... mit uns können Sie rechnen!

Präsentation zum Thema: "... mit uns können Sie rechnen!"—  Präsentation transkript:

1 ... mit uns können Sie rechnen!
master-module Gernot Mühlbacher ... mit uns können Sie rechnen! * Höhensatz ... eng verknüpft mit den Lehrwerken: ‚Satz des Thales‘ ‚Satz des Pythagoras‘ * Kathedensatz ...des Euklid Das Lernsoftware-Paket zu diesem Thema kannst du kostenlos herunterladen: Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! 16 © Gernot Mühlbacher Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe

2 ... mit uns können Sie rechnen!
Stichwortverzeichnis 1 führt immer zum 16 Lernen ist mehr als Verstehen ... zum Suchen Folie Nr.: Ähnliche Dreiecke 7-9 Verhältnisse (Rechnen mit ...) 7 Euklid (Leben) 2 Vier-Stufen-Prinzip 15 Größenverhältnisse Höhensatz (Beweise) 3, 9 Höhensatz (Berechnungen) 4, 11-14 Hypotenusen-Abschnitte 3 Kathetensatz (Beweise) 5-8 Kathetensatz (Berechnungen) 10-14 Pythagoras (Satzgruppe des ...) Pythagoras-Beweis (Satz des ...) 9 Streckenverhältnisse ? 2 3 4 5 Folie Nr.: 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... mit uns können Sie rechnen! 15 16 17 18 Folien-Nr. anklicken! 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

3 Oxford University Museum
Euklid von Alexandria war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria (Nordafrika) gelebt hat. Darstellung Euklids,  Oxford University Museum In seinem Werk ‚Elemente‘ überblickte er das Wissen der griechischen Mathematik und der antiken Vorläufer. Damit verdanken wir ihm auch die Überlieferung des Wissens der vor ihm lebenden Thales von Milet (um 600 v.Chr.) und Pythagoras von Samos (etwa 570 bis 510 v.Chr.) Der Höhensatz und der Kathetensatz des Euklid wurden also nach diesem jüngsten der drei großen Griechen benannt. Es ist allerdings ungeklärt, ob sie von Euklid stammen. Sie bilden mit dem eigentlichen Satz des Pythagoras zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. Euklid‘s Ruf gründet vor allem auf der geordneten Darstellung der damaligen mathematischen Erkenntnisse und auf dem strengen Vorgehen bei der Beweisführung in der Mathematik. Wir wenden uns nun dem Höhensatz und dem Kathetensatz des Euklid zu. Bild 1 Bildnachweis 1

4 . . Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK!
B WAS SAGT DER HÖHENSATZ AUS? In diesem rechtwinkligen Dreieck ABC wird eine Höhe h eingezeichnet (auf der dem rechten Winkel gegenüber liegenden Seite). c a b h2 h F Sie soll vom Fußpunkt F durch den Scheitelpunkt des rechten Winkels (hier C) verlaufen. . q q p p Auf der Hypotenuse AB entstehen zwei Hypotenusen-Abschnitte. Wir nennen sie q = A𝐹 und p = FB . oder p•q Höhensatz: Für den allgemeinen Beweis gilt: Nimm das ‚AB zu Folie 3‘! Beantworte mit Hilfe aus dem Internet die Frage: Welche Aussage (in Worten) wird mit dem Höhensatz formuliert? Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK! Der Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge h (Höhe des rechtw. Dreieckes über der Hypotenuse) ist gleich groß 1. 𝛥 ABC: a2 + b2 = c2 2. 𝛥 AFC: b2 = h2 + q2 h2 + q2 3. 𝛥 FBC: a2 = h2 + p2 h2 + p2 wie der Flächeninhalt des Rechteckes mit den Seitenlängen p und q. 4. p + q = c |2 (p + q)2 = c2 (p + q)2 In 1. setzen wir 2. , 3. und 4. ein: Formel zum Höhensatz: h2 = h2 = q•p q • p a b = c2 Nimm das ‚AB zu Folie 3‘! Suche im rechtwinkligen Dreieck ABC zwei weitere rechtwinklige Dreiecke! Wende jeweils den Satz des Pythagoras darauf an! Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK! ( a2 ) + ( b2 ) = c2 Auf dieser Formel beruht auch die oft gebrauchte kürzere Formulierung des Höhensatzes: 1. binomische Formel h2 + p h2 + q2 = p2 + 2•q•p + q2 |-p2 |-q2 Nimm das ‚AB zu Folie 3‘! Kannst du diese Aussage auch als Formel niederschreiben? Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK! Das Quadrat der Höhe h ist gleich dem Produkt der Abschnitte p und q. 2h = q•p | :2 Aus der rein algebraischen Formulierung (Rechenrezept!) ist die geometrische Herkunft nicht mehr abzulesen. Vergiss diese nicht! Vollende jetzt auf deinem ‚AB zu Folie 3‘ den Beweis aus dem Gedächtnis! Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK! Beweis erbracht! 1

