 𝑑 213 𝜎 13 &+ 𝑑 221 𝜎 21 + 𝑑 222 𝜎 22 + 𝑑 223 𝜎 23 &+ 𝑑 231 𝜎 31 + 𝑑 232 𝜎 32 + 𝑑 233 𝜎 33 𝑃 3 &= 𝑑 311 𝜎 11 + 𝑑 312 𝜎 12 + 𝑑 313 𝜎 13 &+ 𝑑 321 𝜎 21 + 𝑑 322 𝜎 22 + 𝑑 323 𝜎 23 &+ 𝑑 331 𝜎 31 + 𝑑 332 𝜎 32 + 𝑑 333 𝜎 33

20 20 Kristallklassen können piezoelektrischen Effekt zeigen
Kristallphysik Piezoelektrizität 20 Kristallklassen können piezoelektrischen Effekt zeigen W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010) auch polykristalline Aggregate, deren Texturen einer der (erlaubten) kontinuierlichen Punktgruppen angehören -> PZT: Pb(ZrxTi1-x)O3 Quarz: Phasenumwandlung bei 𝑇 = 573°𝐶: Tiefquarz -> Hochquarz Wechsel der Kristallklasse: 32 -> 622 => Hochquarz zeigt keinen piezoelektrischen Effekt, obwohl lt. Kristallklasse möglich andere Piezoelektrika: Pb(ZrxTi1-x)O3, LiNbO3, SbSI, Seignettesalz (NaKC4H4O6∙4H2O),…

21 PZT-Keramiken sind meist polykristalline Aggregate
Kristallphysik Piezoelektrizität PZT: Pb(ZrxTi1-x)O3 Perowskit-Struktur unterhalb der Curie-Temperatur wandert das 4+-Kation aus dem Oktaederzentrum heraus => Dipol (Polarisation) PZT-Keramiken sind meist polykristalline Aggregate Polykristall: Orientierung aller EZ statistisch: Körper ist isotrop Werkstoff muss polarisiert werden

22 PZT-Keramiken sind meist polykristalline Aggregate
Kristallphysik Piezoelektrizität PZT-Keramiken sind meist polykristalline Aggregate Polykristall: Orientierung aller EZ statistisch: Körper ist isotrop Werkstoff muss polarisiert werden: Glühen im el. Feld unterhalb der TC alle EZ mit ihren Dipolen richten sich aus bleiben nach Abkühlen und Abschalten des el. Feldes „eingefroren“ Sintern Polarisieren fertig Anwendungen: Klopfsensor, Beschleunigungssensor, Füllstandssensor, Luftmassenmesser, Zahnsteinentferner, Ultraschalldiagnostik, Schallerzeugung, aktive Schwingungsdämpfung, Füllstandssensoren, Feuerzeuge, Zerstäuber, Gitarrentonabnehmer, Uhren,…

23 optische Eigenschaften (Doppelbrechung, Calcit)
Kristallphysik optische Eigenschaften (Doppelbrechung, Calcit)

24 optische Eigenschaften
er: Wieviel besser leitet ein Festkörper das el. Feld als das Vakuum (e0)? Kristallphysik optische Eigenschaften Welche Materialeigenschaft bestimmt die optischen Eigenschaften?

25 optische Eigenschaften (Doppelbrechung, Calcit)
Kristallphysik optische Eigenschaften (Doppelbrechung, Calcit) Lichtstrahl, der einen doppelbrechenden Kristall durchstrahlt wird in 2 Strahlen aufgeteilt ein Strahl gehorcht dem Brechungsgesetz (ordentlicher Strahl) anderer Strahl folgt dem Brechungsgesetz nicht (außerordentlicher Strahl) Erklärung: ordentlicher Strahl: Ausbreitung der Welle wie in isotropem Medium Wellenfläche = Kugel außerordentlicher Strahl: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle richtungsabhängig Wellenfläche = Rotationsellipsoid Rotationsachse des Ellipsoids = c-Achse des Kristalls W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010) 0 … optische Achse (c-Achse) 𝑆0 … ordentlicher Strahl 𝑆𝑒 … außerordentlicher Strahl AB … Wellenfronten (Tangenten)

26 optische Eigenschaften (Doppelbrechung, Calcit) Grenzfälle:
Kristallphysik optische Eigenschaften (Doppelbrechung, Calcit) Grenzfälle: Lichteinfall parallel optischer Achse Lichteinfall senkrecht optischer Achse W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010) W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010) 𝑆𝑒 = 𝑆0 (𝑁, 𝑣) optisch isotrop 𝑁0 = 𝑁𝑒 𝑣0 < 𝑣𝑒 (max.) |Δ𝑛| = max. [Δ𝑛=−0.172] für l = 589 nm maximale Doppelbrechung, aber keine Strahlaufspaltung (𝑁0=𝑁𝑒) Δ𝑛<0:=>𝑣𝑒>𝑣0 Strahlaufspaltung zwischen den Grenzfällen: Maximum bei 𝜈= arctan 𝑛 𝑒 𝑛 0 Calcit: 𝑛=41.9° => Aufspaltung: 6.2° Quarz: Aufspaltung: 0.3°

27 Suszeptibilität ist Eigenschaft der Atome
Kristallphysik Magnetismus Suszeptibilität ist Eigenschaft der Atome Magnetismus ist die gekoppelte Wechselwirkung der atomaren Momente => interatomare Wechselwirkung der Elektronenspins Ferromagnetika (Fe, Co, Ni, Gd, MnP, CrTe, SmCo, Fe14Nd2B): parallele Anordnung permanenter magnetischer Momente (Spins) parallel nur innerhalb eines Weißschen Bezirks unmagnetisiert: Momente der Weißschen Bezirke kompensieren sich magnetisiert: Momente der Weißschen Bezirke am externen Feld ausgerichtet Richtungen leichter Magnetisierbarkeit: kfz: 〈111〉 Ni krz: 〈100〉 Fe hcp: 〈001〉 Co, Gd nicht linearer Zusammenhang zwischen 𝐽 und 𝐻: 𝜒≠𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡., 𝜒≫0 => Hysterese W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010)

