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Beweis der Orthogonalität von Vektoren
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Wann sind 2 Vektoren senkrecht zueinander?
Ein Dreieck ist rechtwinklig genau dann, wenn a² + b² = c². Die Vektoren 𝑎 und 𝑏 sind rechtwinklig zueinander genau dann, wenn 𝑎 𝑏 2 = −𝑎 + 𝑏 2 −𝒂 + 𝒃
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Herleitung der Formel:
𝑎 𝑏 2 = −𝑎 + 𝑏 2 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 = − −𝑎 1 + 𝑏 1 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 3 + 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 = (−𝑎 1 + 𝑏 1 ) 2 + (−𝑎 2 + 𝑏 2 ) 2 + (−𝑎 3 + 𝑏 3 ) ( 𝑎 𝑎 𝑎 3 2 ) + (𝑏 𝑏 𝑏 3 2 ) = (−𝑎 1 + 𝑏 1 ) 2 + (−𝑎 2 + 𝑏 2 ) 2 + (−𝑎 3 + 𝑏 3 ) 2 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 = ( 𝑎 1 2 − 2 𝑎 1 𝑏 𝑏 1 2 ) + ( 𝑎 2 2 − 2 𝑎 2 𝑏 2 + 𝑏 2 2 ) +( 𝑎 3 2 − 2 𝑎 3 𝑏 𝑏 3 2 ) 0 = − 2 𝑎 1 𝑏 1 − 2 𝑎 2 𝑏 2 − 2 𝑎 3 𝑏 3 /: (−2) 0 = 𝑎 1 𝑏 𝑎 2 𝑏 𝑎 3 𝑏 3
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Ergebnis Die Vektoren 𝑎 = 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 und 𝑏 = 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 sind rechtwinklig zueinander 𝑎 1 ∙𝑏 𝑎 2 ∙𝑏 𝑎 3 ∙𝑏 3 = 0. Man nennt 𝑎 ∙ 𝑏 =𝑎 1 ∙𝑏 𝑎 2 ∙𝑏 𝑎 3 ∙𝑏 3 das Skalarprodukt der Vektoren 𝑎 = 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 und 𝑏 = 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 . Zwei Vektoren und sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
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