5 . . . . . . . . . . . . . . . . Flexibilität mit Variablen Höhensatz M
O . O . N Flexibilität mit Variablen Höhensatz ho hn v . . x y z M ho2 = x • y hn2 = v • z Nimm das ‚AB zu Folie 4‘! Wende die vorgegebenen Variablen für die Bezeichnung der Höhen an und stelle die Höhensatz-Formeln für die jeweiligen Dreiecke der Reihe nach auf! Kontrolliere zunächst nach jeder Aufgabe (Bildschirm) ... bis du sicher bist! Fertig? ... zurück zum Bildschirm! Z S d s . hy . c . Y hq . r R Q X hq2 = c • d hy2 = r • s W T C o n w E i . v . . . U F hu u . p hd hm . ha k K . . I A D V M hd2 = v • w hu2 = i • k hm2 = u • n ha2 = o • p 1

6 Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK!
DER KATHETENSATZ Experiment und Vermutung Variante 2 Der Kathetensatz setzt wiederum ein rechtwinkliges Dreieck voraus. Auch hier teilt der Fußpunkt F der Höhe h die Hypotenuse (hier c) in die zwei Teilstrecken q und p. AQ = a2 AQ = 25 cm2 b = cm 3,6 c = cm 6,5 a Diese Werte müssen mit denen auf dem Arbeitsblatt nicht übereinstimmen. q = cm 2 AQ = b2 p AQ = 12,96 cm2 Diese Werte müssen mit denen auf dem Arbeitsblatt nicht übereinstimmen. b a = cm 5 AR = c • p AR = 25,2 cm2 c = cm q Variante 1 c p = cm 4,2 AR = c • q AR = 13 cm2 Beschreibe auf deinem AB, was dir an den Varianten 1 und 2 auffällt! Zurück? Forsche dann einmal im Internet nach, welche Aussagen du zum Stichwort ‚Kathetensatz‘ erfahren kannst! Fertig, dann ... KLICK! Variante 1: Nimm das ‚AB zu Folie 5‘! Sieh dir die Quadratfläche über der Kathete b und die Rechteckfläche unterhalb der Seite c genau an! Miss jeweils die Seitenlängen und berechne die Flächen! Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK! Die beiden rechtwinkligen Dreiecke ABC sind nicht deckungsgleich (kongruent). Vergleiche die Maße! Variante 2: Nimm das ‚AB zu Folie 5‘! Sieh dir die Quadratfläche über der Kathete b und die Rechteckfläche unterhalb der Seite c genau an! Miss jeweils die Seitenlängen und berechne die Flächen! Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK! Es sind nicht die ganz verschieden ausfallenden Längenmaße bei den Quadraten oder Rechtecken, die uns zu einer Vermutung verleiten können: Jetzt wollen wir genau formulieren und die Vermutung(en) beweisen. Was fällt dir auf? 1

7 Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK!
Variante 1 und Variante 2 in einem Bild ⇓ verkleinerte Bilder AQ = a2 b AQ = b2 a Bearbeite (wenn‘s geht) in einem Zug das ganze ‚AB zu Folie 6‘! Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK! Beide Varianten führen zu der gleichen Vermutung, dem sog. Kathetensatz: c In einem rechtwinkligen Dreieck ist > das Quadrat über einer Kathete genau so groß wie RI RII Wir drehen das Rechteck von Variante 2 um 90°. > das Rechteck, das so lang ist wie die Hypotenuse und so breit wie der anliegende Hypotenusenabschnitt. ... dann drehen wir das Rechteck von Variante 1 um 90°. c ARI = c • q Den Sinn des Lehrsatzes musst du verstehen und bei Bedarf bereit haben! ... nicht Formeln ohne Verstand dahersagen. ARII = c • p Wenn unsere Vermutung stimmt, dann gilt: Stelle dich darauf ein, dass die Flächen, Winkel oder die Längen oft mit anderen Variablen beschrieben werden. b2 = c • q a2 = c • p Zeichnungen oder Formeln musst du dann immer wieder auf die jeweils aktuell verwendeten Variablen anpassen. Das wären dann die Formeln zum Kathetensatz. Aber: Noch fehlt der Beweis! 1