28 Mehr zu Magnetwerkstoffen?
=> Vorlesung „Physikalische Materialkunde II/2“ (Prof. Leineweber, 9. Sem. WW) Kristallphysik Magnetismus Suszeptibilität ist Eigenschaft der Atome Magnetismus ist die gekoppelte Wechselwirkung der atomaren Momente => interatomare Wechselwirkung der Elektronenspins Antiferromagnetika (MnO): ob ferro- oder antiferro: abh. von der Art und Stärke der Spinwechselwirkungen (Austauschintegral) kein resultierendes magnetisches, makroskopisches Moment => Paramagnetika aber magnetische Anomalien, die Paramagnetika nicht aufweisen Ferrimagnetika (v.a. Spinelle): Einsatz in Hochfrequenztechnik (magn. Suszeptibilität ↑, el. Widerstand ↑) Mn2+ auf (111) ∥[1 1 0] ∥[ 1 10] ∥[1 1 0] oder Kristallklasse: 𝑚 3 𝑚 (NaCl-Typ) W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010)

29 Magnetismus (Symmetrie)
Kristallphysik Magnetismus (Symmetrie) Kristallographie unter Berücksichtigung von atomaren Eigenschaften: Richtung des Elektronenspins (2 zusätzliche Merkmale je Atomposition: ±1) c W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010) f a Symmetriereduktion: 4 𝑚 →2 Kristallklasse: 𝑚 3 𝑚 = 4 𝑚 𝑚 a 230 Raumgruppen → 1421 Antisymmetrieraumgruppen (Shubnikov-Gruppen, Schwarz-Weiß-Gruppen) Empfehlung: ‚There‘s plenty of room at the bottom‘ – R. Feynman (1959)

30 Kristallphysik Mechanische Eigenschaften Bsp.: AlN (HP) NaCl-Struktur Kristallklasse 𝑚 3 𝑚 AlN Wurtzitstruktur Kristallklasse 6𝑚𝑚

31 Kristallphysik Mechanische Eigenschaften Bsp.: ZrO2 (t) Kristallklasse 4/𝑚𝑚𝑚 ZrO2 (m) Kristallklasse 2/𝑚

32 Mechanische Eigenschaften
Kristallphysik Mechanische Eigenschaften 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 hat 34 =9×9=81 Komponenten es gilt: 𝜎 𝑖𝑗 = 𝜎 𝑗𝑖 , 𝜀 𝑘𝑙 = 𝜀 𝑙𝑘 , daher 6×6=36 Komponenten in Voigtscher Notation: 𝐶 𝑖𝑗𝑘𝑙 ist symmetrisch, daher: 𝐶 𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶 𝑗𝑖𝑘𝑙 = 𝐶 𝑖𝑗𝑙𝑘 = 𝐶 𝑗𝑖𝑙𝑘 es verbleiben 21 unabhängige Komponenten des Elastizitätstensors Anzahl der unabhängigen Komponenten wird durch Kristallsymmetrie reduziert (Neumann-Prinzip) im isotropen Fall: 2 Komponenten des Elastizitätstensors verbleiben (C1111, C1122) 𝜎 𝑖𝑗 = 𝑘,𝑙 𝐶 𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀 𝑘𝑙 𝜎 11 𝜎 22 𝜎 33 𝜏 23 𝜏 13 𝜏 12 = 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝜀 11 𝜀 22 𝜀 33 𝛾 23 𝛾 13 𝛾 12 = 𝐶 11 𝐶 12 𝐶 13 𝐶 14 𝐶 15 𝐶 16 𝐶 21 𝐶 22 𝐶 23 𝐶 24 𝐶 25 𝐶 26 𝐶 31 𝐶 32 𝐶 33 𝐶 34 𝐶 35 𝐶 36 𝐶 41 𝐶 42 𝐶 43 𝐶 44 𝐶 45 𝐶 46 𝐶 51 𝐶 52 𝐶 53 𝐶 54 𝐶 55 𝐶 56 𝐶 61 𝐶 62 𝐶 63 𝐶 64 𝐶 65 𝐶 𝜀 11 𝜀 22 𝜀 33 𝛾 23 𝛾 13 𝛾 12 2𝐺= 𝐸 1+𝜈 Gilt nicht für kristalline Materialien! Auch nicht für Kubische!

33 Mechanische Eigenschaften
Kristallphysik Mechanische Eigenschaften System triklin monoklin orthorhombisch rhomboedrisch tetragonal hexagonal kubisch isotrop Klassen alle 3, 3 32, 3𝑚, 3 𝑚 4, 4 ,4/𝑚 4𝑚𝑚, 4 2𝑚, 422, 4/𝑚𝑚𝑚 Komponenten 21 13 9 7 6 5 3 2

34 Mechanische Eigenschaften Plastizität
Kristallphysik Mechanische Eigenschaften Plastizität Anisotropie der Plastizität liegt in der Art der aktiven/erlaubten Gleitsysteme W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010) Mechanische Eigenschaften der Werkstoffe: zentraler Teil der WW => Vorlesung „Physikalische Materialkunde“ (Prof. Leineweber, Dr. Martin, ab 5. Sem. WW) => Vorlesung „Eigenspannungen“ (Dr. Schimpf, 6. Sem. WW)