Gitterlücken: Stapelordnungen

Präsentation zum Thema: "Gitterlücken: Stapelordnungen"—  Präsentation transkript:

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2 Gitterlücken: Stapelordnungen
indische Variante

3 Gitterlücken: Stapelordnungen
Problem wurde bereits von (amerikanischen) Orangenbauern gelöst…

4 Gitterlücken: Stapelordnungen
Wieviel Platz steht in Lücken bereit? Wieviel Prozent einer Kristallstruktur sind „leerer Raum“? Annahme: gleich große Atome => Metalle 1.+2. Dimension Variante A

5 Gitterlücken: Stapelordnungen
Wieviel Platz steht in Lücken bereit? Wieviel Prozent einer Kristallstruktur sind „leerer Raum“? Annahme: gleich große Atome => Metalle 3. Dimension Variante B

6 Gitterlücken: Stapelordnungen
Wieviel Platz steht in Lücken bereit? Wieviel Prozent einer Kristallstruktur sind „leerer Raum“? Annahme: gleich große Atome => Metalle 3. Dimension Variante C

7 Gitterlücken: Stapelordnungen
Wieviel Platz steht in Lücken bereit? Wieviel Prozent einer Kristallstruktur sind „leerer Raum“? Annahme: gleich große Atome => Metalle 3. Dimension Variante A,B,C

8 Gitterlücken: Stapelordnungen
Wieviel Platz steht in Lücken bereit? Wieviel Prozent einer Kristallstruktur sind „leerer Raum“? Annahme: gleich große Atome => Metalle 3. Dimension Variante A,B,A

9 Gitterlücken: Stapelordnungen
Annahme: gleich große Atome => Metalle Cu-Typ kubisch-flächenzentriert 𝐹𝑚 3 𝑚 3. Dimension W. Borchardt-Ott, H. Sowa, Kristallographie: eine Einführung für Naturwissenschaftler, Springer, Berlin (2013) Variante A,B,C

10 Gitterlücken: Stapelordnungen
Annahme: gleich große Atome => Metalle Mg-Typ hexagonal dichteste Kugelpackung 𝑃 6 3 /𝑚𝑚𝑐 3. Dimension W. Borchardt-Ott, H. Sowa, Kristallographie: eine Einführung für Naturwissenschaftler, Springer, Berlin (2013) Variante A,B,A

11 Gitterlücken: Stapelordnungen
dichteste Packungen

12 Gitterlücken Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken. Raumerfüllung (Wieviel Raum der Elementarzelle ist genutzt?) Lücken werden entweder von 4 oder 6 gleich großen Kugeln gebildet: Tetraederkonfiguration Oktaederkonfiguration 𝑃𝑎𝑐𝑘𝑢𝑛𝑔𝑠𝑑𝑖𝑐ℎ𝑡𝑒= 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝐵𝑎𝑢𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑖𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑧𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑧𝑒𝑙𝑙𝑒

13 Halbierung eines Oktaeders
Gitterlücken Oktaederlücke Halbierung eines Oktaeders 𝑟 𝐾 𝑟 𝐿 Quadrat

14 Halbierung eines Tetraeders
Gitterlücken B Tetraederlücke A 𝑟 𝐾 H C 𝑟 𝐿 Halbierung eines Tetraeders

15 Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken.
Gitterlücken Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken. Raumerfüllung (Wieviel Raum der Elementarzelle ist genutzt?) Lücken werden entweder von 4 oder 6 gleich großen Kugeln gebildet: Tetraederkonfiguration Oktaederkonfiguration 2 dichtest gepackte Ebenen ergeben sowohl Tetraeder- als auch Oktaederlücken U. Müller, Anorganische Strukturchemie, Springer (1991) => Tetraeder- und Oktaederlücken in kubisch und hexagonal dicht gepackten Strukturen