8 . . . Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK!
Zum Verständnis der anstehenden Beweisführung 2. Größen in ein Verhältnis setzen: hT2 hT1 𝛂 𝛃 𝜸2 𝜸1 Wir wissen nicht, wie hoch die Türme T1 und T2 sind. 𝛃 𝛂 𝜸1 = 180° - 90° - 𝛂 = 𝜸2 = 180° - 90° - 𝛃 = 𝛃 Aber wir können sagen, dass die Höhen sich wie 4 zu 3 verhalten. 𝛂 4 3 Wir sprechen: „hT1 verhält sich zu hT2 wie 4 zu 3.“ Unser eingangs benutztes rechtwinkliges Dreieck ABC kann man so aufteilen, dass drei rechtwinklige Dreiecke zu sehen sind: Wir schreiben als Verhältnisgleichung: hT1 : hT2 = 4 : 3 Meist nutzen wir die Bruch-Schreibweise: . 𝛃 Verhältnis-zahl A B C hT1 hT2 = 4 3 4 3 m m = 1,3 c a b 1. Teildreieck Definition: Verhältniszahl  Quotient zweier Maßzahlen (Dezimalzahl oder Bruchzahl) 𝛂 . 𝛃 F B C Nimm das ‚AB zu Folie 7‘! Beschrifte die drei Teildreiecke! Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK! Merke dir die wichtigen Hinweise zum Thema ‚Größenverhältnisse‘! Gehe am Ende der Folie zum ‘AB zu Folie 7‘! Fasse dort die Aussagen noch einmal zusammen! Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK! h p a Eigentlich haben wir zwei Größen ins Verhältnis gesetzt. Weshalb sind nur noch die Maßzahlen zu sehen? Wo sind die Maßeinheiten geblieben? 2. Teildreieck 𝛂 ... gekürzt! . 𝛃 Gehe jetzt zum ‘AB zu Folie 7‘! Fasse jetzt die Aussagen noch einmal zusammen! Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK! F A C b h q 3. Teildreieck Weiteres Beispiel (links / 1. Teildreieck): Wenn wir die letzten 2 Dreiecke drehen, dann werden wir sehen, dass es sich um ähnliche Dreiecke (mit gleichen Winkeln 𝛂, 𝛃 und 𝜸=90°) handelt. 𝛂 Wir setzen die beiden Katheten ins Verhältnis a b = 5,3 cm 3,5 cm a : b = ≈ 1,5 1. Ähnliche Dreiecke: Ähnliche Dreiecke stimmen in den drei Winkeln 𝛂, 𝛃 und 𝜸 (hier: 90°) überein! Vergleiche! Die Maßeinheiten (gekürzt) schreiben wir nicht mehr. 1

9 . . Folie 9 Folie 10 Der BEWEIS des KATHETENSATZES
1. Teildreieck 𝛂 𝛃 . 𝛃 . 𝛃 2. Teildreieck F B C 3. Teildreieck F A C h p a b h q 𝛂 𝛂 Wir haben den Kathetensatz mit Hilfe der Streckenverhältnisse in ähnlichen rechtwink-ligen Dreiecken bewiesen. Ohne Aufwand lässt sich jetzt nachfolgend auch der Satz des Pythagoras beweisen. ... den hatten wir völlig anders bewiesen. (Siehe im Lehrwerk ‚Satz des Pythagoras‘ !) Wenn es dich nicht interessiert: Weiter Folie 9 Mit den ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken können wir auch die allgemeine Gültigkeit des Höhensatzes nachweisen (... ein anderer Weg als beim Beweis hier auf Folie 3) Folie 10 Wenn es dich interessiert: Anregung: 1. Teildreieck: 3. Teildreieck: In dieser Figur könnte der Strahlensatz zum Beweis der Verhältnis-gleichheit entsprechen- Strecken dienen. 3 c b = 6,4 3,5 b q b q = 3,5 1,9 ≈ 1,8 ≈ 1,8 1 2 Nicht die Größen sind gleichwertig, aber die Verhältniszahlen (die Werte der Brüche) entsprechender Größenpaare sind offensichtlich gleich. Den Beweis dafür könnte man gut mit dem Strahlensatz zeigen. Wir rechnen jetzt mit allgemeinen Zahlen (Variablen) weiter, um die Allgemeingültigkeit zu zeigen. 1. Beweis durch Gleichsetzen: c b = ⇔ Kathetensatz Formel (Variante 1) b2 = c • q ... über Kreuz multiplizieren! Schau dir jetzt die Beweisführung genau an! Du sollst diese aus dem Gedächtnis auf dem ‚AB zu Folie 8‘ nachvollziehen, wenn der Beweis erbracht ist. 1. Teildreieck: 2. Teildreieck: c a = 6,4 5,3 a p a p = 5,3 4,5 ≈ 1,2 ≈ 1,2 2. Beweis durch Gleichsetzen: c a = Kathetensatz Formel (Variante 2) ⇔ a2 = c • p ... über Kreuz multiplizieren! Geh jetzt zum ‚AB zu Folie 8‘! Beweis(e) erbracht! 1

10 Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK!
... vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras Höhensatz Es gibt zahlreiche Wege des Beweises für den Höhensatz. Jetzt lernst du einen zweiten kennen. Die entsprechenden Streckenverhältnisse werden aus dem 2. und 3. Teildreieck (Folie 7) entnommen. a2 b2 entsprechende Strecken im 3. Teildreieck: 2. Teildreieck: Schau dir genau die Zeichnungen auf Folie 3 an (bzw. das verkleinerte Abbild oben)! Der Beweisverlauf springt regelrecht ins Auge. Geh zum ‚AB zu Folie 9‘! c2 = ARI ARII h p = 2,9 4,5 q h q h = 1,9 2,9 ≈ 0,6 ≈ 0,6 c2 = c • q c • p Wie erwartet stimmen die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten überein. c2 = Anwendung Kathetensatz (Folie 7): AllgemeinerBeweis durch Gleichsetzen: = h p Wir haben den Höhensatz auf Folie 3 mit Hilfe des Satzes des Pythagoras bewiesen. Logisch: Dann können wir den Höhensatz jetzt nicht verwenden, um den Satz des Pythagoras zu beweisen. Da beißt sich der Hund in den Schwanz! Formel des Höhensatzes ⇔ h2 = q • p a b2 = c2 ... über Kreuz multiplizieren! Preisfrage: Weshalb hätten wir nicht den Höhensatz zum Beweis des Satzes des Pythagoras verwenden dürfen? Fertig, dann zurück zur Kontrolle! ... KLICK! 1

11 . . . . . . . . . . . . . . . . Flexibilität mit Variablen
O . o m n O . N n Flexibilität mit Variablen m v . Kathetensatz . x y z o M o2 = n • z n2 = o • x m2 = n • v m2 = o • y Nimm das ‚AB zu Folie 10‘! Wende die vorgegebenen Eckpunkte für die Bezeichnung der Strecken an und stelle die 2 Kathetensatz-Formeln für die jeweiligen Dreiecke der Reihe nach auf! Kontrolliere zunächst nach jeder Aufgabe (Bildschirm) ... bis du sicher bist! Fertig? ... zurück zum Bildschirm! Z S x y z d s r q s . . . Y c . r R Q X r2 = q • d x2 = y • s s2 = q • c z2 = y • r W T C w u v n o d e f w E i m t k . c i a v . . U . u F . p . ha k K . . A I D V M e2 = d • v v2 = u • i t2 = m • u i2 = a • o f2 = d • w w2 = u • k k2 = m • n c2 = a • p 1

12 „ „ ANWENDUNG des Höhen- und/oder Kathetensatzes
Rechtwinkliges Dreieck DEF: Hypotenuse f = 5,3 cm Kathete d = 4,5 cm Kathete e = 2,8 cm Rechtwinkliges Dreieck MNO: Die Hypotenuse o misst 6,5 cm. Die Hypotenusenabschnitte messen q = 4,8 cm und p = 1,7 cm. Berechne die Höhe hF und die Hypotenusenabschnitte q und p! Berechne die Höhe ho und die die Länge der Katheten! D E F Überlegungsfigur: Überlegungsfigur: M N O hf „ f d e ho o m n q p „ q p Berechnung: Berechnung: e2 = f • q d2 = f • p ho2 = p • q 2,82 = 5,3 • q | :5,3 4,52 = 5,3 • p | :5,3 Nimm jetzt das ‚AB zu Folie 11‘! Führe die Berechnungen aus! Kontrolliere dann hier auf dem Bildschirm! ho2 = 1,7 cm • 4,8 cm 2,82 5,3 = q 4,52 5,3 = p ho2 ≈ 8,2 cm2 | √ ho ≈ 2,9 cm q ≈ 1,5 cm p ≈ 3,8 cm m2 = o • p n2 = o • q hf2 = p • q m2 = 6,5 cm• 1,7 cm n2 = 6,5 • 4,8 hf2 = 3,8 • 1,5 m2 = 11,1 cm2 | √ n2 = 31,2 cm2 | √ hf2 ≈ 5,7 cm2 | √ m ≈ 3,3 cm n ≈ 5,6 cm hf ≈ 2,4 cm 1