16 Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken.
Gitterlücken Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken. Raumerfüllung (Wieviel Raum der Elementarzelle ist genutzt?) Lücken werden entweder von 4 oder 6 gleich großen Kugeln gebildet: Tetraederkonfiguration Oktaederkonfiguration Oktaederlücken kubisch flächenzentriert SG: 𝐹𝑚 3 𝑚 4 Lücken/EZ Hexagonal dichtest gepackt SG: 𝑃 6 3 /𝑚𝑚𝑐 2 Lücken/EZ

17 Von der Raumgruppe zur Kristallstruktur
Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken. Raumerfüllung (Wieviel Raum der Elementarzelle ist genutzt?) Lücken werden entweder von 4 oder 6 gleich großen Kugeln gebildet: Tetraederkonfiguration Oktaederkonfiguration Tetraederlücken kubisch flächenzentriert SG: 𝐹𝑚 3 𝑚 8 Lücken/EZ Hexagonal dichtest gepackt SG: 𝑃 6 3 /𝑚𝑚𝑐 4 Lücken/EZ

18 Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken.
Gitterlücken Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken. Raumerfüllung (Wieviel Raum der Elementarzelle ist genutzt?) Lücken werden entweder von 4 oder 6 gleich großen Kugeln gebildet: Tetraederkonfiguration Oktaederkonfiguration Lücken in nicht-dichtest gepackten Strukturen kubisch raumzentriert SG: 𝐼𝑚 3 𝑚 6 Lücken/EZ (O) 12 Lücken/EZ (T)

19 Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken.
Gitterlücken Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken. Raumerfüllung (Wieviel Raum der Elementarzelle ist genutzt?) Annahmen: kubisch dichteste Packung alle „Kugeln“ gleich groß Kugel berühren sich (dringen aber nicht ineinander ein) Grundlage: J. Kepler ( ) Keplersche Vermutung Die kubisch dichteste Kugelpackung ist die Anordnung von Kugeln mit der größten Raumerfüllung J. Kepler (1611) Beweis 1998 durch T. Hales (Ann. Math. 162 (2005) 1063) 𝑃= 𝑛 𝑉 𝑎𝑡 𝑉 𝐸𝑍 𝑉 𝑎𝑡 &= 4 3 𝜋 𝑟 3 𝑉 𝐸𝑍 𝑐 &= 𝑎 3 𝑉 𝐸𝑍 ℎ &= 3 𝑎 2 2 𝑐 𝑃= 𝜋 ≈0.7405 Strena seu de nive sexangula (1611)

20 Gitterlücken: Raumerfüllung
Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken. Raumerfüllung (Wieviel Raum der Elementarzelle ist genutzt?) kubisch primitiv 𝑃= 𝑛 𝑉 𝑎𝑡 𝑉 𝐸𝑍 𝑛=1 dichtest gepackte Richtung: 〈100〉 kubisch innenzentriert 𝑃= 𝑛 𝑉 𝑎𝑡 𝑉 𝐸𝑍 𝑛=2 dichtest gepackte Richtung: 〈111〉

21 Gitterlücken: Raumerfüllung
Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken. Raumerfüllung (Wieviel Raum der Elementarzelle ist genutzt?) Kubisch flächenzentriert 𝑃= 𝑛 𝑉 𝑎𝑡 𝑉 𝐸𝑍 𝑛=4 dichtest gepackte Richtung: 〈110〉

22 Gitterlücken: Raumerfüllung
Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken. Raumerfüllung (Wieviel Raum der Elementarzelle ist genutzt?) Hexagonal dichtest gepackt Grundfläche: gleichseitiges Dreieck c/2 a x h

23 Gitterlücken: Raumerfüllung
Zwischen den Kugel bleiben immer Lücken. Raumerfüllung (Wieviel Raum der Elementarzelle ist genutzt?) Hexagonal dichtest gepackt c/2 a x h dichtest gepackte Richtung: 〈100〉 𝑃= 𝑛 𝑉 𝑎𝑡 𝑉 𝐸𝑍 𝑛=2