13 “Das 4-Stufen-Prinzip“ aus der Datei :
SACHAUFGABEN(1) 1. Stufe: „Sich ein Bild machen.“ 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ 3. Stufe: „Rechnen bis zum Ergebnis“ 4. Stufe: „Probe“ A B C q p . Eine Brücke ist an einem Tragemast mit Drahtseilen aufgehängt. Zwei Seile bilden an der Spitze einen rechten Winkel. Überlegungsfigur: geg: p = 76 m q = 33 m 𝜸 = 90° Nimm jetzt das ‚AB zu Folie 12‘! Führe die Aufgabe aus! Verfahre bei der Lösung nach dem sog. 4-Stufen-Prinzip! Kontrolliere dann hier auf dem Bildschirm! h F s1 s2 Das Seil s1 ist 33 m vom Fuß des Mastes entfernt auf dem Brückenboden befestigt, das Seil s2 endet 76 m entfernt an der entgegengesetzten Seite am Brückenboden. gefr: s1, s2, h c In welcher Höhe hT über der Brücke sind die Seile befestigt? Wie lang sind die Seile s1 und s2? Lösungsweg:  c h (Höhensatz) s1 / s2 (Kathetensatz) Bei allen folgenden Sachaufgaben hilft zum Finden und Durchführen des Lösungsweges ein Ausdruck der entwickelten Folie “Das 4-Stufen-Prinzip“ aus der Datei : >HUK-Satz Übungen EF.pdf< . Außerdem findest du dieses Thema auch in diesem Lehrwerk als Folie 15. Fertige bitte gleich einen Ausdruck! Für den Fall, dass du keine Vorstellung hast: c = p + q = 76 m + 33 m = 109 m h2 = p • q s12 = c • p Bringst du diese Vorstellung in Übereinstimmung mit dem Aufgabentext? s22 = c • q s12 = 109 m • 33 m h2 = 76 m• 33 m s22 = 109 m • 76 m h2 = m2 | √ s12 = 3597 m2 | √ s22 = 8284 m2 | √ s1 = 59,97 m h ≈ 50,08 m s2 = 91,02 m c2 = s12 + s22 ? „Antwortsatz“ Für die Seiten des rechtw. Dreiecks ABC muss der Satz des Pythagoras gelten. 1092 = 59, ,022 Der Tragemast ist 50,08 m hoch. 11881,04 = 11881,04 Das kurze Seil misst 59,97 m, Der Rechenweg und die Berechnung waren richtig. das lange 91,02 m. 1

14 . SACHAUFGABEN(2) D B C A 1. Stufe: „Sich ein Bild machen.“
2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ 3. Stufe: „Rechnen bis zum Ergebnis“ 4. Stufe: „Antwortsatz“ . Ein Kinderspielplatz befindet sich auf einem rechteckigen Grundstück ABCD. Ein Fußweg verläuft auf der Diagonalen DB . Überlegungsfigur: b a wD wZ wZ Zugangsweg wD Diagonalweg Von den Eckpunkten A und C ausgehend trifft je ein 62,61 m langer Zugangsweg wZ im Punkt F1 bzw. F2 senkrecht auf den Diagonalweg und endet dort. F1 F2 q p geg: wZ = 62,61 m p = 56 m 𝜸 = 90° Deren kürzere Entfernung 𝐷𝐹1 = B𝐹2 = p zu den End-punkten der Diagonalen misst jeweils 56 m. Lösungsweg: von unten her vorgehen! Vom Ende (Ziel) her gedacht: gefr: lges = ?m 3 lges = wD • wZ Wie lang sind die befestigten Wegstrecken lges insgesamt? 2 ↑ wD = p + q lges  gesamter Weg q mit ↑Höhensatz 1 Nimm jetzt das ‚AB zu Folie 13‘! Führe die Aufgabe aus! Verfahre bei der Lösung nach dem sog. 4-Stufen-Prinzip! Kontrolliere dann hier auf dem Bildschirm! Für den Fall, dass du keine Vorstellung hast: Vergleiche das Bild mit dem Text! 3 1 wZ2 = p • q lges = wD • wZ | :56 2 62,612 = 56 • q wD = p + q lges = 126 m + 2•62,61 m 62,612 56 = q wD = lges = 126 m + 125,22 m q = 70 m wD = 126 m lges = 251,22 m Der gesamte befestigte Weg misst 251,22 m. Die eigentliche Berechnung (3. Stufe) war nicht mehr schwer. Suche deshalb noch einmal nach den größten Hürden, die du vom Gewinnen einer Vorstellung (1.Stufe) über die Umsetzung in die Mathematik bis zum Ausdenken des eigentlichen Lösungsweges (2. Stufe) überwunden hast. Merke dir das oft günstige Verfahren beim Auskundschaften des Lösungsweges: “Vom Ende her denken!“ .. 1

15 . SACHAUFGABEN(3) 1. Stufe: „Sich ein Bild machen.“
2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ 3. Stufe: „Rechnen bis zum Ergebnis“ 4. Stufe: „Antwortsatz“ Eine quadratische Sporthalle mit einer bebauten Grundfläche von A = 625 m2 erreicht an jeder Stelle im Inneren eine Raumhöhe von hH = 7 m. geg: A = 625 m2 . Überlegungsfigur: s1 hD q p hges Die Sparren s1 und s2 des aufgesetzten Satteldaches sind ungleich lang und bilden an der Dachspitze einen rechten Winkel. hH = 7 m  Höhe Halle a s1 = 20 m  Sparrenlänge hH a gefr: hges = ?m Die längeren Sparren messen von der Außenkante der Mauern bis zur Dachspitze s1 = 20 m. hges  gesamte Höhe 4 hges = hD + hH 3 Pythagoras: hD2 = s p2 Lösungsweg: (rückwärts abhandeln!) (vom Ziel her verfolgt) 2 p mit Kathetensatz: s12 = a • p Berechne die Gesamthöhe des Gebäudes! 1 a = √A Nimm jetzt das ‚AB zu Folie 14‘! Führe die Aufgabe aus! Verfahre bei der Lösung nach dem sog. 4-Stufen-Prinzip! Kontrolliere dann hier auf dem Bildschirm! Für den Fall, dass du keine Vorstellung hast: hD2 = s p2 3 2 s12 = a • p a = √A 1 hD2 = 202 = 25 • p | :25 202 25 = p hD2 = 144 | √ a = √625 a = 25 m p = 16 m hD = 12 m A 4 hges = hD + hH = hges = 19 m Die gesamte Höhe des Gebäudes misst 19 m. Die eigentliche Berechnung (3. Stufe) war nicht mehr schwer. Suche deshalb noch einmal nach den größten Hürden, die du vom Gewinnen einer Vorstellung (1.Stufe) über die Umsetzung in die Mathematik bis zum Ausdenken des eigentlichen Lösungsweges (2. Stufe) überwunden hast. Merke dir das oft günstige Verfahren beim Auskundschaften des Lösungsweges: “Vom Ende her denken!“ . 1

16 DAS ‚4-STUFEN-PRINZIP‘ ... ein Kreislauf
... dann benennt man den gesamten Kreislauf mit dem Fachbegriff „Modellieren“. beim Lösen von Mathe-Problemen in ‚Textaufgaben‘. Hintergrund sollt eine wirklichkeitsnahe Geschichte sein. 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ Was ist der Kern des Problems Zusammenhänge suchen und herstellen, übersetzen in mathematische Sprache (z.B. Zahlen, Symbole, Tabellen, textliche Aussage, Zeichnungen, Gleichungen, Überlegungsfiguren  das wären die Modelle. Entscheidungen zum Lösungsweg In Ruhe durchlesen . Ist die Frage schon gestellt? Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Kann ich mir das vorstellen? Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? Sind etwa unnötige Informationen enthalten? 1. Stufe: “Sich ein Bild machen.“ ‚Modellbildung‘ eigentliche ☞ 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen und/oder zeichnen im Modell! z.B. Grundrechenarten/ Gleichungen/ Gleichungssysteme/Zeichnungen/Graphen bis zum Ergebnis ... wird zum KREISLAUF, wenn Lösung falsch. kritisch bewerten, auswerten, evtl. runden, wieder einordnen in die reale Geschichte! Rückübersetzen der mathematischen Sprache in die Alltagssprache ➔ Antwortsatz 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses / Antwortsatz. 1

17 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 1